考研数学三（概率论与数据统计）模拟试卷31

考研数学三(概率论与数据统计)模拟

试卷31

一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)

1、设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则下列服从

相应区间或区域上均匀分布的是

A、X2.

B、X—Y.

C、X+Y.

D、(X,Y).

标准答案：D

知识点解析：从第二章题型训练三、7(1V)的Y4=X2知，X?不服从均匀分布；应用

独立和卷积公式可知，X+Y与X-Y都不服从均匀分布；由X,Y的独立性知，

J1,0<x<1,0<y<1,

(X,Y)的联合密度f(x,y)=1°，其他，因此(X,Y)服从区

域口={、y)l0<x<l,OVyVl}上二维均匀分布，应选(D).

2、设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为Fx(x)与FY。)，则

z=max|X,Y}的分布函数Fz(z)是

A>max{Fx(z),FY(Z)}.

B、FX(Z)+FY(Z)—Fx⑵FY(Z).

C、Fx(z).Fy(z).

；(Z)

D、,

标准答案：c

知识点解析：Fz(z)=P(max(X,Y)<z}=P{X<z,

Y<z}=P{X<z}.P{Y<Z}=FX(Z).FY(Z),应选(C).

0.X<0,

()e<X<+»,

20Wx<l,/2*=匹

I】，#云1,

则

X1+X2的分布函数F(x)二

A、FJ(X)+F2(X).

n京3♦聂2”)

/⑴++&(，-1)・

；尸2（力）+4~F2（x-1）.

D、22

标准答案：D

知识点解析：由题意知X1为离散型随机变量，其分布律为

X,01

~~PIT~

22F(X)=P{XI+X2<X}=P{X1=0}P{X]+X2<XI

Xi=0}+P{Xi=l)P{Xi+X2<xIXi=l}

故选（D）.

4、设随机变量X和Y都服从正态分布，则

A、X+Y一定服从正态分布.

B、X和Y不相关与独立等价.

C、（X,Y）一定服从正态分布.

D、（X,一Y）未必服从正态分布.

标准答案：D

知识点解析：（A）不成立，例如，若Y=—X,则X+Y三0不服从正态分布.（C）不成

立，（X,Y）不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布.（B）也不

成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不

相关”二者等价.故应选（D）.虽然随机变量X和一Y都服从正态分布，但是因为

边缘分布一般不能决定联合分布，故（X,一Y）未必服从止态分布.

5、已知随机变量X］与X2相互独立且有相同的分布

=-1|=P|X,=H彳(i=1,2)

则

A、Xi与X]X2独立且有相同的分布.

B、Xi与XiX2独立且有不同的分布.

c、XI与X1X2不独立且有相同的分布.

D、Xi与X1X2不独立且有不同的分布.

标准答案：A

知识点解析：由题设知X]X2可取一1,1,且P{X|X2=-1}=P{Xi=-1,

X2=l}+P{Xi=l,X2-1}=P{X1=-1)P{X2=1}+P(Xi=l}P{X2=-1)

—I—♦—I=I—I

442

X2的概率分布为

分布且相互独立，故应选(A).

6、已知随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)I—l<x<l,一IVyVI}上服从均匀

分布，则

p\x+丫/0$二L

A、4

-y妾oi=

B、4

P|max(X,r)三0}=-L

C、4

P|min(X,r)NO1=—.

D、4

标准答案：D

知识点解析：由题设知(X,Y)的概率密度函数为

-I<*<1,-1<><1,

/(2)=14

0,其他.由于

尸"in(X,y)N0|=PUO.y0|=，/(4,y)dxd)

ia»o

、4Q

1

7,故选

图

(D).3.I

7、设随机变量X和Y的联合概率分布服从G={(x,y)Ix?+y232}上的均匀分布,

则下列服从相应区域上均匀分布的是

A、随机变量X.

B、随机变量X+Y.

C、随机变量Y.

D、Y关于X=1的条件分布.

标准答案：D

知识点解析：排除法.依题设，由于X,Y对称，(A)和(C)会同时成立，故应排

除.或利用计算，随机变量X和Y的联合概率密度为

[―2.(%,)6C,

/(*,»)=(“厂

°,(*，>)笔°•当|xI>r时，显然fx(x)=O；当IxIgr时，有

6(彳)=[/(x.y)dy=c、dy=3/1

J-••nr"J(n■广

f/、1当〃|yiCr,

/>(r)=irr

°，IM>r・因此，X和Y都不服从均

匀分布，即可排除(A)和(C).而由熟知的事实知二均匀分布随机变量之和也不服从

均匀分布，可见(B)也不成立，故应选(D).

二、填空题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

2

P=N

8、设随机变量X与Y相互独立同分布，且都服从3的。一1分布，则随机变

量z=max{X,Y}的分布律为.

01

标准答案：-----------------------------

知识点解析：显然N也是离散型随机变量，只取。，1两个值，且

P|Z=0|=P"nax(X.y)=0|=P\X=0,V=0|==0|P|Y=0=/,

P|Z=11=1-PiZ=0|=5.

Z01

18

P

V

于是Z的分布律为---------------

9、假设随机变量X与Y相互独立。且

«Vb

P\X=A-|=>=--k\=(A-=1,2,3)

K则

a=____________.b=______,Z=X+Y的分布律为一

636r-2-1012I

b=

ir49,r246625112672

539539539荻」

标准答案:539

知识点解析:

Ila色

^p\x=k\n++=—

=yy6Ti

bb4966浅

=-*l—+—

49布=49

I23-Ir-1-2-3-1

x.y的分布律分别为x~632Y~3694

LTTTTTT」-494949-

z=x+丫的可能取值为-2.-1.0.1.2,由于

P\Z=-2|=P|X+y=-2|=P[X=l,y=-3|=FIX=1!PIr=-31

6424

——y・——

1149~539,

类似地，P\z=-II=P|.¥+r=-I|=P\x=I,r=-2i+P|.¥=2J=-3|

693466

=--x--+—x—=・・■・

II49II49-539'

PIZ=ot=+r=oi

=p\x==-11+p：x=2,r=-2i+p\x=3.r=-3；

6363924251

=■■1X-・+・・-*・・4x---

I!49)149II49-539'

P：Z=I}=P1X=2|P[y=-1|+P,¥=3|Pir=-21

33629126

=--X----♦--X=---.

1149II49539

PIZ=2£=P>=3iPiy=-l=-?-X—=卫，

II49539'

-2-10I2-

户是Z的分布律为6625112672,

*-539539539539539-

10、从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,…，X中任取一个数，记

为Y,则P{Y=2}=.

13

标准答案：48

知识点解析：根据乘法公式P{X=i,Y=j}=P{X=i)P{Y=jIX=i},i,j=l,2,3,

II、设随机变量X和Y的联合分布函数为

0.min\x,y[<0.

F(x,y)=0Wmin|x,y|<I,

1,min；x.y!妾I,

则随机变量X的分布函数F(x)为

J.x<0,

F(x)=Jjr,0w#<1

标准答案：L，।.

知识点解析：分布函数F(x)是F(x,y)的边缘分布函数:F(x)=F(x,+oo)=F(x,1),

0.x<0.

F'(x)=r,0W*<I,

因此**1»xI.

12、设(X,Y)〜N(p,『：G2,a：0),则P{XVY}=

1

标准答案：

2ir(r2

.厂公电;厂跖厂e-3dp=V

知识点解析：，一件二咿82“川上Jo2

三、解答题（本题共14题，每题1.0分，共14分。）

13、袋中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，现随机地抽取两次，

每次取一个，定义两个随机变量X,Y如下：

fl,第一次抽到红球，rl,第二次抽到红球，

Av=IYv={

lo,第一次抽到白球，10,第二次抽到白球.试就放回与不放

回两种情形，求出(X,Y)的联合分布律.

标准答案：(X,Y)是二维离散型随机变量,其全部可能取值为(0.0),(0,I).

(1,0),(1,1).(I)有放回抽取,由于X与Y相互独立,则P{X=i,

Y=j}=P{X=i}P{Y=j},i,j=0,1,P{X=O,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.42=0.16,

P{X=O,Y=l)=PjX=O)P{Y=l)=O.4.0.6=0.24,P{X=1,

Y=O}=P{X=1)P{Y=O)=O.6.0.4=0.24,P{X=1,

Y=1}=P{X=1)P{Y=1)=O.62=0.36.(II)不放回抽取，

p\x=itY=j\=P\X=i\P\Y=)|x=t|,1,；=0.1,

432

p\x=o,y=oi=p\x=o|p|r=o|x=o|=—•y=—,

P\X=0,y=11=P\x=O|p|r=i|x=o|=

644

P\x==01=P\X=\\P\Y=o|x=11

e==="=M春逢，⑴有放回

由此可见，无论是有放回还是不放回抽取其边缘分布律X,Y都相同且都服从参数

为0.6的。一1分布，且当有放回抽取时X与Y独立；无放回抽取时X与Y不

独立.

知识点解析•：暂无解析

14、设二维随机变量

EXY=

a,b,c为常数，且记2=*+丫.求：⑴a,

b,c之值；（n）z的概率分布；（m）p{z=x}与P{Z=Y}.

标准答案：⑴由联合分布性质，有0.1+a+O.2+b+0.2+0.l+c=l,即

a+b+c=0.4.①由EXY=-0.1—2a—0.6+0.2+3c=—*0.1—♦3c—

W0,YN2|_a+0.2+0.2_5

2|=

W0IyN~~P\Y=a+c+0.5=T*

3a-5c=-0.7.处

2a=0.4.②@

j1a+6+c=0.4

3c-2a=0.4,

联立①，②，③，解方程组La-5c=-0.7得a=0.1,b=0.1,c=0.2.(D)

X123

-10.10.10.20.4

00.10.200.3

100.10.20.3

0.40.4

由（X,Y）的联合分布0.2及

Z=X+Y,可知Z的取值为0,1,2,3,4.由于P{Z=0}=P{X=—1,Y=l}=0.1,

P{Z=l)=P{X=0,Y=l)+P{x=-1,Y=2)=0.1+0.1=0.2,P{Z=2}=P{X=0,

Y=2)+P{X=-1,Y=3}+P{X=1,Y=l]=0.2+0.2=0.4.P[Z=3)=P{X=0,

Y=3)+P{X=1,Y=2)=0.1,P{Z=4}=P{X=1,Y=3)=0.2,从而得Z的概率分布

Z0I234

为p0.i0.20.40.10.2(叫由x,Y的边缘分布可知

P{Z=Y}=P(X+Y=Y}=P{X=0)=0.3,P{Z=X}=P{X+Y=X}=P{Y=0}=P((p)=0.

知识点解析：暂无解析

假设二；…,0,一若才w'Y-0,若这2匕叱朽1}上服从均匀分

U={V=

11,若X>丫,11,若X>2丫.

布.记

15、求U和V的联合分布；

标准答案：(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0,0),(1,0),(1,1)各值，且

p\u=o,v=o|=PIXWY,>W2ylPXY

=\\=4

〃〃=Ij=oi=p?x>y.xw2H=PIy<xw2yl=

4

P|t/=I,V=1I=p\x>y.x>2yl=P\X>2yl=--

于是(X,Y)的

0P|U二i|

11

00

44

113

1

*424

11

Pin万

联合分布为

知识点解析：暂无解析

16、求U和V的相关系数p.

标准答案：从⑴中分布表看出

EU=93.DU=3左，EV=1丁,D1V=

41624

EUV=P1U=IJ■1|-J-,Cov(£/.V)=JL_2._L=2

22428

Cov(〃J)_G

P-1/DUJDV=了.

知识点解析：暂无解析

17、设二维随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)IOSvSl,),WxSy+1}内服从均匀分

布，求边缘密度函数，并判断X,Y的独立性.

标准答案：依题意,

/(r)=['(7)e0,

lo,(4,y)€D.

0<X<1,

X,0W4<】，

2-x,1W*W2,

1Wx<2,

0.其他，

其他

A(y)=f°W'Wl，=p，OWyWl,

f(xty)dx=C,

J-oo其他b其他，

由于

f(x,y)Wfx(x)fY(y),所以X与Y不独立.

知识点解析：暂无解析

设随机变量X和Y的联合密度为

(4-(X2+U),若0<X<I,0<3<2.

/(F)=712/

0,若不然.

18、试求X的概率密度f(x)；

标准答案：易见，当x<(0,1)时f(x)=O；对于OVxVl,有

/(幻=/二/(2)S=畀，/+3打=3(2/+4)

知识点解析：暂无解析

19、试求事件“X大于Y”的概率P{X>Y；

标准答案：事件“X大于Y”的概率

小>-=y")d曲=融肛卜+为”|x咒？也=i|

知识点解析：益生解析

20、求条件概率P{Y>1IX<0.5}.

标准答案：条件概率

p\x

p|y>1Ix<0.5]<o.5,y>i|

p\x<O?5T

<0.5(.0.5r

其中P\X<0.51=J/(x)dx=-yJr(2x2+x)dx=—；

P"<65J>"=SI可(八卦"副卜+处八IL

于是尸｛y>1|X<0.51=也告°，5j"="

P\X<0.5[20.

知识点解析：暂无解析

21、设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，其中D={(x,y)II

x+yI<1,Ix—*yI<1},求X的边缘密度fx(x)与在X=0条件下，关于Y的条件

密度fyix(yI0).

标准答案：从图3.2可知，区域D是以(一1,0),(0,1),(1,0),(0,一1)为顶

点的正方形区域，其边长为"，面积SD=2,因此(X,Y)的联合密度是

(x,»)6D,

f(4,y)=

0,(x.y)eD.

-1WxW0.

=[/(%,y)dy

J-9t

0.其他

1+4,-1WxW0,

I-x,0<xW1,

0,其他.

根据公式/nx（yh）=马兴（八「）#0）,当1=0时,有

Aix(/x=Aii(yIo)=<2

I.|y|>1.

图3.2

知识点解析：暂无解析

I1

~6~6

2

6

已知（X,Y）的概率分布为

22、求2=乂-Y的概率分布;

标准答案：应用矢目阵法求解，由题设得

i12_11

P"T6~6T6-

（九丫）(-1,-1)(-M)(0,-1)（0.1）(M)

Z=X-Y0-21-10

t/i=XY1-i001

11n1

匕一T1一10u1

U2=max(X,Y)-11011

V2=min(X,Y)-1-1-101

u2y21

1-1001

由此即得:z=x--Y的概率分布

z=x-y=A-2-0I

1122

P\Z=k\*6y6T

知识点解析：暂无解析

X

vV।二—

23、记U]=XY,>'求（Ui，V]）的概率分布;

标准答案：（Ui，V。的概率分布为

X-101

1

00

-1T

3

000

6

2

i00

6

知识点解析：暂无解析

24、记U2=max(X,Y),V2=min(X,Y),求(U2,的概率分布及U2V2的概率分

布.

u2y2=k-101

132

pw2y2=H

666

知识点解析：暂无解析

25、设随机变量X与Y相互独立，且都在［0,1］上服从均匀分布，试求：

(I)U=XY,的概率密度fu(u)；(n)V=IX—YI的概率密度fv(v).

标准答案：由于X与Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分

布函数法与公式法求出U、V的概率密度.⑴分布函数法.由题设知(X,Y)联合

0W*这1,0小yWl,

/(4'y)⑴fy(y)=

10,其他.

概率密度所以U=XY的分布

尸〃(“)=P\XYwu\J/(x.y)dxdy.

函数为(如图3.3)”一当心0时，Fu(u)=O；

当吟1时，Fu(u)=l；当OVuVl时,

综上得

y

(n)分布函数法.由题设知

(X.y)~/(7)=广，OW#Wl,OWyWl,

1°，其他，所以V=IX—YI的分布函数

Fv(v)=P{IX—YI<v}.当VSO时，Fv(v)=O；当\>0时，Fv(v)=P{IX—YI

=ff/(x,y)dxdy.

<v}=P{-v<X—Y<v}--KB由图3.4知，当史1时，

Fv(v)=l；当0<v<l时，

Jf(*y)dxdy=j/(x,y)dxdy=〃的面枳

11-yll>

1-2X-yx(I-v)2=I-(1-r)t

其中D={(x,y)I

0<x<l,0<y<l,IX—yI

<v).

j2(l-v),0<v<1