第14课 三角函数的概念、基本公式

第14课三角函数的概念、基本公式

普查与练习14I任意角、弧度制及任意角的三角函数

1.任意角有关概念的理解

(1)(2023汇编，5分)下列结论中错误的是④⑦⑧.

①终边经过点3,”)(a#0)的角的集合是{a|a=：+E,ZWZ)；

②第二象限角大于第一象限角；

③三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

④若a是第三象限角，则与为第二象限角，2a为第一象限或第二象限角；

⑤将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是呈

©M={.V|A-=45°IA:-90o,AUZ},N={y|y=90。I045。，Ar<=Z},贝I」M是N；

⑦2022。角的终边在第二象限；

⑧若a=2H+。，力=[2k+1加+仇其中大WZ,则凭a与夕的终边关于)，轴对称.

解析：①点(a,a)(aW0)在直线y=x上，终边在直线y=x上的角的集合为

{aa=；+E,Aez},①正确；

4TT

②设。=一方,片?则a为第二象限角，夕为第一象限角，此时②错误；

③当三角形的一个内角为直角时，该角不属于象限角，③错误：

④角a是第三象限角，则由180。十七360。〈叱〈270。+左360。，6WZ,得90°+^180°<^<135°

+―80°,-6Z,当k=2〃!(〃?WZ)时，90o+m-3600<5<135o+m-360°,mGZ,此时/为第二象

眼角，当女=2〃?+1(小£2)时，270。+办360。《〈315。+m360。，mGZ,此时£为第四象限角，

・・・今是第二或第四象限角；由180°+Z-360°va<270°+k360。，&WZ,得360。+2&-360。<2K540。

+2拈360。,kGZ,即(2%+l)・360°v2aV1800+(2k+l>360°,・・.2a是第一象限角、第二

象限角或终边在y轴正半轴上的角，④错误；

⑤将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针旋转360咏2=60。，转化为弧度数为60义焉

=争⑤正确；

@A/={x|x=45°+^90°,&£Z}={x|x=(2&+1>45°,AWZ},N={)b=90。+%45°,女£Z}=

{%=(2+a45。,kGZ卜易知M2N,⑥正确;

⑦2022。=5X360。+222。，・.・222。角的终边在第三象限，,2022。角的终边在第三象限，

⑦错误：

⑧6-a=n,当角。的终边不在x轴上时，角。与£的终边不关于），轴对称，⑧错误.

故错误的是②©④⑦③.

2.扇形的弧长及面积公式的应用

（2）（2021江苏如皋月考，5分）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写

字作画.下图是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面

积为（A）

64cm

A.704cm2B.352cm2C.1408cm2D.320cm2

解析：如图，设乙4。8=dOA=OB=rcm,

24=r(h

由题意可得解得r=5f

64=(r+16)0,

所以S扇面=S第形OC£>—S扇杉。八8=义X64X管+16）—24xg=704cm?.故选A.

3.三角函数定义的应用

a.判断三角函数值的符号

（3）（2020全国H,5分）若a为第四象限角,则（D）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

解析：因为a为第四象限角，所以一号+2频VaV2-*Z,

所以一;i+4E<2aV4E,kRZ,

所以2a是第三象限角、第四象限角或终边在y轴负半轴上的角，

所以sin2a<0.故选D.

b.利用三角函数的定义求值

（4）（2023汇编，25分）在平面直角坐标系xQv中，己知角a的顶点在坐标原点，始边与x

轴的非负半轴重合.

①若将角a的终边按逆时针方向旋戈后经过点（一1，6），则sina=」_.

44

-

②若角«的终边过点--5・5

一

③在同一直角坐标系中，角用的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与

角a的终边关于原点对称，点MQ",—1）在角夕的终边上.若sina=/则sin6=_二：，

m=±2&一.

④若角a的终边在直线2v+），=0上，贝Usin2a=（C）

A.±|B.^C.-1D.―!

2

⑤若角a的终边上有两点4（I,a）,8（2,b）,且cos2a=§,则心一加=（B）

R亚

A1JD«5r25^5Lx♦i

解析：①由题可知，角a+高的终边经过点（一1,小），

・・・tan（a+沪日=一小，且角a+钠第二象限角，・•““+*=亨+2E,itGZ,.\a=1+

2kit,kGZ,sina=1.

②•.•x=Ty=-p•,•吁/一2+（一步1，

y4

:.sin（a+兀）=—sina—~~QP=^

③•・•角a与角夕的终边关于原点对称，点M（〃?，-1）在角£的终边上，，点AT（一加，1）

在角a的终边上.

・1।

XT7sina=7».•.si•nnp=—sin«=­1/、，=可1,

J3加广+1J

解得机=±2也.

④取终边上不与顶点重合的任意一点N.

（法一）不妨设点N的坐标为（Ao,—2⑹，

.-2xo—2y]5xo

sina=T,,=.।

「一+(—2A0)25koi

,to_^5x()

(-2r0)25|xo|，

4

一2小的的上（）-

.,.sin2a=2sinacosa=2X5

5koi5|x0|~

（法二）易知直线2x+）=0经过第二、四象限.

若角a的终边在第四象限，则不妨设点N的坐标为（1,-2）,则sina=/一二2

7卜十（—2）~

2小]止

一5COStt=V?+(-2)2=5，

近

叫4

X-

-5=-5

同理，若角a的终边在第二象限，则不妨设点N的坐标（一1,2）,则sina=芈，cosa

=普・・.sin2T

4

综上，sin2a=-3.故选C.

2

⑤•・•角a的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且=彳，，

xcos2a*cos2a=2cos%

5

解-

6*

.।,A/30।.।.I~~5亚

..|cosa|=6，|sina|=A/1-^=-^-.

又点人（I,a）,BQ,与均在角a的终边上,

亚r

b—a\|sina|6小

/.|tana|=—\=\a-b\=Icosa厂且一多•故选B・

6

随堂普查练14I

1.（2021北京，5分）若点P（cos。，sin。）与点。（85。+1），sin（〃+§）关于V轴对称，写

出一个符合题意的。=一招（答案不唯满足。=鸨+履"£Z即可）.

解析：由题意知P（cos。，sin9）与Q（cos仅+春），sin（8+^））关于y轴对称，

sin〃=sin"+d）

利用诱导公式sina=sin（7t-a）,cosa=—cos（兀一a）可得0+5=兀

{cos0=-cos（0+d），

—0+2E,kGZ,

则。=居+-k^Z,当2=0时，可取夕的一个值为普

故答案为苣（答案不唯一，满足，=苣+尿，k£Z即可）.

2.（2020河南开封期末，5分）已知扇形的弧长是5九，面积是15兀，则该扇形的圆心角的

正切值等于（D）

A.小B.一小C.坐D.—

解析：由扇形的面积公式得5=5，

即15兀=/乂5"，解得r=6.

,.•/=b=5兀，・,•扇形的圆心角1=金，

.•.tana=—乎.故选D.

3.（经典题，6分）已知角"为第三象限角，求y的值.

答案：一1

解：•・•角a为第三象限角，

3兀、

2kn+n<a<2kit+~2~»kGZ,（I分）

.,.TIa.i3兀,

••kit12二2<"九十494：£Z,

当A=2/〃，〃?£Z时，2”?兀+5与〈2"?兀+苧，机£2,此时与为第二象限角：

当A=2〃i+1,〃?£Z时，2〃m+竽q<2〃］兀+与，加£Z,此时方为第四象限角.（3分）

当今为第二象限角时,sinz>0,cos?<0,tanx<0,

Ay=l-1-1=-1：（4分）

当卷为第四象限角时，si端<0,co号>0,tai以<0,

/.y=-l+l-|=-l.（5分）

综上所述，y=—1.（6分）

4.（2021山西运城模拟，5分）“一湾如月弦初上，斗壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景

之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接I制成，两岸连接点间

距离为6丽米，外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边

步行一周，则该游客步行的路程为（40+3低回兀米.

解析：设内岸、外岸圆弧所在圆的圆心分别为P,0,两岸连接点分别为Q,T,画出月

牙泉示意图，如图所示，则QT=6Q\「米，PQ=60米.

连接夕。，由外圆弧为半圆可得PO_LQT,。为QT中点，

如一名

所以

sin/Qq0=PQ—2'

所以NQP0=$NQP—拳

所以绕着月牙泉的岸边步行一周，该游客步行的路程为L=/X2TIX竽+60X号=（40

+3即）冗（米）.

5.（2020北京东城区一模，4分）在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向

作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为（；，坐），则运动到3分钟

时，动点M所处位置的坐标是（C）

A.停2）B（4>明

C（邛,2）D.（尊-I）

解析：动点M每12分钟转动一周，则运动到3分伊时，OM转过的角煽X2n=全

如图，记

则当点M在初始位置时，根据坐标，可令。=亨,

所以当动点M运动到3分钟时，

虫.1

此时cosa=­sina=2»

所以动点M所处位置的坐标是（一半，.

故选C.

6.（2023改编，6分）已知角a的终边上一点P（m,一小）（机W0）,且cosa=^^,求tana

的值.

答案：*

解：由题设知，x=m,y=一小，，"^^^一小广+加⑹为原点），即r=小+>.

又•.•cosa=：=^|^,，r=2VL（2分）

・•・正锚=2也，即3+〃?2=8,解得加=力.（4分）

当机=小时，lana=：=£=

w*+2一小足

刍m=一寸5时，tana=^=_^=-

综上所述,tana=±^.（6分）

7.（经典题，5分）已知角。的终边上一点P（a,2a）（aK0）,则2sina-cosa=（D）

A强B.亚

A.5b.5

C•坐或一坐D.芈或一手

解析：由a的终边上一点P（a,20SWO）,

J乎,a>（）,

得2语言kM或n

|—4<0,

5»a>0,

_______2a________2a___

J2+⑵）2=痂=

2小n

-—7—>a<0.

［平,A0,

所以2sina-cosa=〈厂故选D.

［普a<0.

普查与练习14II同角三角函数关系式及诱导公式

4.同角三角函数的基本关系及其应用

a.利用sii?a+cos2a=1求三角函数值

7

（5）（2023改编，5分）已知a是第二象限角，sina=Z7,则tana=（A）

乙J

A_LB主

A.24»，24

一5八5

C.-24D-7

解析：♦・•角a的终边在第二象限，且sina=V，/.cosa=—yj1—sin2a=-55»*'•tana

sina794，

===一药故选A.

（6）（经典题，6分）已知3sina+4cosc（=5,求［ana.

答案：i3

3sina+4cosa=5»

解：（法一）由，.2,21

sin-a+cos~a=1,

得25sin，-30sina+9=0,解得sina=p（4分）

・4.sina3二人、

..cosa=T,・・tana=;^=z.（6分）

（法二）设4sina—3cosa=x,等式两边平方得16sin2a—24sinacosa+9cos，=f,①（1分）

将3sina+4cosa=5两边平方得

9siira+24sinacosa+16cos2a=25,②（2分）

①+②，整理得9（siifa+cos2a）+16（§访％+（：00%）=25+/,即25=f+25,解得x=0,

（4分）

4sina—3cosez=0,即4sina=3cosa,

3

刘

Sina-一

tana=

cos«4'(6

（法三）将3sina+4cosa=5两边平方得

9sin2a+24sinacosa+16cos2a=25»（1分）

,9sin2a+24sin«cos«+16cos2a、

即D1-------sin…%-----------=25,（3分）

2

aiI9tana+24tana+16

即-----.，皿

taira+1-------=25,

即16tan%—24tana+9=0,

即（4tana—3）2=0,（5分）

3

解得tana=*（6分）

b.利用tana=震及“1”的代换化弦为切求值

.,.田lsina+cosa

⑺（2。23汇编'20分）已知角a满足审嬴=2

①tana的值等于（C）

A4B.2C.3D.—T

JJ

②若角a是第三象限角，则cosa的值等于（D)

、hfiP„3四迎.迎

A.1°B.10J1010

③cos%+4sinacosa=(A)

13八21-11D―二

AToBioc-fo10

^sina(1+sin2«)

④1D)

——si—na4T--c-o--s-a-----=(

5c5-6

A.6B6C--5D5

解析：①将黑黑=2等号左边的分子与分母同除以cosa,

可得*=2,解得tana=3.故选C.

②(法一)由①知tana=3=~~所以sina=3cosa,

sina=3cosa»

所以

sin2«+cos2a=1.

3A/T0f.3A/T0

sina=jo,sina=----,

L或！L

{cosa=jVQio-Icosa=~V皤io.

因为a为第三象限角，所以cosavO,即cosa=一嚅.

故选D.

（法二）由①知tana=3，因为角a是第三象限角，

所以角a的终边在直线y=3x（x＜0）上.

根据三角函数的定义，取终边与单位圆F+,2=l的交点P（xo,）叫）的〈0），

f__遮Vio

卜，0=3X0，xo--10,x0一]0,

则:,/,解得〈L或＜L（舍去），

[顺+州=1，3/

1＞，0--10〔以-10

故点P的坐标为（一1%，—今俱），故cosa=一斗法.故选D.

③由①可知lana=3,

cos：a4sinacosa

cos2«+4sinacosaCOS~QTcos2al+4tana1+4X313

故cos2«+4sin«cosa—

sin2a+cos2asiifacos2a-tan2a+1-32+1-10,

cos七十cos%

故选A.

sina(1+sin2a)sina(sin%+cos%+2sinacosa)sina(sina+cosa)2..

®-in^os.sina+cosasina+cosasina(sina

siifa+sinacosaian%+tana

+cosa)=

sin2a+cos2atan2a+1

9+36

sina(1+sin2a)-

由①可知tana=3,所以-9+1-5

sina+cosa

c.sina+cosa,sinacosa,since-cosoc矢口一求二

(8)(2020辽宁省实脸中学期中，7分)已知OVXVTT,sin,v+cosx=1.

（I）求sinx—cosx的值;

答案：等

解：（法一）因为sinx+cosx=；,所以（siiu+cosx）2="j^,解得sinxcosx=一盘（2分）

31

所以(siiu-COSJI)2=1—2sinvcos.v=1-(-w=诺(3分)

由0々＜兀可得siiu＞0.

又因为sinxcosx=一今＜0,所以cosx＜0,

所以sinr—cos.v>0,故sin.v—cosx=^-.(5分)

（法二）由法■知，siiuTosx=一/.（2分）

又sinx+cosx=w，

所以sinx,COSA•为一元二次方程尸一%一11=0的两个根,

解方程得力=亚科-2=/史（3分）

由0＜丫＜兀可一得siiu＞0.

柘W.a+1I一对

加以sin.r—g,cosx—&,

所以situ-cosx=^—.（5分）

（II）求sin3x4-cos3x的值.

47

答案：

解：sin3x+cos3x=(sitiv+cosx)(sin2x—sinrcosx+cos2.r)=4x[1—备。

分）

5.三角函数诱导公式及其应用

a.利用诱导公式化简求值

(9)(2023改编，12分)

cos(4a-4兀)sin(a—n)cos(竽+a)lan(­a—兀)

已知/(a)=

sin(5兀+。)tan2(­a—2兀)cos(4a+100n)

(I)化简/(a);

答案：一cosa

cos(4a-4兀)sin(a-n)+atan(—a—n)

*人")sin(57t+a)tan2(—a—2n)cos(4«+IOOTT)

—sinasinatan(-a)sinasinatanasina_

sin(兀+a)tan2(a+2兀)—sin«tan2atanaC0Sa，刀)

(II)若a是第三象限角，且cos(a+?=/求RZ+TT)的值；

答案：一千

解：Vcosfa+2)=5»即一sina=£,Asina=—^.(5

乂•・,1是第三象限角，Acoset=­\l1—sin2a=-(6分)

2c

.*.y(a+7T)=_cos(a4-z)=cosa-----.(8分)

(IH)若。=竽，求火a)的值.

答案：3

加・・兀谕叫

解：•a=103°~，•小")=/(3cosC(03°J=

(10)(2020安徽模拟改编，5分)sin613o+cos(—1063o)+tan570。的值为_申

解析：sin613°+cos(-1063°)+tan570°

=sin6130+cosl06304-tan5700

=sin(360°+253°)+cos(360°X2+343。)+tan(180。X3+30。)

=sin253°+cos343°+tan30°

=sin(l80。+73。)+cos(2700+73。)+tan300

=-sin730+sin730+lan30°=乎.

b.利用角之间的关系求值

S4

(11)(经典题，5分)已知9是笫四象限角，且sin,+：)==nan----

-3

解析：•・•〃是第四象限角，且疝］（必吟）=,>0,

4

・・・e+今为第一象限角，・・・cos［+；）=、/i-

5

•,.ian（e—£）=lan（夕+：-F14

tan（j+彳3­

随堂普查练14II

1.（经典题,5分）已知如。=£,（：03〃=一高,若〃是第二象限角，则1211〃的值为（C）

|34

A.-2B.—2C.—D.一］

解析：由sin20+cos2e=1,得+（一不%）=1，化简得4a=0,解得4=0或

4.因为6是第二象限角，所以。=4,

C.

2.（经典题.6分）已知2sin。-cos〃=^^,〃£（0,。求sin。的佰.

答案•题

口采.10

解：（法一）设sin8+2cos8=x,两边平方得

sin2^+4cos2^H-4sin^cos^=x2,①

将2sin。-cos0=^^两边平方得

4siir^+cos2^—4sinZ?cos^=1,②

①+②，得5=目+/，解得刀2=?

•・・。£（0,9，.\sin6b0,cos6»0,A.v>0,・..x=乎，

.,.sinO+2cosO=^^.（3分）

2sin。-cos9=2，

联立，

sin^+2cos/?=2-,④

③X2+④，得5sin〃=耳匝，.,・sin0=3噂’(6分)

2sin。—cos^=cos^=2sin^-TZ",一,、i—

（法二）联立，2，2整理得10sin2，-4ji^sine+3=

,sin12<9+cos2^=1,上田丹心3i,

0,解得5访0=4厚或sinA=W^.(3分)

V2sin^—cos^=^^>3,0£(0,

.•.2sin〃>cos0>0.

当立访=嚼时，83=喀,•

满足题意;

当sinO=\^时，cos<9=一今俱

,不满足题意，舍去,

，sine=4限.(6分)

.L4cosa+sina.

3.(2。23汇编,2。分)已知2sE-=2,贝m”

sina+cosa

1+2sinacosa

(2)cos2a—sin%=一

(3)7siir«+3cos2a=,；

(4)sina+cosa=.

―「4cos«+since”一心，4+tana

解析：V—-------------=2,且易知cosaW。，-----r=2,解得lana=2.

2sina_cosaztana-I

、_utanaH-1

⑴（法一）原式=嬴二?=3.

(法二)...tana=2,...sina=2c。叩.•.原式=当3=2四=二

2cos«—cosacosa

sin2a—cos2a+2sinacosatan2a+1+2lana

（2）（法一）原式==13.

cos-a—sin-a1-tan-«

(sina+cosa)2cosa+sina1+tana

（法二）原式=--—3

(cosa+sina)(cosa—sina)cosa—sina1-tana

白I、7sin2a+3cos2a7ian2a+331

⑶原式=siR+cos2a=依岛+1=于

sin%+cos%+2sinacosatan2a+1+2tan«

(4)(sina+cosa)2=sin2a+cos%+2sin«cosa=

sin%+cos%tan2a+1

=5-

Vtana=2>0,Aa为第一象限角或第三象限角，

・.,一1近

..sina+coscc—±,

4.（2023改编，12分）已知sin®-cos9=g.

⑴求tanO+^^的值：

答案：.

钮_1___sii访cosesii？e+cos2。1

解：—十而历=而十3而=sinaos。=sin%os?U

因为sin，-cos9=g,所以（sin。-cos0）2==，

展开，得sir?。-2sin6tose+cos2j=/,

1I?

&|JI_2sin^cos^=z7,解得sin比osJ=5^,（3分）

4J4J

II25

所以lan〃+;_7=~r_77T；=7n-（4分）

langsinctost/12''

（2）当0v*7r时，求tan。的值.

4

答毅-

3

解：由⑴得sinaosO=k，

1249

所以（sinO+cos®）2=I4-2sin^cos^=1+2XTT=TT.（6分）

JJJ

又（）<兴兀，所以sin^>0,cos/?>0,所以sin0+cosO=（.

*•

又sin。-cosO=《，联立:求解可得

4

-

3

5.(2020山东潍坊月考改编，7分)

_____cos（3兀+0）___cos（0—4兀）____________

已知/⑨=cos4cos心+。）-1]+―,…、."37tL（八、'

cos（。+2兀）sinl9+—l+cos（一。）

(1)化简/协;

2

答案：＜夕）=而叼

_____cos（3兀+一）

‘火"cos例cos（北+。）—1]

cos（夕一4兀）

cos（〃+2兀）sin+cos（—0）

—cos04________cos。________

cos伏一cos。一I]cos。（一cos。）4-cos/?

112

cos0+1+—cos0+1sin?。"刀）

⑵已知sin6一〃）=/C£（0,9,

求取）的值.

答案：4

解：因为sing_0）=cosJ=g,

«a

所以siif〃=l—cos20=§,所以贝。）=7（7分）

6.（2020安徽滁州期末，10分）计算下列各式的值:

（l）sin（一岩）+cos竽ian（一竽）；

答案:苧

解：原式=sin（-2冗+看）+cos（兀+jltanf—3n—

.nnn1gr-1+亚、

=si%+cos不a”=]-l■勺X^3=-^-.（5分）

（2）sin（-1395°）cosl110°+cos（-1020°）sin750°.

答案:中

解：原式=-sinl395°cosl1100+cosl0200sin75（）°

=-sin（4X360°-45°）cos（3X360°+30°）+cos（3X360。一60°>sin（2X360。+30。）

=sin45°cos300+cos60°sin30°

=^x^+1x!=^^-.（io分）

或

停2

7.（2023改编，5分）三知（一/H.+-

-sm-3os二

-3-

解析:

课后提分练14三角函数的概念、基本公式

A组（巩固提升）

1.（2020北京平谷区二模，4分）若角a的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零

的是（D

A.sin(a+/JB.

C.sin(冗+a)D.cos(7t+a)

解析：角a的终边在第二象限，则sina>0,cosa<0.

对于A,sin(a+9=cosavO；

对于B,cos(a+9=—sinavO；

对于C,sin(n+a)=_sina<0；

对于D,cos(n+a)=-cosa>0.故选D.

2.(2020海南模拟，5分Qinl0500=(B)

|C坐D.

A，2B.

解析：5访1050。=$讪3X360。-30。）=一41130。=一/故选B.

3.（2021北京模拟，4分）已知角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与

单位圆交于第二象限的点P,且点夕的纵坐标*,则sing—a）=（D）

当

A，2B.

解析：因为点P的纵坐标为J所以sina=；.

又角a的终边在第二象限，

所以cosa=-d1—sin2a=—2»

所以sinjj—a)=cosa=­¥.故选D.

4.（2018北京，5分）在平面直角坐标系中，鼐，CD,EF,6力是圆『+尸=I上的四段

弧，如图，点P在其中一段上，角a以。x为始边，OP为终边.若tana<cosa<sina,则2所

在的圆弧是（C）

A.蠢B.CDC.EFD.GH

解析：若点P在嘉或徐（不包含端点4,Q）上，则角a的终边在第一象限，此时12116（-

sina=tanft（l—cos«）>0,与tana<sina矛盾，故排除A,B.

若点尸在厢（不包含瑞点G）上，则角a的终边在笫三象限，此时tana>0,cosavO,与

tan«<cosa矛盾，故排除D.故选C.

5.（2021山东德州实⑥中学期中，5分）如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的

会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形

中较小的内角为仇大正方形的面积是1,小正方形的面积是白，则cos29的值是（C）

A.1B.||

VD--i

解析：由已知可得大正方形的边长为1,小正方形的面积S=（cos^-Sin^=77

(cos/Z>sin/7>0),.'cos。—sinO=1.又sin"+cos20=1,；・sin〃=3，cos0=《，Acos2^=cos2/7—

JJJ

7

sin”=次.故选C.

6.(2020山东聊城模拟，5分)已知cos(a—*)=,,则sin(a+5)=(A)

3344

--

氏-C---

A.555r).5

解析：因为cos(a—*=5,

所以sin(a+1)=sin(a一春+野

=cos(a_§=,.故选A.

7.（2020山东模拟，5分）已知角〃的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（一

则加=_乎_，

小，，〃）是角。终边上的一点，且sin9=*^,〃=lan（0+"M1B

—2—,

解析：•二点P（一小，⑼是角。终边上的一点,

m嚅，解得机=坐.

.*.sin/7=山十“尸

m1

Vtan<9=

y

,71、⑶历+11

\4，1—tan。2

8.（202（）湖南期末，5分）如图所示，用两种方案将一块顶角为竽，腰长为2的等腰三角

形钢板OAB裁剪成扇形，设方案一、二中扇形的面积分别为0,S2,周长分别为小小则（A）

方案二

A.Si=S2,/i>/2B.Si=Sz，h<k

C.Si>Sz，l\=hD.S［〈S2，l\=（2

解析：如图，在方案二中设扇形与边AB相切于点D,连接0。，易知OOJ_AB・・・A/\O8

为顶角为墨腰长为2的等腰三角形，・・・/A=N8弋，OD=\.

由题意得,

方案一中扇形的周长6=2+2+如2=4+全

方案二中扇形的周长l2=l+l+yx1=2+y；

方案一中扇形的面积SI=1X^X22=^,

方案二中扇形的面积S2=：X§X产=呈

所以S1=S2,/1>，2.故选A.

9.（2020北京，4分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆

周率.兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔・卡西的方法是：当

正整数〃充分大时，计算单位圆的内接正6〃边形的周长和外切正6〃边形（各边均与圆相切的

正6〃边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔・卡西的方法，兀的近似

值的表达式是（A）

A,3«s潦+ta有B.6<sinf+tanf）

C.3册罂+由等D,6G察+3用

解析：如图，设单位同I内接正6〃边形的边长为a,外切正6〃边形的边长为5

曰阳c・360。-30。、3600今30。

易得f/=2sin-j^-=2sin-,Z;?=2tan-j^j-=2tan—,

山、6〃。+6汕.30°,30、

则27rp5=6/^sin—+tan—j,

10.（2023改编，10分）已知cosa,sina是函数人工）=小/一工+〃2（机£R）的两个零点，则

17

（）44

lsina+cosa=—25—;

sin（—3兀-a）+cos（2兀+。）

Q）一一八）

sin（~a）+sinl2-raI

解析：⑴;cosa,sina是函数/x）=yjSx2—+m（m£R）的两个零点,

/.cosa,sina是方程YSx2—x+川=0的两个根，

.*.cos«4-sin«=

5，

(cosa+sina)2=cos2a+2sinacosa+sin2a=1+2sinacosa=§.

・・・sinacosa=-|,

4422=12

/.sina+cosa=(sina-25,

sina+cosa

⑵原式=—sina+8s“・

由(可知sinacosa=-|,

1)sina+cosa=5，

_9

/.(—sina=y

-sina+cosa=

或

51

代入原式,可得原式=

.、一1t.1-cosa+sina

11.(2023汇编，16分)已知71+T-c-o--s-a匚十s=in=a一2.

(1)求tana,cosa的值;

4

答案-

3

f1_coscz+sina八.

解：由"1n-十--c--o-s-a--十—sina=-2®,知cosa#0.

①式变形得1—cosa+sina=—2—2cosa—2sina,

化简得3sina+cosa=-3②.

②式两边平方得9sin2a+cos2«+6sin«cosa=9,

即9sin2«+cos2a+6sin«cosa=9(sin2a+cos2«),

化简得6sinacosa=8cos2«.

4

乂cosaWO,.*.3sina=4cosa,.,・lana=1.(5分)

由②可得sinavO,cos«<0.

d・・9cos%________I__9_

乂•