考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷69

考研数学一(概率论与数理统计)模拟

试卷69

一、选择题(本题共5题，每题分，共5分。)

--1o1-

_L

1、设随机变量Xi〜1424」，1=1,2；且P{X|X1=O}=1,则P{X]=X2}

等于

A、0

I

B、彳

C、2

D、1

标准答案：A

知识点解析：由已知可得(X],X》的联合及边缘分布列如下表•由P(X]X2=O)=1

可推出其中的4个0(如:0<P(X|=l,X2=1)<P(X1X2=1)<P(X1X2/O)=1-P(X1X2

2、设X〜N(R,a2),则随着。的增大，P{X-pI<oj：

A、单调增关.

B、单调减小.

C、保持不变.

D、增减不定.

标准答案：C

知识点解析：・中(IX—vI<a)=P(-o<X-g<o)=P(-1<。<1)=0>(1)-

中(一1),可见应选C.

3、设随机变量X的密度为f(x),且f(一%)=(%),«葭.又设X的分布函数为

F(%),则对任意实数a,F(—a)等于

AI—foaf(x)dx

2

B、

C、F(a)

D^2F(a)-l

标准答案：B

1

知识点解析：力=100+"¥(无)(1%=2卜/"£(%)(1%,••-fo+f(x)dx=2.而F(-a)=J—

1

ooaf(X)dx=Roo^-t)(-dt)=fa+^(t)dt=Io+^f(X)dx-foWz=2一后改)奴，故选B.

1

4、设随机变量X,Y独立同分布，P(X=-1)=P(X=1)=2,则

1

A、P(X=Y)=2

B、P(X=Y)=1

1

C、P(X+Y=O)=4

1

D、(XY=1)=7

5、设X〜NQ,16),Y〜NQ,25),Pi=P{X印一4},P2=P{Y>g+5},则：

A、对任意实数ji,有pi=P2.

B、对任意实数口，自pi〈p2.

C、对任意实数山有P1>P2.

D、只对部分实数R有P1=P2.

标准答案：A

x-/£y

知识点解析：P1=P(4<—l)=ct>(—I),P2=p(5>1)=1—0(1),可见pi=

P2，(•••①⑴+①(-1)=1)故选A.

二、填空题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

6、设随机变量X的概率密度为f(x)=Ae-'-8Vx<+8,问X服从什么分

布(若有参数须答出)?且常数A=.

]

标准答案：匕3

知识点解析：••,一/+%=4424,..龟户

A君十)1与正态分布的概率密度相比较，得X〜N(T'5),且

八E二--------斤1

瓜7工,故A=E

7、设X〜B(2,p),Y〜B(3,p),目P(X±1)=9,WJP(Y>1)=.

19

标准答案：27

22

知识点解析：由9=1—P(X=O)=1—C2°p°(l—pK9=l—(1—p)2,解得p=3,故

(";(—(初=黑

P(Y>1)=1-P(Y=O)=1-3327

1

8、用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件足次品的概率为F(i=

1,2,3).设这3个零件中有X个合格品(非次品即为合格品)，则P(X=2)=

(•(_!)，」)，，二S

标准答案：P(X=k)='228=0,1,2,3,而Y=IX-(3-

X)I=I2X-3I,得(X,Y)的分布如下表，并算出边缘分布列.•••P(X=0,Y=

I,3

TT-X—

12、设二维随机变量(X,Y)的分布函数为：F(%,y)=A(B+arctan2)(C+arctan

v

2),-oo<x<+oo,—8VyV+8.求：(1)常数A,B,C；(2)(X,Y)的概率密

度f(%，Y)；(3)关于X和Y的边缘密度fx(»和fY(y).

2LZ

标准答案：(l)0=F(—oc,y)=A(B=2)(C+arctan2),VeR1,0=F(%,—oo)=A(B

+arctan*)(C2),1=F(4-OO,+CO)=A22,得A=",B

na'F(.________1________

=C=Z⑵敢，y)=2两一7•(、+4)(=+4),(z,y)GR2;⑶

—("5"+arctan)

关于X和Y的边缘分布函数分别为Fx(%)=F(%,+QO)=兀22和

-(---+arctan

FY(y)=F(+oo,y)=XZ2,故fx(/j=Fx=

J皿)=匕3=

这里注R*yeR1.

知识点解析：暂无解析

13、甲袋中有2个白球，乙袋中有2个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换后放

入对方袋中，共交换3次.用X表示3次交换后甲袋中的白球数，求X的分布

列.

标准答案：记人=｛经过2次变换后甲袋中有」个白球｝,i=0,1,2.则

P(A())=-1-X~=

444

P(A\)=4X--X2=

22P(A2)=4，P(X=OIAo)=O,P(X=OIA])=4，

P(X=OIA2)=0,P(X=1IAo)=P(X=1IA2)=l，P(X=1IA])=2,P(X=2I

2

13

Ao)=P(X=2IA2)=0,P(X=2IA])=4,故P(X=O)=q)P(X=OIAi)P(Ai)=

±色玄_L

8,P(X=l)=Wp(X=0IAi)P(Ai)=4,p(x=2)=，-nP(X=2IA0=8,故X的

X012

p1■31

分布列为848

知识点解析：暂无解析

C

14、设随机变量X的概率密度为f(%)=c'+e-oo<z<+oo.求：(1)常数C；

x1

(2)X的分布函数F(%)和P｛O<X<1｝；(3)Y=e-'的概率密度fY(y).

标准答案：

(1)1=

「/⑺"=匚=c[二骼=C.arctan7

・・.c==J：[二三-7TT7=7,arctane,l9=.arctan，”WR.

(2)P(0X1)=f—•巴=—arctanez.|-±.

Joxe+eKarctane

y的分布函数为FY(y)=P{Ygy}=P{e52y}显然，ygO时，Fv(y)=0,沦1时,

FY(y)=l，这时fY(y)=F，(y)=O,当OVyVl时，Fy(y)=P{—IXI<lny}=P{I

XI>-lny)=1-P{lny<X<-lny}=1-fin/，nyf(X)dX>则fY(y)=F，(y)=—[f(一

j_2.

lny)(—,v)—f(lny),v]=v[f(—lny)+f(lny)],注意到f(%)是偶函数.故

v*T。加,TT(14-/),

'一』一"n;・0<.v<1

即f\<.y)=<兀(1.V)

Io-其他

知识点解析：暂无解析

15、设二维随机变量(X.Y)的概率密度为

=

°,其他求(X,Y)的联合分布函数F(%,y).

标准答案：F(%,y)=f-xzdu/-ooyf(u,v)dv,故笈0或y4)时，F(7,y)=0；X>1,

y>lH'LF(X,y)=Jo1du/ol4uvdv=1；左1,OVyVl时,F(x，y)—fo1dufoy4uvdv=

y2(图中阴影部分即为积分区域)；y>l,OV1<1时，F(x，y)=foxdufo14uvdv=x2;

v

0<%<1,0<yVl时，F(x，y)=foxdufoy4udv=x2y2•0】

知识点解析：暂无解析

1I

16、设随机变量X的绝对值不大于1,P(X=-1)=百，P(X=1)=4,在{-1<X

VI}出现的条件下，X在区间(一1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区

间的长度成正比，求X的分布函数F(%).

标准答案：F(X)=P(X<x),由已知得：/<—1时，F(x)=O；发1时，F(x)=l;F(-

I

1)=P(X<-1)=P(X=-1)=8当一IVyVl时,有P{一1夕仁％|-l<X<l}=k(x

55

:1),而P(-1VXV1)=8,可化得P(一1vxw%)=kk+l),其中k，=8k(待

定)，故P(XW%)=P(一七XW%)=P(X=-l)+P(—l〈XWx)=8+kk+l),又由।

_!A

=P(X=1)=F(1)-F(1-O)=1—(X-2k),得k，=16,即-]<%<]时，F(Z)=

L+工

8,6(x+l).

知识点解析：暂无解析

17、设一设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N⑴服从参数为Xt的泊松分

布，求：(1)相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；(2)在设备已无故障工作

8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率.

标准答案：(l)tVO时，P(T>t)=l；小0时,p(T>t)=P{N(t)=°!=/=/,故

产/<0

T的分布函数为F(t)=P(T<t)=l-P(T>t)="一°"・'导°(2)取T的单化为

P(T>16)

小时.所求慨率为P{T>16IT>8}=P(7>8)=©%

知识点解析：暂无解析

18、设随机变量Xi，X2,X3,X4独立同分布，P(Xi=0)=0.6,P(Xi=l)=

Xix2

0.4,求*=XiX,的概率分布.

标准答案：X1X4—X2X3可能取的值为:一1,0,1.P(X1X4)-P(X2X3-X2X3=1)

=P(X1X4=0)P(X2X3=1)=[1-P(X1-1,X4=1)]P(X2=1)P(X3=1)=(1-

0.42)xo.42=0.1344,同理P(X=1)=O.1344,得P(X=0)=1—2x0.1344=

0.7312.

知识点解析：暂无解析

19、设飞机引擎在飞行中正常运行的概率为p,且各引擎是否正常运行是相互独立

的.如果有至少50%的引擎正常运行，飞机就能成功飞行，问对于多大的p而

言，4引擎飞机比2引擎飞机更可取？

标准答案：设4引擎与2引擎飞机分别有X与Y个引擎正常工作，则X〜B(4,

p),Y〜B(2,p).P(X>2)=1-(1-p)4-4p(l-p)3,P(Y>l)=l-(l-p)2,由

2_

P(XN2巨P(YN1)而OVpVl,可解得位3.

知识点解析：暂无解析

1+<y

LrI<I•V<1

=

其他

问X与Y是否独立？IXI与I

YI是否独立？

标准答案：关于X的边缘密度为fxCc)=J-/8取，y)dy.若|%|21,则fx(x：i=

0：若IxlVI，则fx(，)=JT42.关于Y的边缘密度为fY(y)=J—8

+°°的C，y)d%若IyI>1,则fy(y)=0；若IyIVI,则fy(y)=

y•I工IV1

即/x(x)=72/y(>)

10.其他lo，其他

♦1xI<1•I>l<1

可见•A(j>=]手f(工，y)

0,其他即X与

Y不独立。而(IXI,IYI)的分布函数为F(x，y)=P{IxI<x，IyISy}当

正0或y0O时，f(x，y)=0；当在0，yNO时，F(%,y)=P{-/<X<%,—y<Y<yJ=f-

1+uv

y

/duj-yf(u,v)dv.当心1,yNl时，F(x，y)=J，duJ.J4dv=l；当OV

1+MV

9t1

x<l»在1时，F(x，y)=f.zduj-i4dv=%；当/1,OVy-1时，F(x，y)=f.

]+[+uv

I'dujy4dv=y；当0<％Vl,OVyVl时，FQc，y)=J.z*duJ-yy4dv=

0..r&0或y《0

r.0V*(12I

故=•,y-J21J)Vy《1

"・0<T<HO<v<1

忤」’z21・.vN1于是，关于|x|的(边缘)

fO,J-<0

F、(i)=limF(j\y)=<0V.r41

tl.T>1

分布函数为:而关于IYI的

0,0

FY(y)—lim=<y.0V》(1

,一•

(边缘)分布函数为：1.y>1可见

Fx(X).FY(y)=F(%,y),V(z,y)eR2,即|xI与IYI相互独立.

知识点解析：暂无解析

21、设随机变量X,Y,Z独立，均服从指数分布.参数依次为九1，M，入式均为

正).求P{X=min(X,Y,Z).

标准答案：由已知可得：(X,Y,Z)的概率密度为

1不(?4'•心e”•入e*,x>0.,y>0^>0

f(x.y.z)={

10,其他

.•.P{X=min(X.Y,Z))=P{X<Y,X<Z}=*-«y,z)d%dydz=

尢c』‘di九c"z、dy『A：<e"/ck=-----y--

JoJJiA|~tA2Ai

知识点解析：暂无解析

(n.l2v>i

22、函数F(%,y)=B，-r--V*।是否可以是某随机变量(X,Y)的分布函

数?为什么？

标准答案：令a=c=O,b=d=2,则a<b,c<d,但F(b,d)〜F(a,d)~F(b,c)

4-F(a,c)=l-1-1+0=-l<0.可见F(%,y)不是随机变量的分布函数.

知识点解析：暂无解析

23、设X〜U(0,1)且X与Y独立间分布，求&='的分布函数(U(0,1)表示区

间(0,1)上的均匀分布)F(u).

标准答案：由题意，(X.Y)的概率密度为

=(x

'°・其他则F(u)=P侬u)=P(X+V<u)u<0

1

时，F(u)=O；回时,F(u)=l；0Vug2时，

/(x.v)(Lrdj»=Ifd-rdv

F(z/)—

其中G见图1中阴影部分;

1

2<u<l时,

F(u)=jj/(/."clrdy011d.rdv

sz].——1—•1—u■"3w■-,""1■

2«2〃其中D见图2中阴影部

0・“40

^77^----7，°V"&[

,2(I—«)2

成F(〃)=《

3〃-1I«

1,〃21

知识点解析：暂无解析

I•…-X・y•为诵&万，P(X=l)=p.(OVpVl),p(X=O)=l-p.令2=

o・若X+Y为奇数.

问p取何值时，X与Z独立?(设0为偶数)

标准答案：P(Z=O)=P(X4-Y=1)=P(X=O,Y=1)+P(X=1,Y=O)=2p(l-p)

P(Z=1)=P(X+Y=O)+P(X+Y=1)=P(X=O,Y=O)+P(X=1,Y=l)=(l-p)2

+p2而p(x=o,z=O)=P(X=O,Y=l)=P(X=O)P(Y=l)=p(l-p)如果P(X=

1

0,Z=O)=P(X=O))P(Z=O),则须P(l—P)=(l—p).2P(1—p)解得p=2,不难算

出，p=2时，P(X=O,Z=1)=P(X=O)P(Z=I)=1,P(X=1,Z=O)=P(X=

_LJL±

1)P(Z=O)=1,P(X=1,Z=1)=P(X=1)P(Z=1)=4.故知当且仅当p=2时，

X与z独立.

知识点解析：暂无解析

25、证明：(1)若随机变量X只取一个值a,则X与任一随机变量Y独立；(2)符随

机变量X与自己独立.则必有常数C,使得P(X=c)=l.

标准答案：(l)%Va时，P(X<Z)=O,故P(X0c，Y<y)=P(X<Z)P(Y<y)=O；发a时，

2

P(X<X)=1,故P(XW],Y<y)=P(Y<y)=P(X<Z)P(Y<y).V^RI即V(X,y)ER,

V

有P(X9,Y<y)=P(X<x)P(Y<y),即X与Y独立；(2)由已知得：(Z，

y)ER2.有P(X0C，XWy)=P(Xq)P(XSy)记X的分布函数为F(%),则F3=P(XSX)

前式中令y=X即得F(X)=[F(X)]2,可见F(x)只能取0或I,又由F(—8)=0,F(+

,fO,J<C

卜,

8)=1,知必存存C(常数)，使得11，故P{X=C}=1.

知识点解析：暂无解析

26、设X〜N(0,1).给定X=;(条件下时Y〜N(p%,l-p2)(0VpVl).求(X,Y)的

密度以及给定Y=y条件下X的分布.

11

标准答案：由题意，X的概率密度为(p(x)=存，而已知X=x条件下，Y的

1

条件概率密度为fyix(yIx)=&(1一-),故(X,Y)的概率密度为

1<»•

/_e2(।r

y)=<p(x)fYix(yIx)=2nP

可见(X,Y)服从二维

正态分布，且EX=EY=0,DX=DY=1,(X,Y)的相关系数为p,故Y〜N(0,

1),Y的概率密度为(p(y),故Y=y的条件下X的条件概率密度为fxiYCdy)=

/（3）=1

知识点解析：暂无解析

27、设区域D为：由以(0,0).(1,1),(0,2),(2,1)为顶点的四边形与以(2,

0),(1,0).(1,2)为顶点的二角形合成.而(X.Y)在D上服从均匀分布，求关于

X和Y的边缘密度fx(x)和fY(y).

_3±±

标准答案：易算得D]的面积为耳，D2的面积为①"，故D的面积为彳，MX,Y)的

概率密度为其他•'-fX（X）=f-QOy)dy当瓜0或a1

产，一|

时，fx（%）=0：当0<K<2时，fx（x）=J,2dy=l：当2或V1时，fx（»=k

2dy+J/2dy=1而fY（y）=f-oo+xf（x»y）d/.当y<0或yNl时，fv（y）=0；当0<y<

1f,1f.

y

2时，fY（y）=Jo*2d%+八.力敢=1；当233Vl时，fY（y）=2dZ=1•故

0<T<1

/x（.r）

其他

Q<y<\

其他

知识点解析：暂无解析

28、设X服从参数为2的指数分布，求Y=l—e-2X的概率密度fY(y).

2e~2t.JT>0

标准答案：X的概率密度为：fx(z)=°，14°的分布函数F[(y)=P(YSy)

=P(1-e-2X<y)=P(e'2X>1-y),1一蜉0即在1时,Fy(y)=l,fy(y)=0；l-y>0

1-In<l

即yVl时，FY(y)=P{2X>ln(l-y)}=P{X<-21n(1-y)}=Jfx(X)dX,

—1-ln(1y)>0

八3=%3=/卜1ma一向(一十)”=^77

0.-yln(l-v»C0

fl.0VyV1

!o.

・】

故“2=1(1。.其0他VyV

知识点解析：暂无解析

29、设一电路装有3个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工作时间

均服从参数为大的指数分布(入>0).当3个元件都无故障时，电路正常工作，否则

电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的密度f(t).

标准答案：记Xi，X2,X3为这3个元件的无故障丁作的时间，则T=min(X],

3

X2，X3)的分布函数为FT(t)=P(TSt)=l—P{min(X],X2,X3)>t}=1-|P(X!>t)]

l-J.1>0]3_尸一产./>。

、一H0.，<0」卜・，4。故

I3K一如./>0

f(t)=⑴=FT⑴」。・y°

知识点解析：暂无解析

30、n个小球和n个盒子均编号1,2........n,将n个小球随机地投入n个盒中

去，每盒投1个球.记X为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求E(X).

(1.i号球被投入到i号盒中

I，1)!=J

标准答案：记K=否则则p(K=i)=一:

01

l-±±12

即Xi〜n"J,.-.EXi=i=l,2,n.而X=，iXi，故EX=

SEX「之十

»-l，I〃=1.

知识点解析：暂无解析

31、在长为a的线段AB上独立、随机地取两点C,D,试求CD的平均长度.

标准答案：设AC、AD的长度分别为X、Y,由题意知X与Y独立同分布，均服

从区间(0,a)上的均匀分布，故(X,Y)的慨率密度为：

e

D

Io，其他

其中D={(%,y)I0<Z<a,0<y<a),而CD

的长度为IX-YI,故知

EXy

一

一

一y

IX-/(_r・y)cLrdy=!/—yId.rdj

l〃

工k

TTT

。