2017年下半年教师资格证考试《初中数学》解析

年下半年教师资格证考试《初中数学》解析1解析D项：本题考查的是矩阵的秩的求法，对于矩阵的秩有3种求法：1.

利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩；2.计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩（很少用）；3.如果是低阶方阵可以求出对应行列式的值，如果行列式不为零，那么矩阵是满秩。采用第一种方法，利用初等变换将矩阵化为阶梯型矩阵，由此得到下面的式子：，观察可以发现矩阵非零行的行数为3行，所以矩阵的秩为3。采用第三种方法，本题中矩阵的行列式为3阶行列式，根据公式：=++本题中矩阵的行列式为，可知矩阵为满秩，即矩阵的秩为3。故正确答案为D。2解析A项：本题考查的是等价无穷小的判断。对于同一个变化过程，设,,，若，则是与是等阶的无穷小。常见的等价无穷小有：当时，，，，，，，，，，，。同时根据上述常用的等价无穷小，可以导出其他的等价无穷小，当

时，，，，，，，，，。A项：当时，，

-。正确。B项：。错误。C项：=。所以是的高阶无穷小。错误。D项：。错误。故正确答案为A。3解析A项：本题主要考查级数的敛散性。对于级数有：由此可知，A项发散，B项收敛。对于交错级数有：若交错级数满足：（1）数列单调递减；（2）；那么该交错级数收敛。由于与,均单调递减，且,因此C、D两项均收敛。故正确答案为A。4解析C项：本题主要考查椭圆的定义及焦点含义。椭圆定义的方式方法有多种,其中一种定义方式：椭圆平面内到定点

F（c,0）的距离和到定直线

(F不在直线上）的距离之比为常数(即离心率e，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。从椭圆的一个焦点出发的射线，经椭圆反射后通过椭圆另外一个焦点，这是椭圆具有的光学性质。C项正确，当选。A项：常数需大于两定点间的距离，若该点与两个定点的距离之和等于两个定点之间的距离，该点的轨迹不是椭圆而是线段。与题干不符，排除。B项：平面内到定点和定直线距离之比大于1的常数的动点轨迹是双曲线，定点需为焦点。与题干不符，排除。D项：平面与圆柱面的截线可能是椭圆、圆或其他图形。与题干不符，排除。故正确答案为C。5解析D项：本题主要考查二次型的相关内容。二次型是指含有n个变量的二次齐次函数。四个选项中只有D项为二次齐次的，其他均含有常数项或一次项。故正确答案为D。6解析C项：本题主要考查随机变量的期望、方差的计算。对于随机变量的期望和方差，有性质如下：ECE，D（CXD。所以EEE，D=

DD所以。故正确答案为C。7解析B项本题主要考查概念间的关系。矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。在概念a和概念b的关系上，如果有的a是b，有的a不是b，并且有的b是a，有的b不是a，那么a和b这两个概念之间就是交叉关系。例如“食物”与“植物”、“间谍”与“军官”等等。对于本题，正方形既是矩形，又是菱形，但有的矩形不是菱形，有的菱形不是矩形，因此满足交叉关系。B项正确，当选。A项：同一关系概念的重要特征就是“虽然外延完全相同，但其内涵却不完全一样”，例如：“等角三角形”与“等边三角形”。矩形与菱形的外延不同。与题干不符，排除。C项：属种关系是指一个概念的部分外延与另一个概念的全部外延重合的关系。例如数学中的“数”与“整数”，几何中的“三角形”与“直角三角形”等均是属种关系。需要注意的是：属种关系或种属关系因两个概念间的前后顺序变化而关系也发生变化不同，具有交叉关系的两个概念不包含顺序性，因而前后两概念的顺序发生变化并不影响它们之间的逻辑关系。与题干不符，排除。D项：在同一个属概念下的两个种概念的外延互相排斥，其相加之和等于该属概念的外延。很显然矩形和菱形不具备这样的关系。与题干不符，排除。故正确答案为B。8解析B项：本题主要考查对中心对称图形的理解。中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。正五边形绕任何一点旋转180°均不与原图形重合，不是中心对称图形。B项正确，当选。A项：线段绕起中点旋转180°后与原线段重合，是中心对称图形。与题干不符，排除。C项：平行四边形绕其两条对角线的交点旋转180°后与原平行四边形重合，是中心对称图形。与题干不符，排除。D项：椭圆绕其重心点旋转180°后与原椭圆重合，是中心对称图形。与题干不符，排除。故正确答案为B。9答案：（1）绕y轴旋转一周，则不变，变为，代入，得。同理：=。（2）立体的体积=。解析：本题考查曲线绕轴旋转所得到的曲面方程的求法，以及通过定积分的方法求曲面体积的技巧。需要应用到的规律为：曲线绕x轴旋转，曲面方程必为，同理曲线绕y轴旋转，曲面方程必为。10答案记事件A：这名考生为本专业考生。则，，记事件B：这名考生通过了考试。由题可知，本专业考生通过率为，所以非本专业考生通过率为，所以由全概率公式：所以在已知该考生通过了考试的前提下，该考生为本专业考生的条件概率为解析：本题考查随机事件的条件概率。条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。11答案：证：设与该图形C相交时，将其面积分别分为与因为在平面有界区域内，连续曲线C围成的封闭图形S一定是一个单连通区域，而题干明确给出是连续曲线C，即是连续的，所以我们可知将封闭区域S分割出的两部分，其中每一部分的面积关于都是连续的，即

是关于的连续函数，记为，则有（为封闭曲线面积），。根据连续函数介值定理可知，必存在，使，即。所以：平分S。解析：本题考查介值定理的应用。介值定理，是闭区间上连续函数的性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为的连续函数，那么在区间内的某个点，它可以在和之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。12答案：“平行四边形”的定义为：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。定义方式：属加种差定义法。“实数”的定义为：有理数和无理数统称为实数。定义方式：揭示外延的定义方式，逆式定义法，又叫归纳定义法解析：本题考查几种数学概念的定义方式，常见的定义方法有：原始概念，属加种差定义法，揭示外延的定义方法。原始概念。例如，代数中的集合、元素、对应等，几何中的点、线、面等。属加种差定义法。这种定义法是中学数学中最常用的定义方法，该法即按公式：“邻近的属+种差=被定义概念”下定义，其中，种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间的差别，即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性。例如，平行四边形的概念邻近的属是四边形，平行四边形区别于四边形的其他种概念的属性即种差是“两组对边分别平行”，这样即可给平行四边形下定义为“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。

揭示外延的定义方法。数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。常见的有以下种类：（1）逆式定义法。这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法．例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法。（2）约定式定义法。揭示外延的定义方法还有一种特殊形式，即外延的揭示采用约定的方法，因而也称约定式定义方法。例如，，，就是用约定式方法定义的概念。13答案：为了使不同的学生在顺序约上得到不同的发展，数学教材也为学生提供了多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。对于选学课程来说，主要有以下几个意义：（1）拓展学生的知识与技能。必修课程关注学生基本的科学文化素质，追求知识与技能的基础性、全面性、系统性、完整性，为学生的一般发展奠定知识技能与情感态度基础。选修课则为学生提供了知识与技能的多样性，根据学生自己的兴趣选修不同的课程，帮助学生拓展知识的领域，为学生以后的学习提供了参考，也为以后的发展提供了助力。（2）发展学生的兴趣和特长，培养学生的个性。我国教育固然以学生全面发展为目标，但这并不意味着对所有的学生都统一要求，更不意味着要求每一个学生在每门课程上都平均发展或门门优秀。因此，我们必须改变过去必修课一统天下的僵化格局，在不加重学生负担的前提下，开设丰富多样富于弹性的选修课，拓宽学生的知识视野，促进其潜在能力和个性特长的充分发展。以韦达定理为例，韦达定理与一元二次方程根的判别式的关系是密不可分的，根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，而韦达定理说明了根与系数的关系，无论方程有无实数根，利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，因此韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。而这一选修课程的学习会让学生产生对数学学习的乐趣，甚至想要研究数学的动力，为学生之后的发展起了一定的启蒙和铺垫作用解析：本题主要考查开设选修课程的重要意义14答案：（1）对于∀，有（）

⋅⋅。其中由于

，，，，，因此取，，所以∀，都可以写成的线性组合。由于，所以。所以（）。即的维数为。（2）解：由于∀，都可以写成的线性组合。因此的一组标准正交基也是的一个极大线性无关组。由Schmidt正交化方法：

，

，将与

单位化得：，。，即为的一组正交规范基。解析：此题考查线性空间部分的内容，可简单理解为考查求矩阵的秩和Schmidt正交化方法。15答案：（1）数学的教学合理的渗透数学文化是非常重要，培养学生的数学思想，养成数学思维方式，及对相关历史背景的了解都能很好的发挥数学课程的作用：第一方面，培养学生数学思想。“勾股定理”这节课包含的数学思想有数形结合思想、转化思想和从特殊到一般的数学思想。先利用特殊的直角三角形等腰直角三角形，发现以腰为边的正方形与以斜边为边的正方形的面积之间的关系，借助数形结合的思想得出等腰直角三角形的三边之间的数量关系，续而研究普通直角三角形，通过运用赵爽弦图对勾股定理进行证明，由求边的关系转化到求面积关系渗透转化的思想方法，在用面积证明勾股定理的过程中，通过移、补、凑、合而面积不变，向学生展示割补原理并渗透数形结合思想；同时能够培养学生的民族自豪感。第二方面，数学思维方式的渗透。“勾股定理”的学习过程中教师会不断引导学生去对教材知识进行观察，对得出的结论进行归纳。在这样的过程中，学生的观察能力和总结归纳能力都会得到培养，相信在处理类似的相关题目中也是可以利用这些思维方式帮助自己解决问题。第三方面，借助历史中的数学精神。勾股定理的知识在初中课程体系中非常重要，但没学习之前学生对其了解比较少。因此合理利用勾股定理相关的历史，调动学生学习的积极性是有着重要意义的，因此在课程中，通过分享学生收集的资料引出数学史中毕达哥拉斯在朋友家做客发现地板中三角形的三边关系行导入，让学生感受数学文化。在小结作业阶段，让学生寻找有关勾股定理的资料，并对相关问题进行探究，如：古代勾股数的认识，进一步渗透数学文化。总之，这些举动是让同学们明白，数学不仅仅是一些数量关系和空间形式，也是人类经过数千年的生产实践沉淀下来的经验，是人类对自然美的另一种追求，它有自己独特的文化内涵，是人类文明发展的重要组成部分。

（2）在数学课程中，强调数学的文化价值，是本次数学课程改革的一个亮点。

①数学文化的培养，有助于激发学生的求知欲。数学并不是枯燥乏味的而是充满生机和活力的，它有着它的神秘美。比如数学中还存在一些猜想，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想、四色猜想的书面证明问题等都未得到彻底解决，在引导学生试图解决这些猜想的过程中，既可以向学生传播数学文化，又可以让学生漫步在变化发展着的数学文化形态之中，在潜移默化中激发学生求知欲。

②数学文化教育有利于培养学生的创新意识和探索精神。

新一轮数学改革的理念中，强调培养学生的创新意识和探索精神。培养学生的数学思维能力，也是当代数学教育改革的核心问题之一。在数学文化中数学历史事件、历史过程、历史故事都能够激发起学生的创新意识，培养学生的探索精神。

③数学文化的培养，有助于提高学生的数学素养。在教学中要充分挖掘教材的文化价值，充分揭示数学知识产生、发展的全过程，探寻数学知识的源泉，重建被割裂的数学知识与现实背景的联系，让学生能够主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质。

④数学文化的培养，有助于学生深入了解数学的特点。

通过对数学的思想、精神、方法、观点、语言及其形成和发展，以及数学史、数学家、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系的学习，可以使所学的数学知识更加系统。学生能够在数学文化的培养中深入了解数学的特点：数学是比较抽象的。具有逻辑的严密性和结论的确定性，应用的广泛性和一定的预见性。

因此，教学中我们应当有意识地结合学生已有的知识结构，加强数学与实际生活的联系。增强数学的应用性，将数学知识生活化，让学生体验到数学文化的价值就在于生活的各个领域中都要用到数学。解析：本题考查数学文化在数学教学过程中的渗透。数学文化包含数学思想、数学思维方式和数学相关历史材料等方面。16答案：（1）教学目标的评析：本次备课组拟定的两个教学目标是在教材对基础知识传授与基本技能培养的基础上，对学生进行基本活动经验的获取能力进行提升，更是对学生在“数学思考”与“问题解决”及“情感态度”目标的深层次培养。即是在学生对一次函数的图像和性质都有了一定的掌握，并且具有一定的问题解决能力后，从“数学思考”方面对学生进行引导，培养学生的合情推理与演绎推理能力，实现“问题解决”的教学目标。在教学教学设计中，主要引导学生自主探究，通过“发现——提出问题，分析——解决问题”的基本过程，培养学生热爱数学，享受发现的韵味，主动进行数学知识探究的情感态度。具体说，本次备课组拟定的教学目标①是对解析式中的两个参数进行再探究，去主动发现除了之前已经学习过的k与b对函数性质的决定作用外，还有什么样的通性是由k与b决定的。目标②是从具体的侧面来提示学生探究k与b的作用，让探究更有目的性，使得知识的获得从直观到深层，更加符合学生的认知规律，让学生体验通过归纳猜想获得问题答案的机会。因为，知识体验的是一种结果，而过程却蕴含了无穷的智慧，数学知识形成过程中的数学思想，对于学生的数学学习，乃至终身发展都是至关重要的。本次备课组设定的两个目标从新课程的教学理念上看，是对教材教学目标的深化，对培养学生主动探究新知的情感及能力都有益处。也是在基础知识和基本技能的培养下，凸显基本思想与基本活动经验的重要性。更体现出对学生“发现——提出——分析——解决问题”能力的培养。但是在教学设计中，要注意“数学思考”与“问题解决”目标的合理设计，在“四能”训练的过程中体现目标，从而达成目标。

（2）教学思路特点分析：甲教师先出示了问题，之后给出了平行直线中，一次函数解析式中k值相等的结论。这样做的设计思路是为了让学生直接对问题的结论有一个深刻的印象，产生一定的认知，激发学生学习欲望，再举出一些具体的实例，让学生有的放矢地体会参数k的含义，这样也是对结论进行了巩固。但是这样的设计思路也有一些不足，没有考虑到学生的自主性，对学生发现问题的能力培养上是有所欠缺的，启发性有些不足。教师乙的教学思路是从一般到特殊，在授课中并没有直接的给出参数k的含义，而是在学生动手实践、自主探索与合作交流的基础上得到本节课的知识内容，利用已有知识作函数图像，让学生从熟悉的知识中学会自己归纳总结，获得新知——两直线平行时参数k1与k2的关系，体现化归思想。同时也培养了学生对事物的观察能力，和自我学习生成新知的能力。但是在实际教学中，可能会出现学生对教学目标不是十分了解的情况下，不能专注于问题的观察，探究，归纳，因此教师要调控课堂，体现教师的引导作用。解析：本题考查课堂教学设计以及一次函数图像的讲解过程。17答案：（1）例题设计意图：第一，解决这道题目的第一问，首先需要学生利用三角形的中位线定理得到四边形EFGH的对边平行或相等的结论，其次利用平行四边形的判定定理，判定四边形是平行四边形。因此在练习过程中可以巩固三角形中位线定理和三角形中位线应用，充分理解三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系。强化了特殊四边形的判定以及平行四边形判定定理的理解，又因为需要同时利用两个定理进行求解，所以可以提高学生对两者的综合应用能力，顺利达成①和②两个教学目标。

第二，第一问可以一题多解，可以锻炼学生的发散思维，还能够加深学生对平行四边形判定定理的应用。此外第三，问题二是一道开放性的题目，由学生自己设定条件自主解答，因此可以达成第三个教学目标。同时问题二的解决又需要学生从对角线的角度出发，对平行四边形及特殊的平行四边形的性质和判定有深刻的认识，通过本问题的练习，兼顾到了目标一和二。（2）此题无固定答案，符合题目要求即可。例如：连接HF、EG交于一点O，取OE、OG、OH、OF的中点分别为P、M、N、Q，连接PN、PQ、MN、MQ，改变题干中什么条件四边形PQMN会是矩形、菱形、正方形，并说明理由。（3）教学流程：教师呈现图片和问题，教师通过问题引导，从而降低题目的难度：①本题已知给出的条件最多的是什么？②通过中点你能想到什么？③如何添加辅助线构造出三角形的中位线？④连接AC或BD，那么AC或BD就分别是哪两个三角形的中位线？⑤以连接AC为例，你能判断AC与EF的关系，AC与HG的关系吗？⑥通过,,不难推出；,；可推出EFGH是平行四边形。板演：证明