线性代数试题集与答案解析(四)

线性代数试题集与答案解析

习题一1-56-10

利用对角线法则计算下列三阶行列遣

(1)11；H-M3

abc

=(2)bca;=

cab

1)

⑶q>

a12

占3,・》十.r

⑷#妃毋3

(1)

201

解1-4—1

-183

=2<(-4)x3+0x(-l)x(-r)+lx1x8

—Ox1x3-2x(-1)x8—1x(—)x(-1)

=-24+8+16-4=-4+

(2)

abc

解〃C4

cab

-acb+lxK.+dya-bbb-aaa-ccc

=3v?E—f户一

⑶

ahc

必rr

-bcbc^—cb2

二(“一们(》-c(匚-Q)+

(4)

x]-E-

解yx+yx

八十y工y

二X(.Y勺力%(gy)+3b*Y-3+j•)W

二3.个。打）一.「一3j尸J—V—J?

T.g

2-按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的

逆序数:

(1)1234;

0)4132;

(3)3421;

(4)2413:

(5)13•..(2«-1)24..・(2用；

(6)13...(由一1)(由)(由一2)…二

(1)

解逆序数为0

(2)

解逆序数为4:41,43,42,32.

(3)

解逆序数为5:32•3L42,4,2L

(4)

解逆序数为

⑸

解逆序数为耳少：

32(1个)

52,54(2个)

二亍4广6(3个)

赭淋磨摩

(2n-l)2,51)4,如1)6,•....51)52)(7)—1个)

(6)

解逆序数为〃(〃-1)：

32(14)

2.....个)

4(*1)2.(*1)4.51)6…・..b—F)(M—力⑵

一,个)

52(1个)

52.64(.2个)

”•引引**

(m)2,(2«)4,(%)6,•(2M)(2M-2)(M-1

个)

3写出四阶行列式中含有因子围昭3的项-

解含因子1功3的项的一般形式为

(一1))71宙烈了3/场.

其中”是2和4构成的排列,这种排列共有两个，即24和

42.所以含因子“11叱的项分别是

(-1)>11%阳？2V744二(-1)'苗1任衬犷二一“1心"32八4牛

(-1)>T11%3<734&41(一1)粉11“溟饥"4“1尘3"34打修

4,计算下列各行列式:

4124

1202

520

10117

2141

3121

9

1-32

s062

1o0

1(77分10

*1

-C

01T4

0o

124'2

202■114-210

解52033

1171001

T70L9910

2-002o

=-一

-一

7・

31.14

q31/

2I41>-1402-140

3T21•^122322

解±-

1232-2301730

rL^1

50620622140

2

a

3

12•c

•

009^o

⑶

-ciboc(iSM--bee

cddebfef-ef-cidfb-cebc-e

1-Acibcdef.

1JI

OV

Iw

I

°PTO

=abcd+ab+ccl+acI+[+

5.证明:

疽。方/

J)2cia+b2b=(a-b)\

十胪勺——q\cPab-ci1h2-cP

i肌如b—o2b—2a

i乌一勺10U

3

=(7)书一:摆=。一靴5叩=(cf-h)

LtJ—1以।一

ctx+byay+bz

az+bxx丁二

(2)ay+bzciz+bxax+by-(eP+lj^)ys.T；

az+hxcvc+hyq”星工y

+byay+hzaz+/Aerri人二

azct\byaz+bxax+by

ay+bz

xay+bz/7Z+bxyTay+bz/17Aby+b

—az+bxcix+byz二。二+bxcfs+hyy

Clax+byay+bzm〜+bz

laz+bx

ax-}rhy

ay+bz

二…黑二

"(a+iy(“+2)2(l+3)2

扶3+1)23+2)20+3)2

=0;

⑶c7(c+1)2(c+2)2(c+3)2

d2(d+iy©+2)2(d+3)2

r十IV(〃/+?v(U+3V0+1)2(ya0+3)2(f(c+夺W+3V/(』+])20+2)2

。十3》b2

(C4—C3.o厂一匚1得)

明+V晶套2/7+32/7+5徉"+1"+32/,+5c22c+l2c+32c+5d22d+l

cP2/7+1

(4)

2九I

O+X

c21

t%+1

2

c+1

f2C1

，

g

<DJ

YF

7)(t/H-/?+c+c

c1

£7

/\

1c—ci1

c(c-a)cl—Cl

didTT\

dOP-"J

111

=(b-ci)(c—Cl)bcd

为w卜凌(「+<7)(7勺J+")

111

={b・ci}(c-小(d-ci)Oc-hd-b

0c(c-b)(c+b+d)d(d・b)(d+b+d)

—(b—Q)(C-----(/){_c—b)(d—b)11

c(c+8+”)dld+b十小

T<7—[)')(”一r)(/7—<7)(b—cj("一Q)(r—f7)(<7+I)+c+t7).

Oo

Oo

=3理】+***@处,

X

证明用数学归纳法证明.

当7尸2时，功二r〃、二寸+缶T+化.命题成立匚巧.

孔I1-4|

假设对于(7L1)阶行列式命题成立，即

Z)广[二/1%7[.1毋2十一.认+f了毋-1,

则玖按第一列展开,有

—10...

1严士二二

11

—1D胡_[+/物+♦+・加工下+<7鼻.

因此，对于K阶行列式命题成立.

6+设77阶行列式华det(㈤)，把3上下翻转、或逆时针旋转

90%或依副弓1-%mS，,湖.，⑶

•f>c*弟摩,4-fi峰摩弟鼻a:a>

牛,D疔.D^=ii-%

知…缶11,•,s知…久

二（.-1）亍D.DO•

证明因为LWetC/n所以

同理可证

戒以—*!!•,•<1冲一1)抑伊一L)

1）牛一•(-1)?IX=(-！')3。・

-1）1）

R-（-IL企二（一1）于（一1）亍g（-H牛"

己计算下列各行列式（刀上为k阶行列式）：

C71

（1）2二〃.其中对角线上兀素都是a未写出的兀素

1CI

都是0；

soO

w,=IV、（按第并行展开）

c

nni

ono十(-1)膈

1°0。…以0射）@-1）।―1月_0.月_1)

=(-l)w+1・(一1》+4月="—d-2二才-2(12_1).

%一2)02)

解将第一行乘L1）分别加到其余各行，得

CI…（7

.T—&

以二cz-v0

*引*引*“

000y-a

0...0

y-（7...0

再将各列都加到第一列上.得

工+⑵一rkvaa...a

0x-a0n

以二00...0=[.T+(.(..T-

淞***藏中皴**京藏***中

0000v-a

膏T(Q-1)2...r-

(.3)4+i=一…丁

aa-l...a-n

11...1

解根据第611(7-1…1

单百幕里右a...a-n

心尸(-2*_•

(n—l)n1…(a-n)141

1占「1(T••・0-砂

此行列式为范德蒙德行列式.

月C+0

4-1=(-

n+l>j>/>1

心+n

二(-1)亍n1一(顷

伯！十l)M-bCtt-!>+.

1)—2一•口0一》如1路问

二W

(4双二

IJ

解

（按第1行展开）

4

bM—.1o°的%

4

+（」严G4

*o

o4

再芯最后尸展开得递推公展

D方一即。3:—Cnd椎b河。；）朴一N于是刀孙.]!（£灵

-灰）牛

而现二Z芸二羽一皈「

N

所以0珈二11（函一妃）.

?-1

(5)Sdet(&)淇中伺F|W；

O

I

Z

O

T

6

-zn-2n-3，，一40

i

彳一勺斛留事

-T-T

],职中

7广弓-I-I-I

IL淞日*•职中

fl-lvi-9n〜3//

o

o

o

q+q

n-15—32/1-42/7-5

二（-1尸烦-1）?T.

(6)4=，其中。他,

L111

己

解QITci2»..|

1

।…/+4

00...001

CK0…001

2

/7f001

•“市**,%.m*职洋

00...■"一1

000...0q11%

0

妒1

11妃

100*1005

-110,-00前

0-11,-00

000・，•1

000•-00

二（4生…q,）（"£：）

8.用克莱姆法则解下列方程组:

,+、2+吊一项=5

X+2.七一七+4A*二一2,

（I）4

2A*|-3近一耳—5.%二一2.

3%+M+11工二0

解因为

I>

T►

D--3?

T211

51111511

牛-221

2S=-142.DwIJ2-25

0121130211

所

以

而

夸

--

5再+6X2-1

.的+5•亏+6・玉=0

.+5.丫3+6.Xj—0+

羌+喝+6专二0

「4+5工5=1

1600051000

0560010600

乙01560-1507.A-00560-1145.

u00156

0015601015

10015

2S-

A=S二703,图1=-395,

60

56«1

A-15)

01)=212,

00)

-1

所以_1507_1145__703395_212

"6659%-665-9V-665-665'XA~6659

12斗十.习0

9,问兀〃取何值时，齐次线性方程组再+J的+忍=0有非区+列+

沔二。

零解？

解系数行列式为

D二］/11=//-zz2.

|1孕1|

令D=0,得

*0成『：一1.

于是，当或如I时该齐次线性方程组有非零解.

兰10•问A取何值时，齐次线性方程组2矽’(3-方叱+为二。

五+丐+(1—/.)矛3=o

有非零解？

解奈数行列式为

124T1—2—3+24

D=23-Z1=21-21

111.日101-z

二（1一人）’+（人-3）—4（1—A）—2（1—人）（一3—4）

=（l-A）3+2（l-A）M-3.

令SO,得

2—0:二？或

于是，当左0/2或左3时，该齐次线性方程组有非零解

习题二

L已知线性变换

卜产2/+2凹+为

一叱二3j］十七十5/声i二3»i+2处+3形

求从变量TI,七,担到斐量的线性变换

由已知I：

2.已知两个线性变换

、二2万十为

“一为+双+江，

、七二4书+乃+5丁3

求从二二2.二3到XI，X2,X3的线性变换.

解由已知

01YZ1

32-23o

15A0T

V

的二一6二］+刁+3二3

所以有卜广1%-七?+9二3

।・乌二一10二1

〔刁+16二3

111123

3.设」二11一1.8=T-24,求3也-24及血.

JT1v051,J

11i¥i23

解3AB-2A=311-i-i-24

」T5L

5S'-Z1322

561-2-2io

90j11429-2

1Z3z058'

24=0—56

.051.(29Oj

4,计算下列乘积:

<431丫7、4x7+3x2+lxl11x7+(-

1-23l22)x2+3xl

0ULL5x74-7x2+0x1}

5

(2)(1曩3)2I

解(123)2=(lx3+2x2+3xl)=(10)

⑶1

z2x(-l)2*

解1(-12)=1x(-1)12

GJ3x(-1)3x2；

,1

(2140x0

解U-134,1

14

%如q3vV

⑸(XX玉)

VZ13ej23%人X/

解

（%吃.％）小徇物|,弓

）3纯3㈤3人当J

丁、

二（E11+”12七+"3能3<712飞1+〃22.宜+"23弋3"13、T+f,23k+E芬匕）七

.

・♦与〜

=相+5;+g+羽斗+2可瘁+乳g

；LB=10,问:

48+喜1

（3）（4+月）（/1-8）=八-存吗。

⑴-*,

WAB=BA

因为如二［:如新弋所以AB'BA

（2）/

解0七5）±4勺履55

因为」+占二|;:I,

（J+垢C八

但心2北侦七筒十仅在（2遇偿

'、411\5k匕彳司卜达卢？1842194/'

所以（M七3）±4勺边七

（3）

因为妇H我〃2〈牌，解.

而奸〃=［〃)《小辟)

故(［十3)(J-BTf-E%|举反列说明下列命题是错误的:

(1)若」则4=0;

解取g,则』2=0,但如0.

(2)若」。4,则』二0或虫E;

解取N二［/2)则幺或，但如o且如正

(3)若必=4K且则；

解取

A-(lx-1)y-p1)Hi-,01J5.01J

则｛件4E且」=()但土三厂

?)求

fl0O'y_(10]

解4UiDW1)

1nlOLI10

工口勺二，2zL.zirbzL

一*«.

<21O)

8-设0=0M1,求

E八002j

解首先观察

A

Z2

_o。2O2一

源

1O0矛

仃4236朋

A4=A3A=0/4/

k0024；

p5A10月月

A5=AAA=0Z55z4

(0025)

严〃T)产T9

J*二0产〃

00产

9.设4月为页阶矩阵'且」为对称矩阵，证明月*也

是

对称矩阵.二

证明已知：.4弓二4则

0驰）丁项胡^顼舟E）二£斯从而也是对称矩

阵.

二八设都是M阶对称矩阵,证明4矿是对称矩阵的充分必

要条件是48=84

证明由已知

充分性:AB=R4=AB=3m=A8=（A6\即成？是对称矩阵.

必X，杏用曙陶密第阵：_

（咤（\o/A

解4=1江产L故-4-i存在，因

4*_缶141）5—2、

&4丁H17

5

故^i=±4*=f—2）

取a\A\A1-21\

（）「cos〃-sin〃二

一、sin。cos〃/

解蓝外降1句，故川存在・因为

cos/9sm。'

4z厂"sin。cos。〉

所以心亲*cos"sm。'

一「sin。cos。/

12-1

(3)34-2

o-41

12-r

解J=34-2」4|二2二0〈故存在因为，

r444It41.

111(-420A

力*444

=424242=-136-1,

J333(-3214-2y

[-210、

所以月三东4*=-与3-1

，4--

1-167-1,

廿4。,

(4)(oI怎…叫尹,)

0

%

0

解A=,由对角矩阵的性质知

12.解下列矩阵方程:

解腔〔*田\?

-=3l1f4l-3123心fA?3-0V)

g2］、

85

z3)

14X2/31\

—

27=IoT

-1k7

fl1Y20、

解X二

I—12；

±_(2-4Y31)1°)12(11AoTA12；

=1<66Y10、(1］、

一讯3。人1

个)<4

尸010］fl00、7-43

(4)ioomooi20-1.

1-20J

<0Y71-43Y100>0

解x=I01J20-1001

Io1-20人。107

<0OY1-43Y10()八020(/一10)13-

二］-1侦.1-2。人4.

Q