2026秋人教版九年级数学核心章节25.2.3因式分解法（分层练习）

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

基础过关练

知识点一提公因式法因式分解解一元二次方程

1．一元二次方程x25x0的解为（）

A．x5B．x0C．x10,x25D．x10,x25

2．解方程：xx45x40．3．解方程：4x32xx3．

4．用因式分解法解下列方程：

（1）3x26x0；（2）x2x34x0．

5．一元二次方程x25x3x5的根是_________．

知识点二公式法因式分解解一元二次方程

1．方程x2-1=0的根为（）

A．x1B．x1x21C．x11，x21D．x1x21

2．下列各选项是方程x22x10的解的是（）

A．1B．1C．2D．-2

3．解方程：（1）x2-1=0；（2）x23x40．

4．解下列方程：（1）x22x125．（2）3xx12x1．

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

知识点三十字相乘法因式分解解一元二次方程

1．解方程：x28x70．2．解方程：x27x12．

3．解方程：（1）x23x0；（2）2x23x10．

2

4．解下列方程：（1）3x2-2x-1=0；（2）x2x5x2x40．

知识点四选择合适的方法解一元二次方程

1．用适当的方法解下列方程：

（1）x27x；（2）2x25x30．

2．解下列方程：（1）25x216；（2）a22a150．

2

3．解下列方程（1）x162x4（2）2x25x30

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

4．解下列方程：（1）x24x30；（2）xx52x10．

5．解方程：

22

（1）x2250；（2）x22x2；

2

（3）x24x30．（4）2x1x22

能力提升练

知识点一需先整理化为一般形式再因式分解解方程

1．解方程：(x4)(x1)6．2．解方程：x1x44x8．

3．解方程：2xx2x23

4．用适当方法解下列方程

2

（1）2x1x34；（2）2y137y

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

知识点二换元法解一元二次方程

1．请阅读下列材料：

2

解方程x215x2140．

解法如下：

2

将x21视为一个整体，然后设x21y，则x21y2，

2

原方程可化为y5y40，解得y11，y24．

（1）当y1时，x211，解得x2；

（2）当y4时，x214，解得x5．

综合（1）（2），可得原方程的解为x12,x22,x35,x45．

42

请你参考明明同学的思路，解方程x15x160．

2222

2．已知a、b满足abab440，则代数式a2b2的值为（）

A．2B．4C．2或4D．2

2

3．已知m2n23m2n2100，则m2n2_________．

2

4．解方程：4x1104x1240

知识点三已知方程的根，因式分解求参数

1．若关于x的一元二次方程x2xm0的一个根是x1，则另一个根是（）

A．x2B．x2C．x3D．x3

2．已知关于x的一元二次方程m2x2xm2m60的一个根为0，则m的值为_________．

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

3．已知关于x的方程x22mxm210．

（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一根为4，求m的值．

4．已知关于x的方程x22k1xk210．

（1）若x2是该方程的一个解，求k的值；

（2）若该方程有实数根，求k的取值范围．

知识点四解分式方程（化为一元二次方程）

2x

1．分式方程的正数解为（）

x1x2

A．x4B．x4C．x2D．x2

12

2．分式方程1的解为_________．

x1x21

x213

3．分式方程2的解是_________．

x2xxx2

x102

4．解方程：．

x2x2x6x3

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

知识点五因式分解法解一元二次方程实际应用题

1．一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球速度为1m/s．

（1）小球的滚动速度平均每秒减少_________m．

（2）小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案）

（3）小球滚动8m用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度v（初速度

与末速度的算术平均数）与路程s，时间t的关系为svt．）

2．跳绳是我市中考体育考试的必考项目之一．该项目练习成本低，且运动安全性较高．

（1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成．某工厂生产该型号跳绳，一名工人每天可生产600个

手柄或1200根绳子．现安排10名工人进行生产，应如何分配工人，才能使每天生产的手柄与绳子

恰好配套?

（2）小王和小林两名同学进行跳绳训练，小王计划一次跳600个，小林计划一次跳900个．已知

小林平均每分钟跳绳个数比小王少20个，两人同时开始跳绳，过程中小王因鞋带散开系鞋带耽误

了15秒，最终小王比小林提前1分45秒完成训练．求小林平均每分钟跳绳多少个?

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

3．某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与，已知乙组的工作效率是甲

4

组的，甲组先单独做了5天，之后甲组和乙组又合作了20天，刚好如期完成了整项工作．

5

（1）求甲组单独完成整项工作需要多少天？

（2）推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套

纪念品进价20元，定价为40元，发售前进行市场调查，售价40元时，每天可卖800套，而售价每

涨3元，日销售量就减少60套，若想每天获利10000元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪

念品的售价应为多少元？

4．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机

器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500

件快递．

（1）电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不

少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？

（2）日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系

统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（a0），且每天比原

计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整

后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值．

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

拓展培优练

知识点一含参数复杂一元二次方程因式分解综合求解

1．关于x的一元二次方程x2mx2m20．

（1）求证：方程总有实数根；

（2）若该方程有两个负实数根，求m的取值范围．

2．已知关于x的一元二次方程k1x2k3x20．

（1）判断该一元二次方程根的情况；

（2）若方程有一个根为2，求k的值及方程的另一个根；

（3）若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值．

3．已知：关于x的方程nx2n2x20n0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）如果n为正整数，且方程的两个根均为整数，求n的值．

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

4．已知关于x的方程x24kx4k210．

（1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根．

（2）若该方程的两个实数根x1，x2，且满足2x1x2(x1x2)，求k的值．

知识点二结合几何图形的方程综合题

1．已知关于x的方程x22k1x4k20

（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根．

（2）若等腰ABC的一边长a为4，另两边b,c的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形

的周长．

2．已知关于x的一元二次方程x2k1x2k20．

（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根；

（2）若等腰ABC的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值．

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25.2.3因式分解法分层练习（学生版）

3．已知ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程

x22k3xk23k20的两个实数根．

（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当k为何值时，ABC为直角三角形．

4．阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设P1x1,y1，P2x2,y2

如图1，当P1，P2纵坐标相同时，P1P2x1x2，当P1，P2横坐标相同时，P1P2y1y2

如图2，求P1P2长度，可构造直角三角形CP1P2，由图1可知CP1x2x1，CP2y2y1，由勾股定理

22

可得两点间距离公式为P1P2x2x1y2y1

请直接利用两点间距离公式，解决下列问题：

（1）平面直角坐标系中有两点A5,7，B2,3，则线段AB长为_________．

（2）已知一个三角形各顶点坐标为A1,4，B3,1，C1,1，请通过计算说明ABC的形状；

（3）若平面内有两点M1,3，N3,0，在y轴上找一点P，使PMN为直角三角形，我们可以这

样解答：

222

设P0,a．则利用两点间距离公式可得：MN2133025，PM21a3，PN2a29

2

若ÐP=90，则有MN2PM2PN2，即a31a2925

若M90，则有_________，即_________

若N90，则有_________，即_________

（4）在（3）的条件下，若在x轴上存在一点Q，使QMN为等腰三角形，请直接写出所有点Q的

坐标．

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

基础过关练

知识点一提公因式法因式分解解一元二次方程

1．一元二次方程x25x0的解为（）

A．x5B．x0C．x10,x25D．x10,x25

【答案】C

【分析】因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：x25x0，

xx50，

∴x0或x50，

解得x10，x25.

2．解方程：xx45x40．

，

【答案】x15x24

【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．

【详解】解：xx45x40，

x4x50，

\x+5=0或x40，

，

解得：x15x24．

3．解方程：4x32xx3．

【答案】x13,x22

【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先移项，再提取公因式，即可解答．

【详解】解：4x32xx3

移项得，4x32xx30，

x342x0，

x30或42x0，

x13,x22．

4．用因式分解法解下列方程：

（1）3x26x0；

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

（2）x2x34x0．

【答案】（1）x10,x22

1

（2）x10,x2

2

【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得3x(x2)0．

因此，有3x0或x20．

解方程，得x10,x22；

（2）解：原方程化为一般形式，得2x2x0．

把方程左边分解因式，得x(2x1)0．

因此，有x0或2x10．

1

解方程，得x0,x．

122

5．一元二次方程x25x3x5的根是_________．

【答案】x15,x23

【详解】解：x25x3x5

xx53x5

xx53x50

x5x30

x50或x30

解得x15,x23．

知识点二公式法因式分解解一元二次方程

1．方程x2-1=0的根为（）

A．x1B．x1x21C．x11，x21D．x1x21

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法解方程，即可作答．

【详解】解：∵x2-1=0，

∴x1x10，

∴x11，x21

故选：C．

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

2．下列各选项是方程x22x10的解的是（）

A．1B．1C．2D．-2

【答案】B

【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

利用因式分解法进行求解即可．

【详解】解：x22x10

2

x10

x1x21

故选B．

3．解方程：

（1）x2-1=0；

（2）x23x40．

【答案】（1）x11，x21

（2）x14，x21

【分析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）利用因式分解法解方程

【详解】（1）解：x210，

x1x10，

x11，x21；

（2）x23x40，

x4x10，

x14，x21．

4．解下列方程：

（1）x22x125．

（2）3xx12x1．

【答案】（1）x16，x24

2

（2）x11，x2

3

【分析】（1）根据配方法求解方程即可；

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

（2）根据因式分解法求解方程即可．

2

【详解】（1）解：方程变形得：x125，

开方得：x15，

解得：x16，x24；

（2）解：移项得：3xx12x10，

分解因式得：x13x20，

所以x10或3x20，

2

解得：x1，x．

123

知识点三十字相乘法因式分解解一元二次方程

1．解方程：x28x70．

【答案】x11，x27

【详解】解：∵x28x70，

∴x1x70，

∴x10或x70，

解得x11，x27．

2．解方程：x27x12．

【答案】x13，x24

【详解】x27x12

x27x120

x3x40

x30或x40

∴x13,x24．

3．解方程：

（1）x23x0；

（2）2x23x10．

【答案】（1）x10，x23

1

（2）x11，x2

2

【分析】（1）（2）把方程左边分解因式，再解方程即可．

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

【详解】（1）解：∵x23x0，

∴xx30，

∴x0或x30，

解得x10，x23；

（2）解：∵2x23x10，

∴2x1x10，

∴2x10或x10，

1

解得x1，x．

122

4．解下列方程：

（1）3x2-2x-1=0；

2

（2）x2x5x2x40．

1，

【答案】（1）x1x21

3

1515117117

（2）x，x，x，x

12223242

【分析】（1）用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可；

（2）设yx2x，用换元法求解即可．

【详解】（1）解：∵3x2-2x-1=0，

∴3x1x10，

∴3x10或x10，

1

解得x，x1；

132

（2）解：设yx2x，则原方程化为y25y40，

∴y1y40，

∴y10或y40，

解得y11，y24，

当y1时，则x2x1，即x2x10，

∵Δ1241150，

15

∴x；

2

当y4时，则x2x4，即x2x40，

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

∵Δ12414170，

117

∴x；

2

1515117117

综上所述，原方程的解为x，x，x，x．

12223242

知识点四选择合适的方法解一元二次方程

1．用适当的方法解下列方程：

（1）x27x；

（2）2x25x30．

【答案】（1）x10，x27

3

（2）x11，x2

2

【详解】（1）解：∵x27x，

∴x27x0，

∴xx70，

∴x0或x70，

解得x10，x27；

（2）解：∵2x25x30，

∴2x3x10，

∴x10或2x30，

3

解得x1，x．

122

2．解下列方程：

（1）25x216；

（2）a22a150．

4，4

【答案】（1）x1x2

55

，

（2）a15a23

【分析】（1）将方程变形后用直接开平方法求解；

（2）用因式分解法求解，选择合适的方法即可得到方程的解．

【详解】（1）解：∵25x216，

16

∴x2，

25

44

∴x，x．

1525

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

（2）解：∵a22a150，

a5a30，

∴a50或a30，

，

解得a15a23．

3．解下列方程

（1）x2162x4

（2）2x25x30

【答案】（1）x14，x26

1

（2）x1，x23

2

【分析】（1）先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可；

（2）直接利用因式分解法求解即可．

【详解】（1）解：x2162x4，

x4x42x4，

x4x42x40，

x4x420，

x4x60，

x40或x60，

x14，x26．

（2）解：2x25x30，

2x1x30，

2x10或x30，

1

x，x3．

122

4．解下列方程：

（1）x24x30；

（2）xx52x10．

【答案】（1）x11，x23

（2）x15，x22

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

【分析】用因式分解法解一元二次方程．

【详解】（1）解：x24x30，

∴x1x30，

∴x10或x30，

解得x11，x23；

（2）解：xx52x10，

xx52x5，

xx52x50，

x5x20，

∴x50或x20，

解得x15，x22．

5．解方程：

2

（1）x2250；

2

（2）x22x2；

（3）x24x30．

2

（4）2x1x22

【答案】（1）x13，x27

（2）x12，x24

（3）x11，x23

2727

（4）x，x

1323

【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；

（2）利用因式分解法解方程即可；

（3）利用因式分解法解方程即可；

（4）利用公式法解方程即可.

2

【详解】（1）解：x2250，

2

∴x225，

∴x25，

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

解得：x13，x27；

2

（2）解：x22x2，

2

∴x22x20，

∴x2x40，

∴x20,x40，

解得：x12，x24；

（3）解：x24x30，

∴x1x30，

∴x10，x30，

解得：x11，x23；

2

（4）解：∵2x1x22，

整理得：3x24x10，

2

∴Δ443128，

42842727

∴x，

663

2727

∴x，x.

1323

能力提升练

知识点一需先整理化为一般形式再因式分解解方程

1．解方程：(x4)(x1)6．

【答案】x15，x22．

【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解即可求解．

【详解】解：x23x46

x23x100

x5x20

x50或x20，

∴x15，x22．

2．解方程：x1x44x8．

【答案】x14，x23

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

【分析】因式分解法解一元二次方程．

【详解】解：x1x44x8，

x23x44x8，

x2x120，

x4x30，

x40或x30，

x14，x23．

3．解方程：2xx2x23

，

【答案】x11x23

【详解】解：∵2xx2x23，

∴2x24xx23，

∴x24x30，

∴x1x30，

∴x10或x30，

，

解得x11x23．

4．用适当方法解下列方程

（1）2x1x34；

2

（2）2y137y

7

【答案】（1）x11，x2

2

317317

（2）y，y

1424

【分析】（1）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解；

（2）先把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解；

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

【详解】（1）解：方程整理成一般形式，得2x25x70，

∴x12x70，

∴x10或2x70，

7

∴x1，x；

122

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

（2）解：去括号得2y24y237y

方程整理成一般形式，得2y23y10，

∴a2，b3，c1，

∵b24ac32421170，

317317

∴y，

224

317317

即y，y．

1424

知识点二换元法解一元二次方程

1．请阅读下列材料：

2

解方程x215x2140．

解法如下：

2

将x21视为一个整体，然后设x21y，则x21y2，

2

原方程可化为y5y40，解得y11，y24．

（1）当y1时，x211，解得x2；

（2）当y4时，x214，解得x5．

综合（1）（2），可得原方程的解为x12,x22,x35,x45．

42

请你参考明明同学的思路，解方程x15x160．

【答案】x116，x216

2

【分析】设x1y，则原方程化为一元二次方程：y25y60，先解出y的值，再进一步解出x

的值．

2

【详解】解：设x1y，则原方程可化为：y25y60，

解得：y16，y21，

2

（1）当y6时，x16，解得x116，x216，

2

（2）当y1时，x11，此方程无实数根，

综合（1）（2），可得原方程的解是：x116，x216．

2222

2．已知a、b满足abab440，则代数式a2b2的值为（）

A．2B．4C．2或4D．2

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

【答案】A

2222

【分析】设a2b2x，将等式abab440变形为xx440，解方程即可．

【详解】设a2b2x，

由a2b2a2b2440，得xx440，

化简得x24x40，

解得x1x22，

即a2b22．

2

3．已知m2n23m2n2100，则m2n2_________．

【答案】2

【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．

根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答．

【详解】解：设tm2n2t0，

2

∵m2n23m2n2100

则t23t100，

∴t2t50，

则t50或t20，

∴t2或t50（舍去）；

∴m2n22．

故答案为：2．

2

4．解方程：4x1104x1240

131

【答案】x，x．

1424

【分析】令t4x1，得到关于t的方程，利用配方法求得t112，t22，进而求出x的值即可．

【详解】解：令t4x1，代入方程得t210t240，

t210t240，

t210t24，

t210t252425，

2

t549，

t57，

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

解得：t112，t22，

13

当4x112时，x，

4

1

当4x12时，x，

4

131

原方程的解为x，x．

1424

知识点三已知方程的根，因式分解求参数

1．若关于x的一元二次方程x2xm0的一个根是x1，则另一个根是（）

A．x2B．x2C．x3D．x3

【答案】B

【分析】先将已知根代入方程求出m的值，再解一元二次方程得到另一个根．

【详解】解：∵x1是一元二次方程x2xm0的根，

∴121m0，

解得m2，

∴原方程为x2x20，

解得x11,x22，

∴方程的另一个根为x2．

2．已知关于x的一元二次方程m2x2xm2m60的一个根为0，则m的值为_________．

【答案】3

【分析】将x0代入原方程得到关于m的方程，结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，

筛选得到符合条件的m的值．

22

【详解】解：把x0代入m2xxmm60得m2m60，

因式分解得m3m20，

解得m13，m22，

原方程是关于x的一元二次方程，

m20，

即m2，

因此m3．

3．已知关于x的方程x22mxm210．

（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一根为4，求m的值．

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

【答案】（1）见解析

（2）m3或m5

2

【分析】（1）证明2m4m210即可；

（2）把x4代入原方程得到关于m的方程，解方程即可得到答案．

2

【详解】（1）证明：由题意得，2m4m21

4m24m24

40，

∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程有一根为4，

∴把x4代入x22mxm210得428mm210，

解得m3或m5．

4．已知关于x的方程x22k1xk210．

（1）若x2是该方程的一个解，求k的值；

（2）若该方程有实数根，求k的取值范围．

【答案】（1）k11,k23

3

（2）k

4

22

【分析】（1）将x2代入x2k1xk10，然后解方程即可得到k11,k23；

（2）根据根的判别式0，可求得k的取值范围．

22

【详解】（1）解：x2是关于x的方程x2k1xk10的一个解，

2

22k12k210，

整理得k24k30，

解得k11,k23；

（2）解：关于x的方程x22k1xk210有实数根，

22

2k141k14k30，

3

解得k，

4

3

即k时，关于x的方程x22k1xk210有实数根．

4

知识点四解分式方程（化为一元二次方程）

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

2x

1．分式方程的正数解为（）

x1x2

A．x4B．x4C．x2D．x2

【答案】B

2x

【详解】解：

x1x2

方程两边同乘x1x2得：2x2xx1，

整理得：x23x40．

因式分解得：x4x10．

解得x4或x1，

检验：当x4时，x1x20，

当x1时，x1x20，

∴原方程的正数解为或x4．

12

2．分式方程1的解为_________．

x1x21

【答案】x2

【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验，排除增根即可得到原方程的解．

12

【详解】解：1，

x1x21

方程两边同乘公分母x1x1，得x1x212，

整理得x2x20，

因式分解得x2x10，

解得x2或x1，

检验：当x1时，x1x10，故x1是增根，舍去；

当x2时，x1x10，满足方程要求；

因此原分式方程的解为x2．

x213

3．分式方程2的解是_________．

x2xxx2

【答案】x2

【分析】先将分式方程化为整式方程求解，最后检验所得根是否使原分式方程分母不为零．

x213

【详解】解：，

x22xxx2

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25.2.3因式分解法分层练习（解析版）

x213

对分母因式分解得，

xx2xx2

方程两边同乘最简公分母xx2，得x213

整理得x24

解得x12,x22

检验：当x2时，xx20，原分式方程分母为零，

因此x2是增根，舍去；

当x2时，xx22480，满足原分式方程分母不为零的要求.

因此原分式方程的解为x2．

x