线性代数简明教程(第二版)-电子课件

1.2行列式的定义一元一次方程,当时，有唯一解二元一次方程,当不全为零时，有无穷多解。一组有序的数，当时，代入方程等式成立，即，则称为方程的解，例如：有无穷多个解为：其中t为任意常数。由中学数学知道：1.2.什么是解？解的全体称为解集合。解集合为:方程在直角坐标系Oxy平面上的图形为一条直线，故又称为两个变量的线性方程不全为零时又如类似，称为三个变量的线性方程更一般的，称为n个变量的线性方程，其中为变量。线性方程就是变量次数都为一次的方程哦例如：是不是n元一次方程组：由线性方程构成，故又称为线性方程组，系数常数项本章我们主要讨论方程个数和变量个数相等的线性方程组的求解问题。变量或未知量这类方程总可以用消元法来求解，但是消元法没有一个统一的公式，而解的统一公式在很多情况下有很重要的意义（就像一元二次方程公式解的作用），因而有必要寻求该类线性方程组的公式解，下面从2、3元方程组开始来推导一般方程组的公式解。

利用消元法可以得到：这就是二元线性方程组的公式解，但是非常不易记忆，为了便于记忆，需引进新的记号引进记号：并规定：例如：称为二阶行列式，主对角线副对角线根据二阶行列式的定义，公式解中的分子可以有记号：于是当时上述方程组有简洁公式解为：主对角线上的乘积－副对角线上的乘积例：求解线性方程组解：因为二阶行列式并且所以对于含有三个方程、三个未知量的线性方程组利用消元法，可以得到把的系数记为，则当时，有：类似可以解得：这些就是三元线性方程组的公式解，同样非常不易记忆，为了便于记忆，需引进新的记号为此，引进三阶行列式：并规定：这么复杂，很难记住的呀可以根据对角线法则来记忆，主对角线方向符号是正的，副对角线方向符号是负的。＋＋＋－－－现在分别用方程组的常数项来代替D的第1列、第2列、第3列得到：按照三阶行列式的规定，可以发现三者恰为消元法得到的分子，故当D≠0时，三个未知量的线性方程组有简洁的公式解：例：求解线性方程组解：所以，通过引进二阶行列式和三阶行列式，前面给出了2个未知量和3个未知量的线性方程组简洁的公式解，对于含有n个未知量的线性方程组,从形式上，n阶行列式肯定有：＝现在的问题就是如何定义n阶行列式我们想当然的会考虑，通过定义一般的n阶行列式，来给出它的公式解。二阶、三阶行列式都有对角线法则，是不是n阶行列式也有呢注意：四阶以上行列式没有对角线法则。为给出n阶行列式的定义，首先分析一下二阶、三阶行列式，它们有如下共同特征：(1)二阶是2!=2项的代数和，三阶是3!=6项的代数和；(2)它们的每一项都是不同行不同列元数的乘积，并且包含了所有可能的不同行不同列元素的乘积，除符号外，二阶的项可写成：三阶的项可写成：三阶行列式每一项的符号为“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(3)二阶行列式每一项的符号为“+”12（偶排列）“-”21(奇排列）称为n阶行列式。它是所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和，共有n！项，于是：将其推而广之，n阶行列式有定义，每项都冠以符号：

定义1.2.4：

n2个数aij（i=1,2,…,n)组成的记号:即：特别规定一阶行列式：例如一阶行列式要注意一阶行列式跟数的绝对值的区别哦！例计算n阶行列式解：根据定义1.2.4展开式中的表示取自第n行的数。第n行中除外都为零，故展开式中非零项只能是，即。因为不同行不同列，且第n－1行中除都为零，故展开式中非零项只能是依次类推，非零项的列指标只能是又因为所以上三角行列式类似于上三角行列式，可以得到下三角行列式的值：重要结论上、下三角形行列式都等于主对角线上元素的乘积。例

计算n阶行列式解：从展开式通项中着手，仿照上例从开始逐一分析，可知行列式的n！项展开式中非零的只有且列指标的逆序数为：所以：该结论也重要哦利用上面结论可计算，

由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.任意变换前后位置如何确定变换后的展开式的符号呢方法一：通过适当的交换元素位置，使得的行指标成为标准排列，此时由列指标组成的排列的奇偶性即可决定符号。例：要确定四阶行列式展开式中的符号。重新排成因为，所以该项符号是正号。方法二：由于每交换中两个元素的位置，对应的行指标、列指标的排列均作了一次对换，因而前后行指标和列指标逆序数之和的奇偶性不变。适当变换前后位置即当有成立：表明的符号是：例：下面四项中是五阶行列式的项，其中带正号的是（）（A）（B）（C）（D）或取行指标为标准排列取列指标为标准排列据此，可以得到行列式定义的两种不同形式：$number{01}《线性代数第1讲》ppt课件目录线性代数的定义与性质矩阵的基本概念向量与向量空间线性方程组与矩阵的秩特征值与特征向量01线性代数的定义与性质0302线性代数是研究线性方程组、向量空间、矩阵等数学对象的学科。01线性代数的定义线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于科学、工程和经济学等领域。它主要关注线性关系和线性变换，通过这些概念来描述和解决实际问题。线性代数的基本性质线性代数是解决实际问题的有力工具，如线性方程组的求解、最小二乘法、主成分分析等。线性代数是学习其他数学分支的基础，如微积分、概率论、复变函数等都需要用到线性代数的知识。线性代数在计算机科学和工程领域也有广泛应用，如计算机图形学、机器学习、信号处理等都涉及到线性代数的概念和方法。线性代数的重要性02矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的基本概念，由mxn个数按m行n列排列而成。矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，通常表示为二维数组。矩阵的行数和列数分别用m和n表示，矩阵中的每个元素都有一个行标和一个列标。矩阵的定义详细描述总结词总结词矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等，每种运算都有其特定的规则。详细描述矩阵的加法是将两个矩阵的对应元素相加，减法、数乘和乘法也有相应的规则。在进行矩阵运算时，必须确保参与运算的矩阵具有相同的维度或满足特定的运算规则。矩阵的运算总结词特殊类型的矩阵包括零矩阵、单位矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等，每种矩阵都有其独特的性质和用途。详细描述零矩阵是所有元素都为零的矩阵；单位矩阵是主对角线上的元素都为1，其他元素都为零的方阵；对称矩阵是满足AT=A的矩阵；反对称矩阵是满足AT=-A的矩阵。这些特殊类型的矩阵在解决实际问题中有着广泛的应用。特殊类型的矩阵03向量与向量空间基础定义向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母表示。向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为$sqrt{a^2+b^2}$。01020304向量的定义与性质03向量空间是线性代数研究的基本对象，是解决实际问题的重要工具。01抽象空间02向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、加法和数乘的结合律、加法和数乘的分配律等基本性质。向量空间的概念向量的线性组合与线性变换01变换与组合02向量的线性组合是向量加法和数乘的推广，通过线性组合可以得到向量空间中的任意向量。03线性变换是向量空间中一种特殊的映射，它将一个向量映射到另一个向量，保持向量的线性性质不变。04线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应用，如平移、旋转、伸缩等。04线性方程组与矩阵的秩123线性方程组的解法矩阵分解法将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分解、QR分解等。高斯-约当消元法通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程组。克拉默法则适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程组得到未知数的值。秩的意义秩的定义秩的性质矩阵的秩的概念矩阵的秩反映了其行（或列）向量组中信息的多少和重要程度。矩阵的秩是其行（或列）向量组的最大线性无关组中向量的个数。矩阵的秩具有一些重要的性质，如转置不变性、乘法不变性等。行初等变换法通过行初等变换将矩阵化为行阶梯形或行最简形，从而得到其秩。列初等变换法通过列初等变换将矩阵化为列阶梯形或列最简形，从而得到其秩。子式法利用矩阵的子式（即行列式）计算其秩，如Laplace定理等。矩阵的秩的计算方法03020105特征值与特征向量特征值与特征向量的定义特征多项式首先需要求出矩阵的特征多项式，然后解出特征多项式的根，这些根就是特征值。