考研数学一（高等数学）模拟试卷260

考研数学一（高等数学）模拟试卷260

一、选择题（本题共9题，每题7.0分，共9分。）

1、以下三个命题：①若数列｛11力收敛于A,则其任意子数列｛Uni｝必定收敛于A;

②若单调数列｛Xn｝的某一子数列｛xm｝收敛于A,则该数列必定收敛于A;③若数

列｛X2n｝与｛X2nl｝都收敛于A,则数列｛Xn｝必定收敛于A.正确的个数为（）

A、0

B、1

C、2

D、3

标准答案：D

知识点解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列｛Un）收敛于A,则对

任意给定的£>0,存在自然数N,当n>N时，恒有IUn-AI<£.可知当ni>N

时，恒有IUn-A|因此数列｛Uni｝也收敛于A,可知命题正确.对于命题

②，不妨设数列｛Xn｝为单调增加的，即XFX在……，其中某一给定子数列

｛Xni｝收敛于A,则对任意给定的£>0,存在自然数N,当ni£N时，恒有IXni一

AI<8.由于数列｛Xn｝为单调增加的数列，对于任意的n>N,必定存在

ni<n<ni+i，有一eVxnLA）1】一AWxm+|—AVw,从而Ixn—AI<£.可知数列

limz2K=A,limzz什i=A

｛Xn｝收敛于A.因此命题正确.对于命题③，因lxL8,由

极限的定义可知，对于任意给定的£>0,必定存在自然数N1，N2：当2n>Ni

时，恒有IX2n—AI<8;当2。+1>2时，恒有IX2n+1—AI<£.取

linu=A

N=max｛Ni，N2）,则当n>N时，总有IXn-AI<£,因此"*.可知命

题正确.答案选D.

|sin丁,hWO,

/（x）=<%

2、设函数S'”=°'则取）在点灯0处（）

A、极限不存在

B、极限存在，但不连续

C、连续，但不可导

D、可导

标准答案：C

lim，旧sin，=0=f(0),又

LOZ

/—.11

Vxsinwsin—

/；(O)=lim-------=lim-

知识点解析："L0+y/x极限不存在，故

r(o)不存在.

3、在曲线x=t,y=—t2,z=P的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()

A、只有1条

B、只有2条

C、至少有3条

D、不存在

标准答案：B

知识点解析：对应于S处曲线切线的方向向量为『(1,一2lo,31()2),该切线与平

面x+2y+z=4平行V=>T与该平面的法向量n=(l,2,l)Sfil<=>T.n=O<=>l一

4to+3to2=O<=>to=l或。3*

1.1,1_.

4、曲面“3十>3十*=4上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为

()

A、48

B、64

C、36

D、16

标准答案：B

22工

知识点解析：曲面+/+K=4上任一点p(x,y,益处的法向量为

/222_1\

,333/在点P(X,y,z)处的灯平面方程为

x^(X-x)+y-丫-y)+zT(Z-=)=0.今

<I—乙一V一/

Xo=，令X=Z=0=>Yo=4/，令X=Y=0=>Zo=4/，于是

XO2+YO2+ZO2J6X(./+/+/)=64.

xarctan』，z#0.

f(x,y)=<x

5、函数卜，才=0不连续的点集为()

A、y轴上的所有点

B、x=0,yK)的点集

C、空集

D、x=0,ySO的点集

标准答案：C

知识点解析：当对0时，f(x,y)为二元连续函数，而当

<X'时Jimxarctan2=0.

"KX所以，(0,y())为f(x,y)的连续点，故此函数的

不连续点集为空集.

6、设Z为球面(X—l)2+/+(z+l)2=|,则工(2x+3y+zidS=()

A、4兀

B、2兀

C、兀

D、0

标准答案：A

知识点解析：

「(2工+3y+z)dS=2/dS+3"dS+jJzdS,其中了=“tfdS

£

是球面(x—19+/+仪+1尸=1的形心坐标公式，而球面的形心在球心(1,0,-1)

口(2z+3y+z)dS=(2王+3夕+支)S=(2+0—1)4以=4兀

处，故w

而an白绝对收敛，级数X二^

7、己知级数"〃"=,71条件收敛，则()

1Kc

(A)0VQ4右(B)l<a<--(C)l<fl<3(D)4<G<3

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：设

82

=(-1)”而tanJ•贝IJ当〃一>8时，|；----则2]"J与2~I

n之巧“.|nLf

35V（1

a—丁>1,即。>丁.2J勿3r

的敛散性相同，故22而由"条件收敛可知0V3

卷VaV3,

-a<l,即2SaV3.若使两个结论都成立，只有2.故选D.

04，

8、设n则下列级数中一定收敛的是（）

8g88

（）（尤

<A）（B）2（T）"（C）25A7D2-D-

W-I・=1w-1

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：因由正项级数的比较审

oo

收敛，故Z（-D"

敛法知，"=,绝对收敛，从而收敛，故选D.A,C错

8

（一1）”+1

27-2n

误：如"TB错误:如I

=Q.4--=/

9、函数”一至（其中c是任意常数）对微分方程后一”而言（）

A、是通解

B、是特解

C、是解，但既非通解也非特解

D、不是解

标准答案：C

知识点解析：①因原方程阶数为2,通解中应包含两个任意常数（可求出通解为

£1、（V=4为特解），③Cr+t

Ci+C2x+6）；②特解中不含有任意常数66满足原

方程，为原方程的解，故选项A,B,D都不对，应选C.

二、填空题（本题共5题，每题7.0分，共5分。）

10、设取）=。2—1），则2+1）（一1尸.

标准答案：(n+l)!n(-2)n—।

知识点解析：求乘积的高阶导数，一般用高阶导数的莱布尼茨公式.f(x)=(x2-

l)n=(x+l)n(x-l)n.f<n+1)(x)=[(x+l)n]n+1(x-l)n+Cn-^Kx+D^Kx-l)11]^

2n(nI)n，，n+，nn(n

Cn+l[(x+l)|[(xil)]+...+Cn+i(X+l)[(X-l)]以X=-l代入,只有

第2项不为0.所以视+1)(—i)=(n+i).n!.n(—2)E=(n+l)!n(—2)n」.

1।J2(N+7)y/x—2_

K

标准答案：3

知识点解析：令=G则x=*+2,dx=2tdt,

原积分=2[=yarctany°°=y.

/(x)=———~—「，且F仔)=。，

12、已知函数F(x)的导数为sin112cos1'4/贝|j

F(x)=.

1tanx11

—arctan————arctan——

标准答案：&a&桓

知识点解析：

由题意/包)=/(x)=,一一「，故F(j)=

sin'z+2cosx

f业_fd(tanx)_1.tanx.

JI忑不2cos2z-J匕/I+2=J^rctan行+<

又F(市)=。，得C=--.arctan故F(x)=；arctan'叫”——arctan

寸2y2V24^

13、设函数f(x,y)=e'lMl+y)的二阶麦克劳林多项式为y+2(2xy—y?),则其拉格

朗日余项R2=.

-e^lnd+力犬+x2.y—ryJy2+7r3萨式〕'

标准答案：3!1+?(1+?)(1+办自在

o,x之间，n在。，y之间

知识点解析：

|/；=e”n(l+、)，/；=1^'/工=e"n(l+y)=滔；，*=一(式厂;

e*e”.2e*

匕，=e*ln(l*Y),匕y=]+»J*»=一(1+b=(1+,尸・

f(x,y)=y+2(2xy—y2)+R2.

14、设p(x),q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)¥O.设yi(x),yz(x)与y3(x)是二阶非齐

y一”W常数，

次线性方程y,,+p(x)y,+q(x)y=f(x)①的3个解，且“一认则式①的通

解为.

标准答案:y=Ci(yi—y2)+C2(y2_y3)+y1»其中J,C2为任意常数

知识点解析：由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明

这样所得到的解线性无关即可.yi-y2与丫2—丫3均是式①对应的齐次线性方程

y''+p(x)y'+q(x)y=O②的两个解.今证它们线性无关.事实上，若它们线性相关，

则存在不全为零的常数ki与k2使ki(yi—y2)+k2(y2—y3)=0.③设k/0,又在题

"一"=_&=常数,

设知丫2—丫3对，于是式③可改写为火一以A】矛盾.若k『o,由

丫2—丫3川，故由式③推知k2=0矛盾.这些矛盾证得y1一y2与丫2—y3线性无

美.于是y二Ci(y]—y2)+C2(y2—丫3)④为式②的通解,其中Ci，C2为任意常数，

从而知y=C](y1—yi)+C2(y2—ys)+y1⑤为式①的通解.

三、解答题(本题共75题，每题1.0分，共不分。)

x°sin一，n>0,

g(x)=1x

15、试讨论函数x<0在点x=0处的连续性.

limg(0^)=limj-Bsin-.

标准答案：冢0)二(炉+优Ix=o="L(eX+p)=l+p=g(0j,一。*”当

a>0且p=-1时，有g(0-)=g(0+)=g(0)=0,故g(x)在x=0处连续；当a>0且算一

1时,有g(0)#g(0+),故点x=0是g(x)的跳跃间断点;当a£0时，点x=0是g(x)

的振荡间断点.

知识点解析：暂无解析

lim产_J1+被.

16、求极限-8

lim++•/]t=J_

标准答案：先看L+RL'2'」设Z'当XT+8

时，t—o+,有

加wT+罚e'E卜四―*■!—

(-14-/)ezH-(1-r+()e，---，=

'2/2/TT7-

3?

I-。一

故由归结原则，得

知识点解析：暂无解析

dr

lim

17、设T=cosnO,0=arccosx,求I一

dT=dT/d夕

标准答案："dr/d6=—nsinnO/(—sin0)=nsinnO/sin0,因为O=arccosx,

2

_lim孚=lim"叩.=]jm"/夕=n.

当XTI时，0->0,所以z-rar〜。sm0j。0

知识点解析：暂无解析

18、顶角为60毒，底圆半径为口的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径2b(b

Va)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水山漏斗注入水桶，何当漏

斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平而高度是多少？

标准答案：设在时刻t,漏斗中水平面的高度为h,水量为p,水桶中水平面的高

度为H,水量2q(如图1.2—1),则

P=L(云)h=《球'9

39q』b2H.因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛

满水时的水量，所以

4瓶3+冠2H=•岛=§皿3•即好+9〃H=3年3

,S3两边对［求

3A2学+9/学=0,即人?，=36"一学).

导得出dzdt\dr/因为下降的速度与上升

弛=_也

的速度方向相反，所以'不—一币'得lf=3b2,故人=商时，漏斗水平面下

降速度与水桶水平面上升速度相等.

知识点解析：暂无解析

19,f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导，且F(x),O.证明:存在。“G(a,b),

f'9=e-e。

使得f⑺b-a・

f(b)jf(Q=((&，we(a,6),

b-a

/(*/(*&㈤，

标准答案：因为。一1炉’两式相比，得

三：=少且，即3=巴We。

b-a/(17)/(?)b—a

知识点解析：暂无解析

dx

20、求」X+'］一犬

dr令n—sintcost

dt

X+\/l—x2sint+cost

1fcos(+sin£+cos(一sin£8

2Jsint+cost

+/In|sint+cost\+C

1

—arcsinx十|z+—er?|+C.

标准答案：乙乙

知识点解析•：暂无解析

21、求不定积分L+2/+5”

if_____£__近二口d(q)..二If..a(/+iL

Ux4+2x24-52J(x2+l)2+42J(x2+1)2+22

2

1.x+1,r

标准答案：=Tarctan-+C.

知识点解析：暂无解析

(6-a).

22、设函数r(x)在⑶b]上连续，且f(a)=0,证明：fabf2(x)dx<2

b2

fa[f(x)]dx.

22x2x2X2

标准答案：因为f(x)=[f(x)-f(a)]=[faf(t)dt],而[faf(t)dt]<(x-a)Ja[f(t)]dt<(x

『)[叮⑻2dt(柯西一施瓦茨不等式),所以Jabf'xNx4b(x—a)dxJabf(t)『dt=

(6—a)?

b2

—2―Ja[f(x)]dx.

知识点解析：暂无解析

23、已知矩形的周长为2p,将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体（圆柱体），求

该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大？

标准答案：设该旋转体的半径x,高为y,则x+y=p.该圆柱体体积V=7tyx2.化

成一元函数极值问题.V=7iyx2=7l（p—X）x2=7Cpx2—JTX?,0<7C<P.V，=27ipX—

,,H=孕，仁伴）VO,一,

3兀x~,V''=2兀p—67tx.令V'=0,得3'3/所以当半径

工=续彳=竺,—]=2

3时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当33

时V最大.

知识点解析：暂无解析

、sinz,

dxdyJo7rB

24、计算

标准答案：先交换y,z的积分次序.将I理解成由三重积分，先对y,z作二重积

分再对x作定积分得到，二重积分的积分区域为D”={(y，z)I0<y<x,gzSyXx视

为［0,1］上的某个常数),将Dyz表示为Dyz={(y,z)I0<z<x,z<y<x).于是

sinz

(l-s)0(1-N)要计算这个二

重积分，仍需要交换积分次序，换序后得

［=(击［段®_动"=_cos］).

知识点解析：暂无解析

25、设平面薄片所占的区域D由抛物线y=x2及直线尸x所围成，它在(x,y)处的

面密度p(x,y)=x2y,求此薄片的重心.

标准答案：设此薄片重心的坐标为(了'3)',则

人(3)立「心「^ydyi

l)____________Jo_J?_____4_8__--■M3AM5*

回产2ydy148

35

JJw(3)匕「让「z2ydy

I)_JoJJ2_54=35

•j「上一T-54,

dxx2ydy

0JX35

知识点解析：暂无解析

26、设半径为R的球的球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a>R>0,a

为常数).试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大

值.

标准答案：以定球球心为原点，两球心之连线为z轴建立坐标系，则两球面方程为

定球：z2+y2+z2=a2；动球：x2+y2+(z—a)2=R2.两球交线为

/+/=署(4/一代)，

4a

z=a_^_与

"一"一五'该交线在xOy平面上的投影圆x2+y2=4a2(4a2-

R2).设动球夹在定球内部的表面积为S.对于动球，有x2+y2+(z—a)2=R2,

Z=a-，R2_彳2_y2,

S二JIJ1+（£『+（筑也出=f-^==d，dy

Jd-R—R向=2所空

JoJo，R2―一a

由零=4小一呼=。得R=*凡=。（不合题意，舍去）.又

故当夫=彳0时，动球夹在定球内部的表面积S最大，最大值为

知识点解析：暂无解析

3

27、求级数I!

（2〃）！的和函数.

与（2〃-1）!

、Z2T_工2《1》

：（2〃一2）!一夕

标准答案：设

（y"-y=0，

又y（0）=l,y，（0尸0.于是得到如下微分方程'^（0）=1，/（°）=0・特征方程为

r2-l=0,r=±l,得通解y=JeX+C2er.对上式求导，得y，=CieX-C2er.将初值

条件代入，解得C尸C2二彳.故

1_

2/72〃)！=:=2(1+…)(―°°<x<+oo).

知识点解析：暂无解析

28、求二阶常系数线性微分方程y"+九y，=2x+l的通解，其中入为常数.

标准答案：对应齐次方程y"+2y'=0的特征方程rW0的特征根为r=O或r=-

九.当时，y-+Xy^Oy=C^C2^.设原方程的特解形式为

y"=x(Ax+B),代入原方程，比较同幕次项的系数，解得AA

y=G+C2e^,

故原方程的通解为‘4X)其中C1，C2为任意常

数.当人0时、原方程化为y''=2x+l,积分两次得方程的通解为

3

y=4-^+?工z+C3M+C4，

32其中C3,C4为任意常数.

知识点解析：暂无解析

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