高考数学一轮复习 课时规范练42　基本立体图形及空间几何体的表面积与体积（基础版）

课时规范练42基本立体图形及空间几何体的表面积与体积(分值:81分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.下列命题是真命题的是()A.两个四棱锥可以拼成一个四棱柱B.正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形C.经过不共线的三个点的球有且只有一个D.直棱柱的侧面是矩形2.如图,用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图是Rt△A'O'B',若A'B'的中点在y'轴上,且O'A'=O'B'=2,则AB=()A.26 B.4C.23 D.23.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=8,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面AEF,则△AEF周长的最小值为()A.62 B.63C.82 D.834.(2024·新高考Ⅰ,5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为()A.23π B.33πC.63π D.93π5.(2025·山东威海模拟)已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1∶2∶3,高为4,则该圆台的体积为()A.40π3 BC.40π D.56π6.等腰四面体是一种特殊的三棱锥,它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12,则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为()A.3 B.4C.6 D.87.(2025·天津和平模拟)已知底面半径为r的圆锥,其轴截面是正三角形,它的一个内接圆柱的底面半径为r4,则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为(A.35 B.235 C.338.(2025·江苏南通模拟)若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切,则该正三棱柱外接球的表面积为()A.4π B.5πC.16π D.20π9.(多选题)(2025·河北衡水中学模拟)如图,该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体,若该几何体底面棱长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm,则下列选项中正确的是()A.正四棱锥的高为52cmB.该几何体的表面积为(1003+2002)cm2C.该几何体的体积为2000D.一只小蚂蚁从点E爬行到点S,它所经过的最短路程为150+50610.(2020·新高考Ⅱ,13)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为.

11.(2024·九省适应性测试,13)已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是.

12.(2025·上海徐汇中学模拟)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面,底面ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1=2,则四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为.

综合提升练13.(2022·全国甲,理9,文10)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲A.5 B.22C.10 D.514.已知一个圆锥的高是3,在正放(底面水平放置)时该圆锥内水面高度为2,现将圆锥倒置,则此时圆锥内的水面高度为()A.52 B.C.325 D.15.(2025·浙江嘉兴模拟)若某正四面体的内切球的表面积为4π,则该正四面体的外接球的体积为()A.9π B.27π C.36π D.64π16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=π2,点P,E分别为棱A1C1,AA1上的动点(不包括端点),若AE=A1P,则三棱锥B1-A1PE的体积的最大值为

参考答案课时规范练42基本立体图形及空间几何体的表面积与体积1.D解析对于A,两个四棱锥不一定能拼成一个四棱柱,故A为假命题;对于B,正三棱锥的底面是等边三角形,侧面是等腰三角形,不一定是等边三角形,故B为假命题;对于C,经过不共线的三个点只能确定一个平面,经过不共线的三个点的球有无数个,故C为假命题;对于D,直棱柱的侧面是矩形,故D为真命题.故选D.2.A解析由题可知,M'为A'B'的中点,O'A'=O'B'=2,则O'M'=1.作M'N'∥O'A',则M'N'=22,如图作出原图形,所以OA=2,OM=2,MN=22由OA⊥OM,所以AM=6.又M为AB的中点,所以AB=26.故选A.3.C解析如图,沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内,如图所示,则AA'即为△AEF的周长的最小值.因为∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,所以∠AVA'=3×30°=90°.在△VAA'中,VA=VA'=8,由勾股定理得,AA'=VA2+VA'2=4.B解析∵圆柱和圆锥的底面半径相等,∴可设圆柱和圆锥的底面半径为r.又圆柱和圆锥的高均为3,∴圆柱的侧面积为2πr·3,圆锥的侧面积为πr·r2+(3)2=πr·r2+3.又圆柱和圆锥的侧面积相等,∴2πr·3=πr·r2+3,∴r2=9.∴圆锥的体积为13·πr2·35.B解析设上底面的半径为r,则下底面的半径为2r,母线长为3r,故4=9r2-(2r-r)2=22r,得r=2,故圆台的体积为13×4×[π(2)2+π(22)2+π×6.B解析如图所示,等腰四面体A-BCD的体积等于长方体体积减去四个三棱锥的体积.设长方体长,宽,高分别为a,b,c,则等腰四面体A-BCD的体积V=abc-4×13×12abc=7.C解析由题意可知,圆锥的轴截面是边长为2r的正三角形,则圆锥的高SO=3r,如图.易知,△SO1M∽△SOB,可得14=O1MOB=SO1SO,则SO1=14SO,∴OO1=34SO=33r4,圆柱侧面积S1=2π·r4·33r4=3388.D解析因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切,所以正三棱柱的高h=2.又底面正三角形的内切圆半径为1,则底面正三角形的外接圆半径r=1sin30°=2,所以该正三棱柱外接球半径为R=r2+(h2)

2=22+9.ACD解析对于A,由题可得,OA=12×102+102=52cm,SO=SA2-OA2=102-(52)2=52cm,故A正确;对于B,几何体的表面积为102+4×10×52+4×34×102=(100+2002+1003)cm2,故B错误;对于C,该几何体的体积为102×52+13不妨将长方形EFBA及正三角形SAB置于同一平面内,连接SE,如图.取EF中点M,连接SM,则SI=53,故SM=53+52.又EM=5,所以最短路程为SE=EM2+SM2=5210.1解析如图,因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1A1⊥平面AA1B1B,所以D1A1⊥平面A1MN.所以VA1-D1MN=VD1-A1MN=13·S△A1MN11.231解析设圆锥的底面半径为r,球的半径为R.因为圆锥的轴截面为正三角形,所以圆锥的高h=3r,母线长l=2r.由题可知h=2R,所以球的半径R=32r,所以圆锥的体积V1=13×π×r2×3r=33πr3,球的体积V2=43πR3=43π×(32r)3=32πr3,所以V1V2=33πr332πr3=23.圆锥的表面积S1=πrl+πr2=3πr2,球的表面积S212.733解析过点D1作D1H⊥AD于点H,则D1H∥A因为AA1⊥平面ABCD,所以D1H⊥平面ABCD.在Rt△D1DH中,DD1=2,DH=2-1=1,可得D1H=DD12-DH2=3,从而棱台的高A1A=D1H=3,所以四棱台的体积为V=13(S'+S'13.C解析如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以V甲V乙=14.D解析如图,设圆锥底面半径为r,则O'B'r=所以水的体积为13πr2×3-13π(r3)2×1=2627将圆锥倒置后,水的体积不变,所以13πO1B12×PO1=2627又PO1PO=O1B1r,即O1B1=PO1·r3,代入可得,13π(PO1·r315.C解析正四面体的内切球与其外接球球心重合,如图,正四面体ABCD内切球与外接球球心O在高AO1上,则OO1是正四面体ABCD内切球半径,OA是正四面体ABCD外接球半径.由正四面体ABCD的内切球的表面积为4π,得OO1=1.令AB=a,BO1=32a×23=33a,AO1=AB2-BO12=63a,BO=AO=6