线性多变量系统的综合与设计

线性多变量系统的综合与设计

1引言

前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系

统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型（时域、

频域、内部、外部描述）之间的相互转换等；系统的分

析，则主要研究系统的定量变化规律（如状态方程的解,

即系统的运动分析等）和定性行为（如能控性、能观测

性、稳定性等）。而综合与设计问题则与此相反，即在

已知系统结构和参数（被控系统数学模型）的基础上，

寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。一般

说来，这种控制规律常取反馈形式，因为无论是在抗

干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优

于非反馈或开环系统。在本章中，我们将以状态空间

描述和状态空间方法为基础，仍然在时域中讨论线性

反馈控制规律的综合与设计方法，

1.1问题的提法

给定系统的状态空间表达式

x=Ax+Bu

y=Cx

若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是

时域或频域的其种特征量(如超调量、过渡过程时间、

极、零点)，也可以是使某个性能函数取极小或极大。

此时，综合问题就是寻求一个控制作用〃，使得在该

控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。

对于线性状态反馈控制律

u=-Kx+r

对于线性输出反馈控制律

u=-Hy+r

其中reR.为参考输入向量。

由此构成的闭环反馈系统分别为

x=(A-3K)%+

y=Cx

或

x=(A-BHC)x+Br

y=Cx

闭环反馈系统的系统矩阵分别为

AAK=A-BK

ArHi=A-BHC

即£K=(A—8K,民C)或EH=(A-BHC,B,C)。

闭环传递函数矩阵

GK(S)=C'[SI-(A-BK)Y'B

l

GH(S)=C-[sl-(A-BHC)]'B

我们在这旦将着重指出，作为综合问题，将必须

考虑三个方面的因素，即1)抗外部干扰问题；2)抗内

部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问

题；3)控制规律的工程实现问题3

一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合

将在考虑工程可实现或可行的前提下，来确定控制规

律〃；而对设计，则还必须考虑许多实际问题，如控

制器物理实现口线路的选择、元件的选用、参数的确

定等。

1.2性能指标的类型

总的说来，综合问题中的性能指标可分为非优化型

和优化型性能指标两种类型。两者的差别为：非优化

型指标是一类又等式型的指标，即只要性能值达到或

好于期望指标就算是实现了综合目标，而优化型指标

则是一类极值型指标，综合目标是使性能指标在所有

可能的控制中使其取极小或极大值。

对于非优化型性能指标，可以有多种提法，常用的

提法有：

1、以渐近稳定作为性能指标，相应的综合问题称

为镇定问题；

2、以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相

应的综合问题称为极点配置问题。从线性定常系统的

运动分析中可知，如时域中的超调量、过渡过程时间

及频域中的增益稳定裕度、相位稳定裕度，都可以被

认为等价于系统极点的位置，因此相应的综合问题都

可视为极点配置问题；

3、以使一个多输入多输出（MIMO）系统实现为“一

个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的综合

问题称为解耦问题。在工业过程控制中，解耦控制有

着重要的应用；

4、以使系统的输出yQ）无静差地跟踪一个外部信

号%”）作为性能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。

对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态X

和控制〃的二次型积分性能指标，即

/(〃(，))=[(xTQx+uTRu)dt

其中加权阵。=。7>0或20,R=R，>0且

(A,。”？)能观测。综合的任务就是确定〃*«),使相应

的性能指标/(〃*«))极小。通常，将这样的控制/⑺

称为最优控制，确切地说是线性二次型最优控制问题,

即LQ调节器问题。

1.3研究综合问题的主要内容

主要有两个方面：

1、可综合条件可综合条件也就是控制规律的存

在性问题。可综合条件的建立，可避免综合过程的盲

目性。

2、控制规律的算法问题这是问题的关键。作为

一个算法，评价其优劣的主要标准是数值稳定性，即

是否出现截断或舍入误差在计算积累过程中放大的问

题。一般地说，如果问题不是病态的，而所采用的算

法又是数值稳定的，则所得结果通常是好的。

1.4工程实现中的一些理论问题

在综合问题中，不仅要研究可综合条件和算法问题,

而且要研究工程实现中提出的一系列理论问题。主要

有：

1、状态重构问题由于许多综合问题都具有状

态反馈形式，而状态变量为系统的内部变量，通常并

不能完全直接量测或采用经济手段进行量测，解决这

一矛盾的途径是：利用可量测输出y和输入〃来构造

出不能量测的状态％,相应的理论问题称为状态重构

问题，即观测器问题和Kalman滤波问题。

2、鲁棒性(Robustness)问题

3、抗外部干扰问题

本章的组织结构如下。本章将首先讨论极点配置

问题。将讨论利用极点配置方法来设计控制系统。这

里将设计一个受制于初始条件的倒立摆系统，使其在

规定的时间内，返回到垂直位置；其次还将讨论状态

观测器的设计；最后研究含积分器的伺服系统和不含

积分器的伺服系统。我们将设计一个倒立摆系统，当

我们施加于小车一个阶跃输入时，仍可使该系统稳定

（也就是说，摆不会倒下来）。

本章1节为引言。2节将讨论控制系统设计的极点

配置方法，给出问题提法、可配置条件及极点配置的

算法。3节将介绍利用MATLAB求解极点配置问题，并

给出用于极点配置设计的MATLAB程序。4节以倒立摆

为例，给出用极点配置方法设计调节器型系统的一个

例子，并分别介绍解析法和MATLAB解法。

5节将介绍状态观测器。对于全维和最小阶观测器

均将进行讨论，将介绍3种确定观测器增益矩阵的

方法，并引入控制器-观测器概念。6节讨论利用

MATLAB设计状态观测器。7节研究伺服系统的设计，

将讨论当含有积分器和不含积分器时I型伺服系统的

设计。8节介绍用MATLAB设计控制系统的一个例子,

将用MATLAB设计倒立摆控制系统。通过使用MATLAB,

可得到所设计系统的单位阶跃响应曲线。

2极点配置问题

本节介绍极点配置方法。首先假定期望闭环极点

为S=M，5=42,…，S=4”。我们将证明，如果被

控系统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态

反馈增益矩阵K,利用状态反馈方法，使闭环系统的

极点配置到任意的期望位置。

这里我们仅研究控制输入为标量的情况。将证明

在S平面上将一个系统的闭环极点配置到任意位置的

充要条件是该系统状态完全能控，我们还将讨论3种

确定状态反馈增益矩阵的方法。

应当注意，当控制输入为向量时，极点配置方法

的数学表达式一分复杂，本书将不讨论这种情况。还

应注意，当控制输入是向量时，状态反馈增益矩阵并

非唯一。可以比较自由地选择多于〃个参数，也就是

说，除了适当地配置〃个闭环极点外，即使闭环系统

还有其他需求，也可满足其部分或全部要求。

2.1问题的提法

前面我们已经指出，在经典控制理论的系统综合中,

不管是频率法还是根轨迹法，本质上都可视为极点配

置问题。

给定单输入单输出线性定常被控系统

x=Ax+Bu(1)

式中x(Z)eR",u(t)eAeR"xn,BeR%

选取线性反馈控制律为

u=-Kx(2)

这意味着控制输入由系统的状态反馈确定，因此将该

方法称为状态反馈方法。其中1X/7维矩阵K称为状态

反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。在下面的分析中,

假设M不受约束。

图1(a)给出了由式(1)所定义的系统。因为

没有将状态X反馈到控制输入〃中，所以这是一个开

环控制系统。图1(b)给出了具有状态反馈的系统。

因为将状态X反馈到了控制输入“中，所以这是一个

闭环反馈控制系统。

图1(a)开环控制系统

(b)具有〃=-Kx的闭环反馈控制系统

将式(2)代入式(1),得到

x(t)=(A-BK)x(t)

该闭环系统状态方程的解为

X«)=「小工⑼⑶

式中工(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响

应特性将由闭环系统矩阵A-5K的特征值决定。如果

矩阵K选取适当，则可使矩阵A-5K构成一个渐近稳

定矩阵，此时对所有的x(0)。0,当1-8时，都可

使%(0—0。一般称矩阵A-3K的特征值为调节器极

点。如果这些调节器极点均位于S的左半平面内，则

当1-8时，有xQ)f0。因此我们将这种使闭环系

统的极点任意配置到所期望位置的问题，称之为极点

配置问题。

下面讨论其可配置条件。我们将证明，当且仅当

给定的系统是状态完全能控时，该系统的任意极点配

置才是可能的。

2.2可配置条件

考虑由式（1）定义的线性定常系统。假设控制输

入〃的幅值是无约束的。如果选取控制规律为

u=-Kx

式中K为线性状态反馈矩阵，由此构成的系统称为闭

环反馈控制系统，如图1（b）所示。

现在考虑极点的可配置条件，即如下的极点配置定

理。

定理1（极点配置定理）线性定常系统可通过线性状

态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控

系统状态完全能控。

证明：由于对多变量系统证明时，需要使用循环矩阵

及其属性等，因此这里只给出单输入单输出系统时的

证明。但我们要着重指出的是，这一定理对多变量系

统也是完全成立的。

r必要性。即已知闭环系统可任意配置极点，则

被控系统状态完全能控。

现利用反证法证明。先证明如下命题：如果系统

不是状态完全能控的，则矩阵力-新的特征值不可能由

线性状态反馈天控制。

假设式（1）的系统状态不能控，则其能控性矩阵

的秩小于几，即

rank[B:AB::An]B]=q<n

这意味着，在能控性矩阵中存在q个线性无关的

列向量。现定义q个线性无关列向量为工，力，・・・,人，

选择〃-Q个附加的n维向量5+1，匕+2,…，匕，使得

?=了乜+/1+2」•,沌]

的秩为no因此，可证明

叫

4A2

A=p-]AP=B=P]B=...

0“22

0

这些方程的推导可见例7。现定义

k=KP=[k[:k2]

则有

\sI-A+BK\二尸（si-A+BK）P\

=\sl-P}AP+P}BKP

/\人人

二|sI-A+BK\

4A"4"

「1112「11

=si-Lo+L°J[k-.k.]

_凡-41+稣+尢-A12+B]]k2

0si〃-q-42

=此一41+耳£I-&|。

式中，是一个q维的单位矩阵，/〃，是一个维

的单位矩阵。

注意到42的特征值不依赖于K。因此，如果一个

系统不是状态完全能控的，则矩阵的特征值就不能任

意配置。所以，为了任意配置矩阵A-BK的特征值，

此时系统必须是状态完全能控的，

2-充分性。即已知被控系统状态完全能控（这意味

着由式（5）给出的矩阵0可逆），则矩阵4的所有特

征值可任意配置。

在证明充分条件时，一种简便的方法是将由式（1）

给出的状态方程变换为能控标准形。

定义非奇异线性变换矩阵〃为

P=QW(4)

其中0为能控性矩阵，即

⑸

a

an-\an-2…\1

2。〃-3…1

::::(6)

%1•••00

10­••00

式中％为如下特征多项式的系数。

—4)=S'+।+••+。［S+4

si1♦/?-1II

定义一个新的状态向量已

x=Px

如果能控性矩阵0的秩为n（即系统是状态完全

能控的）,则矩阵。的逆存在（注意此时Q为77X77方阵）,

并且可将式（1）改写为

x=Acx+Bcu⑺

其中

01

00

A=P]AP=::

V

00

B=Pi

0

1

式(8)和(9)的推导见例8和例9。式(7)为能控

标准形。这样，如果系统是状态完全能控的，且利用

由式(4)给出的变换矩阵P,使状态向量尤变换为状

态向量2，则可将式(1)变换为能控标准形。

选取任意一组期望的特征值为4，42，…，〃”，

则期望的特征方程为

(s-〃])(s-〃2)・・・(s-4〃)=

+・+〃：

i♦♦n-\/+”n=0(10)

设

K=KP=[Sfl用一・・・印(ID

由于〃=—欣=—K雄,从而由式(7),此时该系

统的状态方程为

k=Ax-BcKx

相应的特征方程为

sI-Acr+BcrK=0

事实上，当利用〃=-Kx作为控制输入时，相应

的特征方程与上述特征方程相同，即非奇异线性变换

不改变系统的特征值。这可简单说明如下。由于

x=Ax+Bu=(A-BK)x

该系统的特征方程为

sI-A+BK\=尸(sI-A+BK)P=

sI-P-1AP+P]BKP=sI-A+BK=0

对于上述能控标准形的系统特征方程，由式(8)、

(9)和(11),可得

「01o-

•••

si-A+BK=sl-9,

0'001

_一册一4-1~a\_

①储1…却

0

0

+&an-\+…S+q+伪

n]

=s〃+(q+Sx)s~+…+(%_]+5〃_])S+(%+用)=0

这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，

它一定与式(10)的期望特征方程相等。通过使S的

同次塞系数相等，可得

4+R=a；

~a。

an+2=a；

对4求解上述方程组，并将其代入式(11),可

[

K=KP=[3n印人

=[a；_4"：

(13)

因此，如昊系统是状态完全能控的，则通过对应

于式(13)所选取的矩阵K,可任意配置所有的特征

值。

证毕

2.3极点配置的算法

现在考虑旭输入单输出系统极点配置的算法。

给定线性定常系统

x-Ax+Bu

若线性反馈控制律为

u=-Kx

则可由下列步骤确定使A—3K的特征值为4，…，

(即闭环系统的期望极点值)的线性反馈矩阵K(如

果从是一个复数特征值，则其共相必定也是A-BK

的特征值)。

第1步：考察系统的能控性条件。如果系统是状

态完全能控的，则可按下列步骤继续。

第2步：利用系统矩阵A的征多项式

det（s/—A）=|*s/_=s〃+]+,••+cin_^s+a〃确

定出4,4,…，。〃的值。

第3步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的

变换矩阵A若给定的状态方程已是能控标准形，那

么尸=I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方

程。非奇异线性变换矩阵尸可由式（4）给出，即

P=QW

式中Q由式（5）定义，W由式（6）定义。

第4步：利用给定的期望闭环极点，可写出期望

的特征多项式为

（5_从）（5_出）・・,（5_"〃）=

s"+41+•••+Q-s+a：

并确定出a：,a；,…,a：的值。

第5步：此时的状态反馈增益矩阵K为

K=[—an:a3—:・・・：a；—%—4]尸1

2.4注释

注意，如果是低阶系统（〃V3）,则将线性反馈

增益矩阵4直接代入闭环系统的特征多项式，可能更

为简便。例如，若〃=3,则可将状态反馈增益矩阵《

写为

K=[匕k2k3]

进而将此K代入闭环系统的特征多项式卜/—A+5K|,

使其等于（5—从）（5—〃2）（5—43），即

\sl—A+BK\=（s-M）（S-〃2）（s-〃3）

由于该特征方程的两端均为s的多项式，故可通过

使其两端的s同次寨系数相等，来确定幻，k2,他的

值。如果〃=2或者〃=3,这种方法非常简便（对

于〃=4,5,6,…，这种方法可能非常繁琐）。

还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵儿下面介

绍著名的爱克曼公式，可用来确定状态反馈增益矩阵

Ko

2.5爱克曼公式（Ackermann'sFormula）

考虑由式（1）给出的系统，重写为

x=Ax+Bu

假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭

环极点为S==〃2,…，s=

利用线性状态反馈控制律

u=-Kx

将系统状态方程改写为

x=(A-BK)x(14)

定义

A=A-BK

则所期望的特征方程为

^sl—A.+BK—si~A.=(s—4)(s—〃))••—//〃)

H*/7-1d---1-*.5+♦0

=s+ax1sa〃n一Iann=

由于凯莱-哈密尔顿定理指出人应满足其自身的

特征方程，所以

(由二理++・・・+a^A+a^I=Q(15)

我们用式(15)来推导爱克曼公式。为简化推导，

考虑〃=3的情况。需要指出的是，对任意正整数，

下面的推导可方便地加以推广。

考虑下列恒等式

A=A-BK

A2=(A-BKy=A2-ABK-BKA

矛=(A-BK)3=A3-A2BK-ABKA-BKA2

将上述方程分别乘以，，a；,a：,a；(4=1),并相

加，则可得

a.I+a.A+a+A'

JJ1y

=dj+a；(A-BK)+a^A2-ABK-BKA)+A3-

-A^BK-ABKA-BKA2

232

=a3l+d2A+a；A+A-a2BK-a；ABK-a；BKA-ABK-

-ABKA-BKA2(16)

参照式(15)可得

23

a.I+a2A+a^A+A=(/)(A)=0

也可得到

a^I+a^A+a^A2+A3=0*(A)wO

将上述两式代入式(16),可得

1

/(N)=，(A)-a2BK-a,BKA-BKA-a.ABK-ABKA-A28K

由于，（才）=0,故

武（A）=B（a；K+a；KA+KA2）+AB（a；K+KA）+A28K

Z；K+Q：族+收2-

2

=[B:AB:AB]axK+KA（17）

K

由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵

Q=[B.:AB-.A2B]

的逆存在。在式（17）的两端均左乘能控性矩阵。的

逆，可得

2

~a2K+axKA+KA~

[B.:AB.:A2B=a；K+KA

K

上式两端左乘[001],可得

'a\K+a.KA+KA1'

[00\][B:AB:.A2B]-l（/）XA）=[001]a^K+KA=K

K

重写为

K=[00l][B:AB:A2B]-[（/）\A）

从而给出了所需的状态反馈增益矩阵K。

对任一正整数〃，有

K=[00­­•0i][B:AB:•••:An-]B(A)

(18

)

式(18)称为月于确定状态反馈增益矩阵《的爱克曼

方程。

[例1].考虑如下线性定常系统

x=Ax+Bu

式中

0100

A=001B=0

-1—5-61

利用状态反馈控制〃=-Kx,希望该系统的闭环

极点为s--2±/4和s=-10o试确定状态反馈增益

矩阵儿

首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵

为：

001

Q=[B-.AB:A2B]=01-6

1-631

所以得出det。二T,因此，rank^=3O因而该系统

是状态完全能控的，可任意配置极点。

下面，我们来求解这个问题，并用本章介绍的3种

方法中的每一种求解。

方法1：第一种方法是利用式(13)o该系统的

特征方程为：

飞-10

\sI-A\=0s-1

15s+6

=/+6/+55+1

=s，+a]s+a2s+4=0

因此

cii—6,a?—5,Qq—1

期望的特征方程为

(5+2-74)(5+2+74)(5+10)=/+14/+60s+200

=s+qs+a2s+a3=0

a：=14,a2=60,a：=200

参照式(13),可得

^^[200-1560-5:14-6]

=[199558]

方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为

K,—[Z]k?]