考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷32

考研数学三(解答题)高频考点模拟试

卷32

一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)

rio0-]

1、已知矩阵

AXA+BXB=AXB+BXA+E,求矩阵X.

标准答案：(A—B)X(A-B)=E=>X=(A—B)](A-B)rLo。1」

知识点解析：暂无解析

2、一批矿砂的4个样品中锲含量测定为(％):3.25,3.26,3.24,3.25.设

测定值总体服从正态分布，问在a=().01下能否接受假设：这批矿砂银含量的均

值是326.(to,995(3)=5.8409,下侧分位数)

标准答案：设这批矿砂的锲含量为总体X,则X〜N(a『)，检验Ho：p=m).这

(n—1)—,_

n可算得工=

儿即=3.26,n=4,拒绝域为:

一.(n-.l)y0z.01罕

3.25,S=0.01,故I/一眼)I=0.01,2〃=5.8409x"=

|]一依I<Zj..(n-1)—

0.02920,可见“，故接受Ho.

知识点解析：暂无解析

2

3、aj=4J,a2=2J,a3」14J,04=10,as=110J,求极大线性无关

组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出.

标准答案：令

12

-13

令A=

01

10；

1031210302

0110101101

0001000000

ai,(X2，04为一个极大线性无关组,。3=3川+。2,Q5=2a1+(12.

知识点解析：暂无解析

4、设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且r®=efa),f(2)=l,计算阿⑵.

标准答案：由「(x尸/x)两边求导数得f，(x尸ef(x)f(x尸e2f(X)两边再求导数得

f”(x)=e2f(x).2「(x尸2e3f⑶，两边再求导数得f<4)(x)=2e3f(3).3f(x)=3!e4f(x),由以上规

律可得n阶导数叫x尸(n-l)!enr(x),所以f(n)(2)=(n—l)!en.

知识点解析：暂无解析

5、己知n阶方阵A满足矩阵方程A?—3A—2E=O.证明：A可逆，并求出其逆矩

阵A」

A-3EA-3E

标准答案：A2-3A-E=O,则A'2hE,故A可逆，且A一匕2二

知识点解析：暂无解析

6,(I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,6)内

可导，则存在乐(a,b),使得f(b)—f(A)=r(《)(b—a)。(D)E

lim

明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0,8)(8>0)内可导，且(x)

=A,则f+'(0)存在，且f+'(0)=Ao

标准答案：(I)作辅助函数(p(x)=f(x)—f(a)—b-a(x—a),

易验证(p(x)满足：(p(a)=(p(b)；(p(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间

X一忆)一/(b)-/⑷

(a,b)内可导，且'b-a°根据罗尔定理，可得在

(a,b)内至少有一点》使优(&)=0,即卜-a所以f

(b)—f(A)=f优)(b—a)o(II)任取x0e(0,8),则函数f(x)满足

在闭区间［0,xo］上连续，开区间(0,xo)内可导，因此由拉格朗日中值定理可

得，存在

久G（0*）C（0,8）,使得

(*)

/3-XO.0°

又由于lim/'（4）=4,对（*）式两边取而―0♦时的极限

广⑻=黑="'a）=2厂区）=4

故f+'（0）存在，且f+'（0）=Ao

知识点解析：暂无解析

7、求由方程x2+y2—xy=0确定的函数在x>0内的极值，并指出是极大值还是极小

值.

,_y-2x，y—2x

y=7-^-------y=力---=0，

标准答案：根据隐函数求导数法，得3,一]令3,一Z得

y=2x,再将y=2x代入原方程得

x=4，函数值为y=].

04

"一（》'-2）（3/一”）一（y—2z）（6yy'-D蜘11,注入"但

y―⑸一）2-----------，将工=W，y=7，y=0代人y得

y1=-32V0,所以Z=!为函数的极大值点，且极大值为

*，了04

知识点解析：暂无解析

I=广业「“加.广&「“加+CdxCydy.

8、计算累次积分：J。八九八J2八

标准答案：由累次积分限知：OWxWl时lWyWx+1；15x02时xWyWx+l；2WxW3时

x<y<3,于是积分区域D如图4.32所示，因此D可表示为D={（x,y）|l<y<3,y

3

原式=Jydo=jJyjydx=jjdy=yy-]=4.

DJ~

_l<x<y},从而图4.32

知识点解析：暂无解析

limy(z)

9、求微分方程xy，+(l—x)y=e2x(x>0)满足=1的特解，

V+(-------i)y=—»

标准答案：原方程化为1"通解为

jz=[f—•ef(7-ndrdx+C]e4(^n<k="土丈.limy(z)

J力n由=M^C=

e2・一e，

一1,故特解为y=x

知识点解析：暂无解析

10、设f£R2兀，并且f(xj是奇函数，则它的傅里叶多项式的各项都是正弦函数；若

f(x)是偶函数，则它的傅里叶多项式的各项除常数项外都是余弦函数.

标准答案：(1)若住R2.且f(x)为奇函数，则

Uo=}J/(X)•专业=0

&-上「/(x)•cosJtrdx-0(奇函数在对称区域上积分为0)

KJr

与=­J/(x)sin£rdx=义j/(x),sinlircLr

因为ao=4=0而匕==4g+七(勿cosir+与sintr)

中不含常数项和余弦函数.显然其各项都是正弦函数.

(2)若且/(力为偶函数

则画=乌必=劣:/8dx

4=5j/(j)cosirdr=0J/(x)cos^rcLr

而仇=/(j^sinVdx=0

故F.Cr)中不含正弦项.即除常数项外,都是余弦函数.

知识点解析：暂无解析

II、设总体X在区间(0,0)内服从均匀分布.X].X2,X3是来自总体的简单随机

dj=­max{X,}与%=4min{XJ

样本.证明：3a©«<•<>都是参数0无偏估计量，试比

较其有效性.

标准答案：因为总体X在区间(0,8)内服从均匀分布，所以分布函数为

0,工40,

Fix)=<焉0VzV6,

U

』，

令0=偿心=则

Fu(u)=P(U<u)=P(max{Xi，X2，X3)<u)=P(Xi<u,X2<u,X3<u)

0,〃40

■(打，OVuVd.

=P(Xi<u)P(X2<u)P(X3<u)=1'"Fv(v)=P(V<v)=P(min{X|,

X2,X3)<v)=l-P(min{Xi，X2,X3)>v)=l~P(Xi>v,X2>v,X3>v)=l_P(X|>

v)P(X2>v)P(X3>v)=l-[l-P(Xi<v)l[l-P(X2<v)][l-P(X3<v)]

0,〃40,

」一(一/)，0V,V6,

】，v2e,则U,V的密度函数分别为

至

o<xve,0<xV8,

fv(Z)=

0，其他.其他，

因为好(利=扣切=yj*xX苔dr=0,

E(4V)=4E(V)=4pxx4(l-^)2dr=8,

J。八W所以

®\=Jmax{XJ与%=4min{XJ

3K.<3都是参数9的无偏估计

目.

里.

2

D(U)=E(U)-[E(U)Xe)2=3O

了=卜茅业一件-80

DM=E(V)-[E(V)rX和一豹[_(%)*=3外

80

D⑹)=D(?J)=£X茶<,D@)=D(4V)=16X^=¥，

'J，OU10OUUrri

因

为D@)VD&),所以外比心更有效

知识点解析：暂无解析

12、设f(x)在[0,十oo)上连续，且f(0)>0,设f(x)在[0,x]上的平均值等于f(0)与

f(x)的几何平均数,求f[x).

也，令a=〃(0).

标准答案：根据题意得3。则有

]小),

尸冏="的'两边求导得小…而+泮

/7B，即

?2-士1

/z(x)H--/(X)—一[/(])]'•令z=「/(i)]，

xax则有石_不__不.解得

/(1)=----隼=_(C20).

(14-Cv7(07-r):

知识点解析：暂无解析

13、甲、乙、丙厂生产产品所占的比重分别为60%,25%,15%,次品率分别为

3%,5%,8%,求任取一件产品是次品的概率.

标准答案：令A尸｛抽取到甲厂产品｝,A2=｛抽取到乙厂产品)，A3=｛抽取到丙厂产

品)，B=｛抽取到次品｝,P(Ai)=0.6,P(A)=0.25,P(A)=0.15,

23>

s

P(B|A])=0.03,P(B|A2)=0.05,P(B|A3)=0.08,由全概率公式得P(B)=皿

P(Ai)P(B|Aj)=0.6x0.03+0.25x0.05+0.15x0.08=4.25%.

知识点解析：暂无解析

如果n个事件A],A2,…，An相互独立，证明：

14、将其中任何个事件改为相应的对立事件，形成的新的n个事件仍然

相互独立；

标准答案：

证明利用数学归纳法证明.对于7〃=1,不妨设将A】改为不I，对于任意k个事件A.，

A%,如果h=1•有

P(AA.…八“)=P(A?…&—AiA.…A,J

=P(A；,…A,.)-P(A}A,z-