2015年下半年教师资格证考试《初中数学》解析

年下半年教师资格证考试《初中数学》解析1解析B项：本题主要考查圆锥曲线，矩阵的变换。设是平面曲线上的任意一点，经过线性变换后的坐标为，则，得到，代入平面曲线得，化简得，即为椭圆。故正确答案为B。2解析B项：本题主要考查数列极限的基础知识。A项：根据收敛数据的保号性，存在任意的正整数，有，,，则

，A项正确，排除。B项：举反例：，，若

，，满足，但不是对任意正整数，都有，比如，

所以B项不正确。C项：根据收敛数据的保号性，若

，，且存在正整数，使得，，则

，C项正确，排除。D项：根据收敛数据的保号性，存在任意的正整数，有，

，，则

，D项正确，排除。本题为选非题，故正确答案为B。3解析B项：本题主要考查向量的基础知识。A项：向量数量积的运算满足分配律，A项正确，排除。B项：由向量的性质可知，，B项不正确。C项：，C项正确，排除。D项：等式左边==0；等式右边=0，所以左边等于右边，D项正确。本题为选非题，故正确答案为B。4解析D项：本题主要考查统计的基础知识。根据统计原理，甲乙二人的统计数据相差不大，样本容量达到100后，平均数受样本容量大小影响小,但是不一定完全相同，所以两个样本均值即和的大小关系无法确定。故正确答案为D。5解析C项：本题主要考查代数式的运算。多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似。则，所以，商是，余式是。故正确答案为C。

6解析A项：本题主要考查幂级数的基础知识。考虑的取值情况，分类讨论级数是否收敛。当=1时，级数发散；

当=-1

时，级

数

发散，所以的收敛区间为（-1，1）。故正确答案为A。7解析D项本题主要考查初中数学课程标准的基础知识。初中数学课程标准，即《义务教育教学课程标准（2011年版）》，规定了9条基本事实为：①两点确定一条直线；②两点之间线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤两条直线相交有且只有一个交点；⑥两条平行直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条两直线平行；⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；⑧边边边(SSS)公理：有三边对应相等的两个三角形全等；⑨两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。只有D符合。故正确答案为D。8解析A项：本题主要考查平面几何中图形变换的基础知识。轴对称图形指的是一个图形沿某条直线对折后所得的两个图形能够完全重合。中心对称图形指的是绕某点旋转180°后，所得图形与之前的图形能够完全重合。根据定义，轴对称图形有：相交直线，等腰三角形，正多边形；中心对称图形有：相交直线，平行四边形；所以既是轴对称又是中心对称的只有相交直线，那么A符合题意。故正确答案为A。9答案：（1）以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如图所示：则入射光线所在直线过原点且在坐标面上，则入射光线的直线方程为，而反射光线与入射光线关于轴对称，所以反射光线的直线方程为。（2）因为此时法线为轴，故将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，即是绕轴旋转一周，则得出旋转曲面的方程是将反射光线的直线方程中的改成，得到圆锥面的方程为，

令，则

。故反射光线的方程为，所得旋转曲面的方程为。解析：本题主要考查空间曲面与方程的基础知识。首先建立直角坐标系，写出入射光线的直线方程，根据反射光线与入射光线关于轴对称，得出反射光线的方程；然后将反射光线绕轴旋转一周，即可得出旋转曲面即圆锥面的方程。。10答案（1）先证明必要条件。证明线性方程组当向量，线性无关时有唯一解。方法一：已知向量，线性无关，则矩阵可逆，逆矩阵为：，则=，即有唯一解。方法二：已知向量，线性无关，则满足线性方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等这一条件，则方程组有解。现在证明唯一性：假设方程组有两解，设，为线性方程组的两个不相等的解，则：

两式做差得，因为向量，线性无关，所以-=-=0，则=，=，与“，为线性方程组的两个不相等的解”矛盾。所以方程组只有唯一解。（2）再证充分条件。若线性方程组有唯一解，则向量，线性无关。假设，线性无相关，所以存在不全为0的实数使得，则也是线性方程组的解，与线性方程组有唯一解矛盾。综上所述，非齐次线性方程组有唯一解当且仅当向量，线性无关。解析：本题主要考查向量组的线性相关性、线性方程组解的结构的基础知识，以及推理与证明的基本思想与方法。本题若想证明非齐次线性方程组有唯一解，当且仅当向量，线性无关，首先应明确线性方程组，有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。然后从“线性方程组解的唯一性”和“向量，线性无关”两个方面分别进行证明。11答案：依据题意，从甲队中选出的3架飞机，有绿色烟雾的飞机可能为3、2、1、0这几种，然后从混合编队中抽一架飞机，分以下几种情况：①从甲队中选出的3架飞机，有绿色烟雾的飞机3架，则混合编队飞机为3架绿色烟雾飞机和3架红色烟雾飞机，则领飞飞机是喷绿色烟雾的概率为，。②从甲队中选出的3架飞机，有绿色烟雾的飞机2架，则混合编队飞机为2架绿色烟雾飞机和4架红色烟雾飞机，则领飞飞机是喷绿色烟雾的概率为。③从甲队中选出的3架飞机，有绿色烟雾的飞机1架，则混合编队飞机为1架绿色烟雾飞机和5架红色烟雾飞机，则领飞飞机是喷绿色烟雾的概率为。④从甲队中选出的3架飞机，有绿色烟雾的飞机0架，则混合编队飞机为0架绿色烟雾飞机和6架红色烟雾飞机，则领飞飞机是喷绿色烟雾的概率为0。故本题领飞飞机是喷绿色烟雾的概率为

。解析：本题主要考查等可能事件的概率和分类讨论思想。领飞飞机的选取过程是首先从甲队选出3架飞机，有绿色烟雾的飞机可能为3、2、1、0这四种情况，与乙队混合后，最后任选一架为领飞飞机，所以领飞飞机是绿色雾的概率等于这四种情况概率的和。12答案：《义务教育教学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容的选择要满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。”在仔细研读课程标准以及普通中学教材，数学课程内容的选择依据有：（1）数学内容的广度和深度要实现有效的平衡。由于数学知识点内容是极为庞杂的，我们应该选择数学知识点最本质的东西作为教学的重点，有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。（2）数学内容要符合学生的年龄和心理特征。数学课程内容应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。（3）数学内容的选择还要兼顾社会发展的需求。数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。（4）数学内容的选择要考虑其他学科应用的需求。数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。解析：本题主要考查对初中数学课程标准的基础内容的掌握和理解。《义务教育教学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容的选择要满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。”结合中学教材，可以从“数学内容的广度与深度”、“数学内容需符合学生的特点”、“数学内容需兼顾社会发展的需求”、以及“数学内容与其他学科的需求关系”等几个方面对数学课程内容的确定依据进行阐述。13答案：数学是为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系，不得不把客观对象的所有其他特征抛开不管，而只抽象出空间形式和数量关系进行研究。因此，数学具有十分抽象的形式。抽象性数学抛开客观对象的具体特征，只抽象出空间形式和数量关系进行研究，这就是数学的抽象性。数学的抽象性主要表现在：（1）数学研究对象的抽象性：数学的研究对象（包括概念、定理、公理、法则等）是抽象的思想材料，这些材料是形式化地呈现出来的，数学为了能够从纯粹的状态中研究客观世界的空间形式和数量关系，常常脱离现实原型把无关紧要的东西放一边，以极度抽象的形式出现。人们从现实世界中获得“数”和“形”的认识之后，就把现实的形态“暂时放在一边”，只对抽象的“数”和理想化的“形”进行研究。例如：几何中的“直线”这一概念，并不是指现实世界中的拉紧的线，而是把现实的线的质量、弹性、粗细等性质都撇开了，只留下了“向两方无伸长”这一属性，但是现实世界中是没有向两方无限伸长的线的。（2）数学研究方法的抽象性：不仅数学的研究对象是抽象的，而且数学研究方法本身也是抽象的。这不仅表现在数学中使用了大量抽象的数学符号，而且还表现在它的思维方法上。数学研究方法主要采用思维方法。而且在表述数学的研究成果时采用的是演绎的方法。例如：虽然我们千百次的精确测量等腰三角形的两底角都是相等的，但还是不能说已经证明了等腰三角形的底角相等，而必须采用逻辑推理的方法严格给予证明。总之，数学的一切活动，从概念到方法，实质上都是抽象的，大到组织一个数学体系所用的公理化方法，在实际应用中的数学模型的方法，小到概念的给出，一个计算过程的建立，一个证明的技巧的发现，甚至一个问题的表征都需要用到数学抽象。所用数学抽象是多种多样的，也是多层次的。解析：本题主要考查数学思想方法和教学原则的基础知识。数学源于古希腊语，是研究数量、结构、变换以及空间模型等概念的一门科学。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学是研究现实数量关系和空间形式的科学，是研究模式与秩序的一门学科。数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形。两种事物，如果有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然、也必须是抽象的。抽象性数学抛开客观对象的具体特征，只抽象出空间形式和数量关系进行研究，这就是数学的抽象性。数学的抽象性表现为数学研究对象的抽象性以及数学研究方法的抽象性，举例说明。14答案：如果函数满足:（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；那么在内至少有一点，使得。证明：引进辅助函数，验证可得：；又因为在闭区间上连续，在开区间内可导，且根据罗尔定理，可知在在内至少有一点，使得，即由此得即定理证毕。拉格朗日中值定理在微积分学中占有重要地位，是应用数学研究函数在区间上整体性质的有力工具。拉格朗日中值定理在中学数学中应用非常广泛，如利用导数来研究函数的某些性艇、证明不等式和方程根的存在性、描绘函数的图像、解决极值、最值等等。通过构造恰当的辅助函数能够将中学数学的许多知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使我们更好的把握中学数学的本质和关键。解析：本题主要考查微分中值定理中十分重要的拉格朗日中值定理。证明拉格朗日微分中值定理，首先要从罗尔定理出发，罗尔定理：如果函数满足:（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。罗尔定理中这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制，如果把这个条件取消，但保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。15答案：（1）“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵。①严谨性，是数学学科的基本特点之一，即逻辑的严谨性和结论的确定性。数学概念必须严格地加以定义，即使是那些最基本、最常用而不能按逻辑方法加以定义的原始概念，除了直观地用语言描述之外，还要求用公理加以确定；它要求数学结论的叙述必须准确、精炼，数学推理、论证必须合乎逻辑地进行，即使数学计算也要求无可争辩。整个数学学科体系就是一个严谨的逻辑结构。数学教学的严谨性要求在中学数学中，教师在教学内容的安排和讲授时，学生在理解、掌握、运用这些知识时，应该根据数学学科的基本特点，教学内容的叙述必须精炼，结论的推导、论证和体系的安排要严格、周密。事实上，对于数学的严谨性，学生要有一个逐步适应的过程。它随着人们认识能力的发展而提高。②教学的量力性，就是量力而行，要求教学内容能够被学生接受。这是由青少年心理发展的阶段性所决定的。对量力性不能被动地理解，学生的可塑性是很大的，改革的潜力是有的。关键在于逐步提高要求，逐步进行训练。③严谨性与量力性相结合原则的贯彻。明确要求，谨慎处理；从开始抓起，持之以恒；要求学生周密思考、言必有据。总之，数学的严谨性与量力性要很好地结合，在教学中注意教学的“分寸”，即注意教材的深广度，从严谨着眼，从量力着手；另外，要注意阶段性，使前者为后者作准备，后者为前者的发展，前后呼应。通过对学生严谨性的培养使学生养成良好的思考习惯。（2）在证明“是无理数”的教学过程对严谨性要求，应该设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强调思维的严谨性，允许猜想，辩证的处理好推理的有据和猜想的关系。由于学生对无理数不熟悉，在实际教学过程中我们采用反证法，先假设是有理数。教学中可以由教师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明。“是无理数”的证明：假设是有理数，必然有（为互质的正整数），两边平方：，显然为偶数，设(为正整数），有，，显然也为偶数，与互质矛盾。所以假设不成立，是无理数。在证明的过程中就很难从正面去证明“是无理数”，因此只能从学生能接收的侧面去证明“是有理数的假设不成立”，但是从反面去证明过程的每一步也是很严谨的，所以体现了“严谨性与量力性相结合”的数学内涵。解析：本题主要考查数学教学原则的基本内容，并能够根据实例进行理解和把握。首先，明确数学教学原则是依据数学教学目的和教学过程的客观规律而制定的指导数学教学工作的一般原理，它是数学教学经验的概括总结，它来自于数学教学实践，反过来又指导数学教学实践。本题作为论述题，需要分步进行解答。第一步，阐述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，分别简述严谨性、量力性的内涵，以及严谨性与量力性相结合原则的贯彻；第二步，结合“是无理数”的教学过程实例阐述在教学过程中如何体现“严谨性与量力性相结合”数学教学原则。16答案：（1）该教学过程的主要特点有以下三点：一是在导入过程中运用了温故导入的方式，优点是可以帮助学生复习旧知，从已学习过的知识中找到新知与旧知的联系，从而帮助学生快速地进入新知识的学习。二是在教学过程渗透了数形结合的数学思想，学生通过列表、描点、连线一系列动手操作画出反比例函数图形，并通过计算机直观演示函数图像的动态变化，帮助学生建立数形结合的意识。三是在教学过程中体现了新课标中的“学生为主体，教师为主导”的新观念，在教学过程中教师提出问题，引导学生发现问题、思考问题、解决问题。（2）在第二步的连线过程中，我将让学生多取一些点，在描点过程中学生自然就会发现是所连成的线是光滑曲线而不是折线；或者让学生自行取点描线，然后教师收集学生取点少的描出的图像和取点较多的描出的图形，用投影展示，学生对比观察，自然而然知道反比例函数图像是光滑曲线。（3）我将引导学生通过多选取特殊点进行比较，观察第一象限和第三象限随的变化规律，并鼓励学生多交流、多沟通，总结规律，进一步提高学生的观察能力和抽象概括能力。解析：本题主要从“反比例函数图像”教学片段入手，考查反比例函数的概念、性质及图像、教学过程的基本要素、教学方法的选择，初中数学课程的课程内容、实施建议，以及教学案例分析的基本能力等相关知识。（1）教学过程的主要特点可以从导入的方式、教学思想、教学理念等多角度来分析。（2）在第二步的连线过程中，引导学生思考所连的线不是直线，而是光滑曲线，教学的方法可以多种多样，一定要注意是“引导”学生主动发现反比例函数图像是光滑曲线，而不是直线。（3）对于第三步引导学生思考函数图像在第一象限（或第三象限）的变化规律，这一问题与第二题的问题类似，一定要秉承“学生为主体，教师为主导”的教学理念，注意“引导”学生观察图像在第一象限和第三象限随的变化情况，总结规律。17答案：（1）平行四边形性质的三维教学目标是：①知识与技能目标：掌握平行四边形边、角、对角线的有关性质，并会运用平行四边形的性质解决简单问题。②过程与方法目标：在体会通过数学活动，探索归纳获得数学结论的过程，感受平行四边形性质在解决问题中的作用。通过对问题解决的过程的反思，获得解决问题的经验，积累解决问题的方法。③情感态度价值观目标：通过积极参与数学活动，让学生学会在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的探讨，享受运用知识解决问题的成功体验，增强学好数学的信心。（2）两种让学生发现平行四边形性质的教学流程如下：第一种：观察—猜想—验证—归纳。通过多媒体PPT展示各种图形，让学生找出平行四边形，并说说自己的理由，当学生说出“两组对比分别平行之外”，教师提问“平行四边形除了两组对边分别平行之外，还有没有其他性质呢？”让学生猜一猜，然后再让学生通过画一画（在格点纸上画一个平行四边形）、量一量、剪一剪（将所化的平行四边形沿其中一条对角线剪开）等活动验证自己的猜想，最后总结出平行四边形对边与对角的性质。第二种：动手操作—小组讨论—归纳总结。在学生了解平行四边形定义之后，让学生用一张半透明的纸复制学生之前画的平行四边形，并将复制后的四边形绕一个顶点旋转180度，并提问：你能平移该纸片，使它与你画的平行四边形重合吗？”让学生思考，并讨论“通过以上的活动，你能得到哪些结论？平行四边形的对边、对角分别有什么关系？”用这些问题引导学生发现平行四边形对边相等，对角相等。（3）你能证明“平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等”吗？师生共议，写出已知、求证及证明过程。已知：如图，四边形为平行四边形求证：，；，分析：连结对角线将平行四边形的问题通过转化为全等三角形的问题进行解决。设计意图：注重直观操作与逻辑推理的有机结合，把几何论证作为探究活动的自然延续和必然发展。同时，通过证明，验证了猜想的正确性，让学生感受到数学结论的确定性和证明的必要性。总结：性质1：平行四边形的对边相等符号语言:∵四边形为平行四边形∴，性质2：平行四边形的