2026-2027学年人教版数学九上第二十五章 一元二次方程 单元知识巩固提升卷

第二十五章一元二次方程单元知识巩固提升卷

（时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋1x＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥A．1 B．2 C．3 D．42．用配方法解方程2xA．(3x+1)2=1 B．x+3423．已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥34 B．m≥2 C．m≥1 4．“读万卷书，行万里路．”红星学校为了丰富学生的阅读知识，坚持开展课外阅读活动．学生人均阅读量从2021年每年100万字，到2023年增加到每年121万字，设该校人均阅读量年均增长率为x，则可列方程正确的是（）A．100(1+x)2=121C．100(1+2x)=121 D．100+100(1+x)+1005．用配方法解方程x2A．(x+1)2=2 B．(x−1)2=2 C．6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞34 B．m＞3C．﹣12＜m＜2 D．37．关于x的一元二次方程：ax2+bx+c=4的解与方程xA．1 B．2 C．3 D．48．2025年1月29日《哪吒2》正式上映，一上映就获得全国人民的追捧，第四天票房约17.3亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约18.1亿元．把增长率记作x，则方程可以列为（）A．17.31+x=18.1 C．17.31+x3=18.19．已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知整式M=a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a3，a2，a1，a0均为整数，a12+a22A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．已知关于x的一元二次方程x2+3x−a=0的两个根分别为x1，x2，若x12．将一元二次方程x2＝1﹣3x化为一般形式是．13．已知m是方程x2−2x−1=0的一个根，则3−14．为迎接G20杭州峰会的召开，某校八年级(1)(2)班准备集体购买一种T恤衫参加一项社会活动．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件(含60件)以上时，一律每件80元．如果八(1)(2)班共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买数量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，则第一批T恤衫的购买件．15．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为．16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=−1，则方程x2三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．解方程：（1）x2﹣6x+2＝0；（2）2x2﹣4x﹣1＝0；（3）3x（x﹣1）＝2x﹣2；（4）（x﹣3）（x﹣1）＝15．18．已知关于x的一元二次方程x2−4x−k+1=0有两个实数根分别为x1（1）求k的取值范围；（2）若x13x19．如图所示，在长为50m，宽为30m的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392m2.（1）求道路宽；（2）现需要A，B两种类型的步道砖，A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打8折出售，B种类型的步道砖每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑步道砖损失的情况下）最多选A种类型步道砖多少平方米？20．习近平主席8月27日在北京人民大会堂出席推进“一带一路”建设工作5周年座谈会并发表重要讲话．推动共建“一带一路”走深走实，造福沿线国家人民，推动构建人类命运共同体．某企业新能源产业受“一带一路”这一利好因素，利润逐年提高，2015年的利润为2000万元，2017年的利润为2880万元．（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润是否能达到3500万元？21．已知关于x的一元二次方程x2-（m-1）x-m-1=0（1）求证：方程总有两个不等的实数根。（2）若x1，x2为方程的两根，且x12+x22-x1x2=6，求m的值。22．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长___________米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m23．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式x2−2x+3，由于x2−2x+3=(x−1)2+2，所以当x−1=0时，多项式x2−2x+3有最小值；多项式−x2−2x+3，由于−x2−2x+3=−(x+1（1）多项式x2+6x+5关于x=（2）若关于x的多项式x2−2ax+4关于x=4对称，则a=（3）关于x的多项式x2+ax+c关于x=−1对称，且最小值为3，求方程第二十五章一元二次方程单元知识巩固提升卷（解析版）

（时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋1x＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【解答】解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；③x2＋1x④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；⑥12x-10=0是一元一次方程．故答案为：A．

【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。2．用配方法解方程2xA．(3x+1)2=1 B．x+342【答案】B【解析】【解答】解：2xx2x2则x2即(x+3故答案为：B.【分析】先将二次项系数化为1，然后常数项移到右边，然后方程两边同时加上9163．已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥34 B．m≥2 C．m≥1 【答案】D【解析】【解答】化成一般式x2由方程有实数根，得△=b2−4ac=故答案为：D．

【分析】先将方程转化成一般式，再用公式进行解答即可。重点是根的判别式的公式要熟记。4．“读万卷书，行万里路．”红星学校为了丰富学生的阅读知识，坚持开展课外阅读活动．学生人均阅读量从2021年每年100万字，到2023年增加到每年121万字，设该校人均阅读量年均增长率为x，则可列方程正确的是（）A．100(1+x)2=121C．100(1+2x)=121 D．100+100(1+x)+100【答案】A【解析】【解答】解：从2021年每年100万字，到2023年增加到每年121万字，人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程：100(1+x)故答案为：A【分析】根据增长后的量=增长前的量×(1+增长率）即可求出答案.5．用配方法解方程x2A．(x+1)2=2 B．(x−1)2=2 C．【答案】A【解析】【解答】解：移项得：x2配方得：x2+2x+1=1+1故答案为：A.【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上1，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）A．m＞34 B．m＞3C．﹣12＜m＜2 D．3【答案】D【解析】【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞34设方程的两根为a、b，则a+b=﹣2m+1m−2＞0，ab=m−2而2m+1＞0，∴m﹣2＜0，即m＜2，∴m的取值范围为34故答案为：D【分析】根据已知一元二次方程有两个不相等的正实数根，可得出m﹣2≠0，b2-4ac≥0，方程两根之和＞0，方程的两根之积＞0，建立不等式组，解不等式组，就可求出m的取值范围。7．关于x的一元二次方程：ax2+bx+c=4的解与方程xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【解答】解：解方程x2分解因式，得(x−1)(x−4)=0x将x=1代入ax2+bx+c=4，得a+b+c=4【分析】利用因式分解法可得方程x2-5x+4=0的解为x1=1，x2=4，然后将x=1代入ax2+bx+c=4中就可求得a+b+c的值.8．2025年1月29日《哪吒2》正式上映，一上映就获得全国人民的追捧，第四天票房约17.3亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约18.1亿元．把增长率记作x，则方程可以列为（）A．17.31+x=18.1 C．17.31+x3=18.1【答案】B【解析】【解答】解：设平均增长率为x，

∵第四天票房约17.3亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约18.1亿元，

∴17.31+x故选：B．

【分析】设平均增长率为x，根据“第四天票房约17.3亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约18.1亿元”列出方程式即可．9．已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，∵a+b=﹣2013，ab=1．∴（1+2015a+a2）（1+2015b+b2），=（ab+2015a+a2）（ab+2015b+b2），=a（b+a+2015）b（a+b+2015），=ab（2015﹣2013）（2015﹣2013），=4ab=4．故选D．【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系，可得出a+b=﹣2013，ab=1，再将代数式（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）中的1替换成ab，提取公因数化解即可得出结论．10．已知整式M=a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a3，a2，a1，a0均为整数，a12+a22A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【解答】解：∵a12+a22+a32≠0

∴a3，a2，a1至少有一个不为0，

∵a0+a1+a2+a3=4，整式M为单项式，

∴a0=4这个单项式不满足条件，

∴a3，a2，a1中，一个为4，其余各数为0，

∴满足条件的整式M的单项式为4x，4x2，4x3这三种，故①满足条件的整式M中至少有2个单项式，①说法正确；

∵(a0−a1+a2)2+a32=0，

∴a3=0，a0=a1-a2，

解得a1=2，

∴a0=2-a2，

∴M=2-a2+2x+a2x2=0，

∵Δ=4−4a2(2−a2)=4a22−8a2+4=(2a2−2)2≥0，

∴方程M=0一定有实数解，故②正确；

设|a0|=|a1|=|a2|=|a3|=x>0，

当a3，a2，a1，a0均为正整数时.

∵|a0|=|a1|=|a2|=|a3|，

∴|a0|=|a1|=|a2|=|a3|

∴x=1

∴a0=a1=a2=a3=1，

当a3，a2，a1，a0有3个正整数、一个负整数时，它们是有三个等于x，一个等于-x，

∴a0+a1+a2+a3=2x=4，

∴x=2，

∴此时a3，a2，a1，a0中有一个数是-2，其余三个是2，则有4种情况，

当a3，a2，a1，a0有2个正整数、2个负整数时，则它们是有两个等于x，两个等于-x，

∴a0+a1+a2+a3=0≠4不合题意，

同理可得：其他情况也不符合题意，

综上所述：满足条件的整式M共有5个，故说法③正确；

当x=0，M=a0<0，

当x=1，a0+a1+a2+a3=4，

∵M=a0+a1+a2x2+a3x3的取值具有连续性，

∴在0和1之间时一定存在能使M=0的x值，即方程M=0至少有一个正实数解，故说法④正确，

综上所述：说法①②③④都正确，共4个，二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．已知关于x的一元二次方程x2+3x−a=0的两个根分别为x1，x2，若x【答案】-2【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得x1•x2=-a=2，∴a=-2.故答案为：-2.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1•x2=ca12．将一元二次方程x2＝1﹣3x化为一般形式是．【答案】x2+3x-1=0【解析】【解答】将一元二次方程x2＝1﹣3x化为一般形式是x2+3x-1=0，

故答案为：x2+3x-1=0.

【分析】利用移项化为ax13．已知m是方程x2−2x−1=0的一个根，则3−【答案】2【解析】【解答】解：x移项，配方得，x2∴(x−1等式两边同时开方，x−1=±2∴x1=1+2∵3−m∴当m=1+2时，3−当m=1−2时，3−故答案为：2.【分析】对原方程进行配方可得(x-1)2=2，利用直接开平方法可求出x的值，即为m的值，然后代入3-m2+2m中进行计算.14．为迎接G20杭州峰会的召开，某校八年级(1)(2)班准备集体购买一种T恤衫参加一项社会活动．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件(含60件)以上时，一律每件80元．如果八(1)(2)班共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买数量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，则第一批T恤衫的购买件．【答案】40【解析】【解答】设第一批购买T恤衫x件，则第二批购买（100-x）件，当30<x≤40时，则60≤100-x<70，则有x[140-(x-10)]+80(100-x)=9200，解得x1=30(舍去)，x2=40；当40<x<60时，则40<100-x<60，则有x[140-(x-10)]+(100-x)[140-(x-10)]=9200，解得x1=30，x2=70，但40<x<60，所以方程无解；所以第一批购买数量为40件.

故答案为40.【分析】根据实际问题一元二次方程的应用．设第一批购买T恤衫x件，考虑两种情况列方程.15．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为．【答案】x（20﹣x）=64【解析】【解答】解：设长为xcm，∵长方形的周长为40cm，∴宽为=（20﹣x）（cm），得：x（20﹣x）=64．故答案为：x（20﹣x）=64．【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=−1，则方程x2【答案】9【解析】【解答】解：设x1、x2是方程ax2+bx+1=0a>0的两根，

解得x1=−b+b2−4a2a，x2=−b−b2−4a2a，

∵原方程是“邻根方程”，

∴−b+b2−4a2a三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．解方程：（1）x2﹣6x+2＝0；（2）2x2﹣4x﹣1＝0；（3）3x（x﹣1）＝2x﹣2；（4）（x﹣3）（x﹣1）＝15．【答案】（1）解：x2﹣6x＝﹣2，x2﹣6x+9＝7，（x﹣3）2＝7，x﹣3＝±7，所以x1＝3+7，x2＝3﹣7；（2）解：x2﹣2x＝12x2﹣2x+1＝32（x﹣1）2＝32x﹣1＝±62所以x1＝1+62，x2＝1﹣6（3）解：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x﹣2）＝0，x﹣1＝0或3x﹣2＝0，所以x1＝1，x2＝23（4）解：x2﹣4x﹣12＝0，（x﹣6）（x+2）＝0，x﹣6＝0或x+2＝0，所以x1＝6，x2＝﹣2．【解析】【分析】（1）根据配方法计算即可；（2）根据配方法计算即可；（3）根据因式分解法计算即可；（4）根据因式分解法计算即可；18．已知关于x的一元二次方程x2−4x−k+1=0有两个实数根分别为x1（1）求k的取值范围；（2）若x13x【答案】（1）解：Δ=＝16＋4k－4＝4k＋12．∵一元二次方程有两个实数根∴Δ≥0；．∴4k＋12≥0；∴k≥－3（2）解：由根与系数的关系可得，x1∵x1∴(−k+1)[4整理得：(k－1)(k＋5)＝0，解得k＝1或k＝－5．∵k≥－3，∴k＝－5不合题意，应舍去，∴k＝1．【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，判别式b2-4ac的值大于等于零，据此求解；（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1、x2，则x119．如图所示，在长为50m，宽为30m的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392m2.（1）求道路宽；（2）现需要A，B两种类型的步道砖，A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打8折出售，B种类型的步道砖每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑步道砖损失的情况下）最多选A种类型步道砖多少平方米？【答案】（1）解：设道路宽xm，根据题意，得（50-2x）（30-x）=1392，整理，得x2-55x+54=0，解得x=1或x=54（不合题意，舍去），故道路宽为1m.（2）解：设选A种类型步道砖ym2，根据题意，得300×0.8y+200×[50×1+（30-1）×1×2-y]≤23600，解得y≤50.故最多选A种类型步道砖50m2.【解析】【分析】（1）设道路宽xm，根据长为50m，宽为30m的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392m2，利用矩形的面积求得关于x的一元二次方程，解方程去符合题意的x的值即可求解；

（2）设选A种类型步道砖ym2，根据A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打8折出售，B种类型的步道砖每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，列出关于y的不等式，解不等式即可求解.20．习近平主席8月27日在北京人民大会堂出席推进“一带一路”建设工作5周年座谈会并发表重要讲话．推动共建“一带一路”走深走实，造福沿线国家人民，推动构建人类命运共同体．某企业新能源产业受“一带一路”这一利好因素，利润逐年提高，2015年的利润为2000万元，2017年的利润为2880万元．（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润是否能达到3500万元？【答案】（1）解：设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，2000(1+x)解得：x1答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%（2）解：∵，2017年的利润为2880万元，年平均增长率为20%，

∴2880×∵3456万元<3500万元，∴该企业2018年的利润不能超过3500万元．【解析】【分析】（1）设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，根据题意列出方程式，求解即可；（2）先求出该企业2018年的利润，将其与3500万元进行比较后即可得出结论．21．已知关于x的一元二次方程x2-（m-1）x-m-1=0（1）求证：方程总有两个不等的实数根。（2）若x1，x2为方程的两根，且x12+x22-x1x2=6，求m的值。【答案】（1）解：∆=(m-1)2-4(-m-1)=m2-2m+1+4m+4=m2+2m+1+4=(m+1)2+1＞0∴方程总有两个不等的实根（2）解：x1+x2=m-1x1·x2=-m-1∴x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=(m-1)2-3(-m-1)=m2-2m+1+3m+3=m2+m+4=6∴m2+m-2=0∴m1=-2，m2=1经检验，m1，m2均符题意∴m=-2或1【解析】【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式∆=b2-4ac，即可得出∆=(m+1)2+1>0，进而可证出方程总有两个实数根；

(2)利用韦达定理得出x1+x2=m-1，x1·x2=-m-1，将x12+x22-x1x2=6转化为m2+m+4=6，代入韦达定理的结果，得到关于m的一元二次方程，解这个方程，求出m的值，并验证其合理性.22．如图，有长为22米的篱笆，一