第一章 三角形的证明

第一章三角形的证明

1.等腰三角形（一）

一、学生知识状况分析

在八年级上册第七章《平行浅的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有

关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七

年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本

节有关命题做了很好的铺垫。

二、教学任务分析

本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等

腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生

在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节误的教学目标如下：

1.知识目标：

理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性所定理；

熟悉证明的基本步骤和书写格式。

2.能力目标：

经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续

和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；

3.情感与价值目标

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩

证关系；

培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.

4.教学重、难点

重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；

难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。

三、教学过程分析

学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）；

教师课前准备：制作好的几何画板课件.

本节课设计了六个教学环节：第一环节：回顾旧知导出公理；第二环节：折纸活动探

索新知；第三环节：明晰结论和证明过程；第四环节：随堂练习巩固新知；第五环节：课

堂小结；第六环节：布置作业。

第一环节：回顾旧知导出公理

活动内容：提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截加果同位角相等，那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）：

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）：

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相

等的两个三角形全等（AAS）,尹要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角

形的性质。

活动目的：经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既

是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备：证明这个推论.可以

让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。

活动效果与注意事项：由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但

由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析

条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。

具体证明如下：入入

已知：如图，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF./\/\

求证：△ABCgZ\DEF.工--\工--\

证明：:NA=ND,NB=NE（已知），

又NA+NB+NC=180。，ZD+ZE+ZF=180°（三角形内角和等于180°）,

:.ZC=180°-(ZA+ZB),

ZF=180°-(ZD+ZE),

AZC=ZF(等量代换)。

又DC=EF(已知)，

AAABC^ADEF(ASA)。

第二环节：折纸活动探索新知

活动内容：在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再

次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础

上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸

观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。

活动目的：通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次

感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。

活动效果与注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一

般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生

小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程口,

教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得

到“三线合一”。

第三环节：明晰结论和证明过程

活动内容：在学生小组合作的基础.匕教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个

个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明，其余学生挑选其一证明.其后，教师通

过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。

(1)等腰三角形的两个底角相等；

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合

活动目的：和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明

晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动2,则是前面命题的直

接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习。

第四环节；随堂练习巩固新知

活动内容：学生自主完成P4第2题：如图(图略)，在4ABD中,C是BD上的一点，且

AC1BD,AC=BC=CD,

(1)求证：4ABD是等腰三角形;

(2)求/BAD的度数。

活动目的：巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形”等边对等角”的用法。

第五环节：课堂小结

活动内容：让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。

活动目的：形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。

活动效果与注意事项：教师注意对学生的感想进行适当的引导，并在学生交流的基础上,

明晰部分收获供学生共享，如：

1、具体有关性质定理；

2、通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提

供了丰富的理论依据.

3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性.

第六环节：布置作业

四、教学反思

本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了“探索一发现一猜想一证明”的活动过

程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效昊。

当然，在具体活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时

间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。

第一章三角形的证明

1.等腰三角形(二)

一、学生知识状况分析

在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有

关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七

年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学

生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为木课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判

定定理都做了很好的铺垫。

二、教学任务分析

本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特

殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下:

1.知识目标：

①探索一一发现一一猜想一一证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步

骤和书写格式，体会证明的必要性；

2.能力目标:

①经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然

延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习

能力和思维能力，提高学生学习的主体性；

③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；

3.情感与价值观要求

①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲.

②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

4.教学重、难点

重点：经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形

和等腰三角形的一些结论.

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；

第三环节：经典例题变式练习；第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质；第五环节：

随堂练习及时巩固；第六环节：探讨收获课时小结。

第一环节：提出问题，引入新课

活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线

段吗?你能证明你的结论吗？

活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡

自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问

题的能力。

第二环节：自主探究

活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有

哪些相等的线段，并尝试给出证明。

活动目的：让学生再次经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程，进一步体会证

明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。

活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：

你可能得到哪些相等的线段？

你如何验证你的猜测？

你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；

还可以有哪些证明方法？

通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究

出：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等.

并对这些命题给予多样的证明。

第三环节：经典例题变式练习

活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线

段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

(1)如果NABD《ZABC,NACE、NACB呢？由此，你能得到一个什么结论？

(2)如果ADJAC,AEJAB,那么BD二CE吗？如果AD】AC,AE=|AB呢？由此你得到什么

乙乙JJ

结论？

活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。

活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，

可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等.如果

是三等份、四等份……结果如何呢?从而引出“议一议”。

由于课堂时间有限，如果学生全部解决上.述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述

这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；

当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部

分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考”还可以提出哪些类似问题，你是如

何想到这些问题的”。

在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。

下面是学生的课堂表现：

［生］在等腰三角形ABC中，如果NABD=|ZABC,那么BD二CE.这和证明等腰三角形两底

角的角平分线相等类似.证明如下：

VAB=AC,

・•・NABC=NACB（等边对等角）.

又・・・NABDJZABC,AZACE4ZACB,

<Jo

AZABD=ZACE.

在ABDC和aCEB中，

VZABD=ZACE,BC=CB,ZACB=ZABC,

.,.△BDC^ACEB（ASA）.

，RD二CE（全等三角形的对应边相等）

［生］如果在aABC中，AB=AC,ZABD=|ZABC,ZACE=ZjZACB,那么BD=CE也是成立

的.因为AB=AC,所以NABONACB,利用等量代换便可得到NABD二NACE,ZXBDC与ACEB全

等的条件就能满足，也就能得到BD二CE.由此我们可以发现：

在△ABC中，AB=AC,ZABD=Z-ZABC,NACE。ZACB,就一定有BD=CE成立.

nn

［生］也可以更直接地说:在AABC中,AB=AC,ZABD=ZACE,那么BD=CE.

［师］这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论.请同学们把一般结论的证明过程完整

地书写出来.（教师可巡视指导）下面我们来讨论第（2）问，请小组代表发言.

［生］在aABC中，AB=AC,如果AD=1AC,AE=|AB,那么BD=CE；如果AD】AC,AE=|AB,

那么BD=CE.由此我们得到了一个更一般的结论：在AABC中，AB=AC,AD，AC,AE」AB,

nn

那么BD二CE.证明如下:

TAB二AC.

又・・・AD」AC,AE」AB,

nn

/.AD=AE.

在△ADB和aAEC中，

AB二AC,NA=NA,AD=AE,

.,.△ADB^AAEC（SAS）.

・・・BD=CE（全等三角形的对应边相等）.

［生］一般结论也可更简洁地叙述为：在aABC中，如果AB=AC,AD二AE,那么BD=CE.

［:师］这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的

一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究，我们可以

发现等腰三角形中，相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可

分的.

第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质

活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性旋：

等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

已知：如图，△ABC中，AB=BC=AC.

求证：ZA=zB=zC=60°.

证明：在△ABC中，,「AB=AC,（等边对等角）.

同理：/C=/A,，NA=/B=NC（等量代换）.

又丁/A+/B+/C=180°（三角形内角和定理），•••/A=/B=/C=60°.

活动效果：学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内

角都相等并目.每个内角都等于60。”的证明过程：

第五环节：随堂练习及时巩固

活动内容：在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。

I.如图，已知AABC和aBDE都是等边三角形.

A

求证:AE=CD/f\

D

活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤,

规范证明的书写格式。

第六环节：探讨收获课时小结

本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳

出一般结论，

四、教学反思

本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，

因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的

调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务，

可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外，当然，也可

以设计为两个课时，将研究过程进一步展开。

第一章三角形的证明

1.等腰三角形（三）

一、学生知识状况分析

本节课是等腰三角形的第三课时，通过前面两课时的学习，学生已经掌握了等腰三角形

的相关性质，并知道了用综合法证明命题的基本要求和步骤。为学习等腰三角形的判定定理

奠定了知识和方法的基础。

二、教学任务分析

本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生

反过来思考猜想新的命题，并进行证明。这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证

法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一。因此，本节课的教学

目标定为：

1.探索等腰三角形判定定理.

2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。

4.培养学生的逆向思维能力。

三、教学过程分析

本节课的教学过程设计了以下六个环节：复习引入一逆向思考，定理证明--巩固练习

一适时提问导出反证法-一拓展延伸一一课堂小结。

第一环节：复习引入

活动过程：通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考

后再进交流。

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设利结论分别是什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，

那么这两个角所对的边也相等？

活动意图：设计是问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生独立思考是对

上节课内容有效地检测手段。

第二环节：逆向思考，定理证明

活动过程与效果：

教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方

法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径.例如”等

边对等角”，反过来成立吗？也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？

［:生］如图，在△ABC中，ZB=ZC,要想证明AB=AC,只要构造两个全A

等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.A

［:师］你是如何想到的？/\

［:生］由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分L_____A

BC

线，或作BC上的高，都可以把ZXABC分成两个全等的三角形.

［师］很好.同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论.

［生］我们组发现，如果作BC的中线，虽然把AABC分成了两个三角形，但无法用公理和

已证明的定理证明它们全等.因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分

别相等，是不能够判断两个三角形全等的.后两种方法是可行的.

［师］那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来.（教师可让两个同学

在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）

（证明略）

［师］我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理一一等腰三角形的

判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简单叙述为：等角对等边.我

们不仅发现了儿何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美.

第三环节：巩固练习

活动过程与效果：将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。引导学生进

行分析。

已知：如图，NCAE是△ABC的外角，AD〃BC且N1=N2.

求证：AB=AC..

证明：VAD/7BC,/

・•・（两直线平行，同位角相等），W一口

N2二NC（两直线平行，内错用相等）./\

又.・・N1=N2,AZB=ZC./\

・・・AB=AC（等角对等边）.BC

第四环节：适时提问导出反证法

活动过程与效果：

我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论.如果否定

命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗。我们一起来“想一想”：

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认

为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？

有学生提出：“我认为这个结论是成立的.因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如

果两个角不相等，它们所对的边也不相等.但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因

为它的条件和结论都是否定的.”的确如此.像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有

别的证明思路和方法呢？A

我们来看一位同学的想法：/\

如图，在AABC中，已知/BWNC,此时AB与Ac要么相等，/\

要么不相等.B，-------------'c

假设AB二AC,那么根据“等边对等角“定理可得NONB,但

已知条件是NBWNC."NC=NB”与已知条件“NBWNC"相矛盾•，因此ABWAC

你能理解他的推理过程吗？

再例如，我们要证明AABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有

两个角是直角，不妨设NA=90°,NB=90°,可得NA+NB=180°,但△ABNA+NB+NC=180°,

“/A+NB=180°”与“NA+NB+NC=180°”相矛盾，因此4ABC中不可能有两个直角.

引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢？引出反证法。

都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛

盾，从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法.

接着用“反过来又思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理”等角对等

边”，最后结合实例了解7S反证法的含义.

第五环节：拓展

活动过程与rr黑招疝际,为培养学生思维HJ综合性、灭活性特安排了2个

练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。

另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的基

础上再小组交流。

1.如图，BD平分NCBA,CD平分NACB,且MN/7BC,设AB=12,AC=18,求△AMN的周

长..

2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发，将原纸片一次剪开成两块等腰三角形

纸片，问此时的等腰三角形的顶角的度数？

第六环节：课堂小结

（1）本节课学习了哪些内容？

（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？

（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系.

（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路

第一章三角形的证明

1.等腰三角形（四）

一、学生知识状况分析

在前两节课，学生已经经历了独立探索发现定理的过程，并能基本规范地证明相关命题,

这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。

二、教学任务分析

本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含3（）。角的直角三角形的性质定理，应该说,

这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节

课可以更多地让学生自主探索。但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的

分类思想：第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论，

因此，教科书中设计了一个学生活动，在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论，这

实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。为此，确定本节课的教学目标:

1.知识目标

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并

能利用这两个定理解决一些简单的问题。

2.能力目标

①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽

象思维.

②经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理

能力和初步的演绎推理的能力；

③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能

力。

3.情感与价值观要求

①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

教学重点

①等边三角形判定定理的发现与证明.

②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.

4.教学难点

①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.

②引导学生全面、周到地思考问题.

三、教学过程分析

学具准备：两个带30度角的三角板。

本节课设计了六个教学环节：第二环节：自主探索；第三环节：实际操作提出问题；第

四环节：变式训练巩固新知；第五环节：畅谈收获课时小结；第六环节：布置作业。

第一环节：提问问题，引入新课

活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边

三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形

呢？从而引入新课。

活动目的：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。

活动效果：在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质：对于等边三角形的

判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分

步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这是教师可以适时提

出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？

下面是实际教学中的部分师生活动实况：

［生］等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了

等边三南形.

［4］等边三角彩的三个内角都相等，旦分别都等于60°.我认为等腰三角形的三个内角

都等于60°,等腰三角形就是等边三角形了.

(此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论.教师

可让同学代表充分发表自己的看法.)

［生］我不同意这位同学的看法.因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根

据等角对等边，三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等.但这一问题中“已知是等

腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费！

［师］给三个角都是60°,这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们

可在小组内交流自己的看法.

(2)你认为有一个角等于6()。的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的

证明思路与同伴交流.

(教师应给学生自主探索、思考的时间)

第二环节：自主探索

活动内容：学生自主探究等接二角形成为等边二角形的条件，并交流汇报各自的结论，

教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出

下表：

性质判定的条件

等腰三角形等边对等角等角对等边

(含等边三“三线合一”即等腰有一角是60。

角形)三角形顶角平分线，

底边上的中线、高互

相重合

等边三角形三个角三个角都相等的三

都相等，且每个角都角形是等边三角形

是60。

活动目的：经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。

活动注意事项与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：

顶角是60。的等腰三角形是等边三角形；

底角是60。的等腰三角形是等边三角形；

三个角都相等的三角形是等边三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形。

对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个

结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部

分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分

类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路.并要求学生

思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到.

第三环节：实际操作提出问题

活动内容：教师直接提出问遨：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直

角三角形：含30。角的直角三角形。拿出三角板，做一做:

用含30。角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系,有哪些线段存在倍数关系，你

能得到什么结论？说说你的理由.

活动目的：让学生经历拼摆三

角尺的活动，发现结论：在直角三

角形中，如果一个锐角等于3()。,

C

那么它所对的直角边等于斜边的一半.

活动注意事项与效果：学生一般可以得出下面两种图形：其中第1个图形是等边三角形,

对于该图学生也可以得出BD=|AB,从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，，

那么它所对的直角边等于斜边的一半.

注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。具

体的说明过程可以如下:

方法I：因为AABD^ACD,所以AB=AC.又因为RtAABD中，ZBAD=60°,所以

ZABD=60°,有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

方法2：图（1）中，ZB=ZC=60,ZBAC=ZBAD+ZCAD=30o+30o=60°,所以

ZB=ZC=ZBAC=60°,即4ABC是等边三角形.

如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并

要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么

结论。然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理。

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

己知：如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.

求证：BC=^AB.

分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

证明：在aABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°ZB=60°.

延长BC至D,使CD二BC,连接AD（如图所示）.

•/ZACB=90°ZACB=90°A

VAC=AC,A△ABC^AADC（SAS）./

；.AB=AD（全等三角形的对应边相等）./

/.△ABD是等边三角形（有一个角是60。的等腰三角形是/

等边三角形）.J-_____J

11,CO

/.BC=5BD=5AB.

第四环节；变式训练巩固新知

活动1:直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜

边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。吗?如果是，请你证明它.

在师生分析的基础上，给出证明:

已知：如困，在RtZ\ABCU」，ZC=90°,BC=1AB.

求证：ZBAC=30°

证明：延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

VZACB=90°,AZACD=90°.

又・；AC=AC.

AA

•••△ACB咨ZXACD(SAS).//I

AAB=AD.//

VCD=BC,ABC=|BD.//

又...BC=|AB,AAB=BD.----------cBCD

AAB=AD=BD,

即4ABD是等边三角形.

/.ZB=60°.在Rlz^ABC中，ZBAC=30°.

注意事项：该命题的证明中辅助线较复杂,但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可

以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作

法中能否得到启示？

活动2：呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。

［例题］等腰三角形的底角为15。，腰长为2a,求腰上的高CD的长.

分析：观察图形可以发现在RlAADC口

中,AC=2a而ZDAC是△ABC的一个外角，^

而NDAC=xl5o=30。，根据在直角三角形中，—

30。希所对的直角边是斜边的一半，可求出C

CD.

解：VZABC=ZACB=15°

，ZDAC=ZABC+ZACB=15°+15°=30°

ACD=|AC=1x2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等

于斜边的一半).

活动目的：在例题求解中巩固新知。

第五环节：畅谈收获课时小结

让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含

其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。

第六环节：布置作业

四、教学反思

本节课，难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么

这条直角边所对的锐角等于30。”和“直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半”，由

于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方法

多样，取得较好的效果。

第一章三角形的证明

3.线段的垂直平分线（一）

一、学生知识状况分析

学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活

中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。

二、教学任务分析

在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，本节课将进一步深入探索线段

垂直平分线的性质和判定。同时，渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只

需在图形上任取一点作为代表。本节课目标位：

1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理.

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力.丰富对几何图形的

认识。

3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果

教学重点、难点

重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的

性质定理在实际问题中的运用。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课：第二环节：性质探索与

证明；第三环节：逆向思维，探索判定；第四环节：巩固应月；第五环节：随堂练习；第

六环节：课时小结第七环节：课后作业。

第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的

河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，A•

码头应建在什么位置？口

•D

其中“到两个仓库的距离相等''，要强调这几个字厂----------_

在题中有很重要的作用./____

IJ-IL

线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线---------------_

就是它的对称轴.我们用折纸的方法，根据折叠过程

中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距

离相等.所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的

距离相等''利用此性质就能完成.

进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”

第二环节：性质探索与证明

教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MNJ_AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.

求证：PA=PB.

分析：要想证明PA=PB,可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等.

证明：VMN1AB,产

・•・ZPCA=ZPCB=90°yk

VAC=BC,PC=PC,/I\

\CTB

.•.△PCA^APCB(SAS).：L

・•・PA=PB(全等三角形的对应边相等).

教师用多媒体完整演示证明过程.

第三环节：逆向思维，探索判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果……那么……”

的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……''

的形式，逆命题就容易写出.鼓励学生找出原命题的条件和结论。

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点结论是“这个点到线段两个端点的

距离相等

此时，逆命题就很容易写出来.“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点

在这条线段的垂直平分线上

写出逆命题后时，就想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说

明.

引导学生分析证明过程，有如下四种证法：

证法一：

已知：线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.

求证：P点在AB的垂直平分线上.

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,

ARtAPAC^RtAPBC(HL定理).

AAC=BC,

即P点在AB的垂直平分线上.

证法一：取AB的中点C,过PC作直线.

YAP=BP,PC=PC.AC=CB,

/.△APC^ABPC(SSS).

・•・NPCA=NPCB(全等三角形的对应角相等).

又・・・NPCA+NPCB=180。，

AZPCA=ZPCB=Z90°,即PC_LAB

・・・P点在AB的垂直平分线上.

证法三：过P点作NAPB的角平分线.

TAP=BP,Z1=Z2,POPC,

△APC/△BPC(SAS).

・・・AC=BC,NPCA=NPCB（全等三角形的对应角相等，对应边相等）.

又:ZPCA+ZPCB=180°AZPCA=ZPCB=90°

・・・P点在线段AB的垂直平分线上.

证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC.

VAC=CB,ZPCA=ZPCB=90°,

・・・P在AB的垂直平分线上.

从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题,

我们把它称做线段垂直平分线的判定定理.

第四环节：巩固应用

在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可

以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。

（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上,因此只需做出这

样的两个点即可做出线段的垂直平分线。

例题：

己知：如图1-18,在4ABC中，AB=AC,0是aABC内一点，且0B=0C.

求证：直线A0垂直平分线段BC。.

证明：:AB=AC,/\

・••点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点

距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

同理，点O在线段BC的垂直平分线上.|

直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直

线）.

学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的

思路和方法并给出完整的证明过程。

第五环节：随堂练习

课本P23；习题1.7：第1、2题

第六环节：课堂小结

通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？

第七环节：课后作业

习题1.7第3、4题

四、教学反思

在这一节中，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得

出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化

和渗透.

第一章三角形的证明

3.线段的垂直平分线（二）

一、学生知识状况分析

通过对前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必要

的方法。但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生米说还是较抽象的，因此，教学

时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解.

二、教学任务分析

在上一节课，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，本节课的主要任务是

性质和判定的应用。因此本节课的目标为；

1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点

2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形.

3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.体验解决问

题的方法，发展实践能力和创新意识.

4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

教学重点、难点

重点：

①能够证明与线段垂直平分线相关的结论.

②已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形.

难点：证明三线共点。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：例题解析；第三环节：

引申拓展；第四环节：动手操作；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结；第五环节:

课后作业。

1：情景引入

活动内容：尺规作图作三条边的垂直平分线。

活动目的：让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确

性。

活动过程：

教师提问：“［利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当咋完此题时你发现了什么?（教师

可用多媒体演示作图过程）”

“三角形三边的垂直平分线交于一点.”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等等都

是学生可以发现的直观性质。

下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直

平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流.

教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和

已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义

这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论.

上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生

亲自体验和观察结论的正确性。

2：例题解析

（1）教师引导学生分析，寻找证明方法。

我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，

但这是我们没有遇到过的.不妨我们再来看一下演示过程，或

许你能从中受到启示.

通过演示利启发，引导学生认同：“两直线必交于一点,那么要想证明'"三线共点'，只

要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可.”

虽然我们-找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直

平分线上呢?

师生共析，完成证明

（2）讨论结束后，学生书写证明过程。教师点评，注意儿何符号语言的规范性。

已知：在aABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P,

连接AP,BP,CP.

求证：P点在AC的垂直平分线上.

证明：•・•点P在线段AB的垂直平分线上，

・・・PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离

相等）.

同理PB=PC.

APA=PC.

・・・P点在AC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线

上）.

JAB、BC、AC的垂直平分线相交于点P.

进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？”（交

点P到三角形三个顶点的距离相等.）

（3）多媒体演示我们得出的结论：

定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等

3.引申拓展

（I）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出

的三角形都全等吗？

（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的

三角形都全等吗？

（3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个？

学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。

由学生思考可得：（I）已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出

无数多个，如下图：

已知：三角形的一条边a和这边上的高h

求作：ZXABC,使BC=a,BC边上的高为h

从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h,但垂足不确定，我们

可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D,过此点作BC边的垂线，最后以D

为端点在垂线上截取AD（或AQ）,使AD=AQ=h，连接AB,AC（或△A】B,AQ,所得AABC（或

△AWC）都满足条件，所以这样的三角形有无数多个.观察还可以发现这些三角形不都全

等.（见几何画板课件）

（2）如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多

个.根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相

等，因为只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端

点和连接，都可以得到一个等腰三角形.

另外有学生补充：”不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边

上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去

(3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应

该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧.

(5)例题学习

已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.

已知：线段a、h

求作：aABC,使AB=AC,BC=a,高AD二h

作法：1.作BC=a；

2.作线段Be的垂直平分线MN交BC于D点；

3.以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4.连接AB、AC

/.△ABC就是所求作的三角形(如图所示).

(6)做一做：课本第25页：教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法叙述的准确

性加以更正。

4.动手操作

(1)例题：已知直线1和1上一点P,用尺规作1的垂线，使它经过点P.

学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。

(2)拓展：如果点P是直线1外一点，那么怎样用尺规作1的垂线，使它经过点P呢？

说说你的作法，并与同伴交流.

5.随堂练习:：习题1.8第1、2题。

6.课时小结

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条