2026秋人教版九年级数学核心章节26.4实际问题与二次函数（分层练习）

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26.4实际问题与二次函数分层练习（学生版）

基础过关练

知识点一图形问题

1．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18m的篱笆围成，墙长DE8m，

DF12m，则花园最大面积为（）

A．72m2B．80m2C．81m2D．96m2

2．如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．

（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？

（2）若墙的最大可用长度为15米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？

3．如图，矩形ABCD，点E在边AD上，设EBC的底边BC长为x，BC边上的高为y，它的面积为S，

且xy7，S是关于x的函数，则S的最大值为_________．

4．某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地ABCD，如图

所示，墙最大可利用长度为21米，菜地中间用篱笆隔开，在BC边上设计了两个宽度为1米的小门，

方便同学们出入，AD边和两扇小门不用篱笆，一共用了46米长的篱笆.

（1）若设菜地的宽AB为x米，则BC_________米（用含x的代数式表示）；且x的取值范围是

_________；

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26.4实际问题与二次函数分层练习（学生版）

（2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB.

（3）求这块菜地的最大面积？

知识点二拱桥问题

125

1．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为yx2，当水面离桥顶的高度为米时，

33

水面的宽度为（）

A．8米B．9米C．10米D．11米

2．如图，一辆宽为2m的货车要通过跨度为10m，拱高为5m的单行抛物线形隧道（从正中通过），

1

抛物线满足表达式yx25，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.8m的距离，则货车

5

的限高应是_________m．

3．有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距5m时，桥孔内水面宽为8m．

（1）如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式；

（2）一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为4m，高为1.5m．要使该船顺利通过桥孔，

水面与拱顶至少相距多少？

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26.4实际问题与二次函数分层练习（学生版）

4．综合与实践

问题情境：旧城区改造是提升居民生活品质的重要工程．如图①是某改造小区，该小区大门轮廓形

状可视为抛物线型，因通行安全性和美观性不足，计划将其改造为“矩形+近似抛物线型”的组合型

门，其截面图如图②所示．

数据收集；改造后组合型门宽BC为8米，矩形部分的高AB为2米，抛物线部分的顶点到地面的距

离为6米．

数学建模：如图②，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴（抛物线的对称轴），建立平面

直角坐标系．

问题解决：

（1）求改造后抛物线部分的函数表达式；

（2）为保障通行安全，需在距离地面高3.6米的门上安装两个摄像头，用于监控拱门通行情况，求

两个摄像头之间的水平距离；

（3）已知门正中间设有隔离带（关于y轴对称），为了安全起见，改造后的大门必须保证消防车等

应急车辆能正常通行，若消防车的宽为2.6米，高为3.75米，要保证消防车均可从大门两通道处通

过，请直接写出隔离带的宽的最大值（消防车与隔离带的间距忽略不计）．

知识点三投球问题

1．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为

154

yx2x，则此次实心球训练的成绩为（）

323

A．9米B．8米C．7米D．6米

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2．如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物

线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面

的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（）

A．y2x24B．y0.2x23.5C．y0.2x23.05D．y0.2x22.5

3．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式

125

为：yx2x．有下列结论：

1233

①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6m；

②铅球飞行至水平距离4m时，达到最大高度，最大高度为3m；

③铅球落地时的水平距离为10m．

其中，正确结论的序号是_________．

4．掷实心球是某市中考体育考试选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学

模型来研究实心球的运动情况，建立如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上

的点A0,2处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为4,3.6，落在x轴

上的点C处．

（1）求抛物线的解析式；

（2）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该

小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．

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知识点四喷水问题

1．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的

竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y2x24x1，

则喷出水珠的最大高度是（）

A．4mB．3mC．2mD．1m

2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角

坐标系，水在空中的运行路线是抛物线yx24x的一部分，则水喷出的最远水平距离是（）

A．5米B．4米C．3米D．2米

3．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某

农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两

条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用yx26x1表示．

（1）求水流的最高点到地面的距离；

（2）求左、右两条水流最高点之间的距离．

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4．如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地

高度OH为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛

物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE4米，竖直高度EF0.9米，

上边缘抛物线y的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底

部边线的距离OD为d米．

（1）求上边缘喷出水的最大射程OC；

（2）灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当d3米时，请通过计

算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎

样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌．

能力提升练

知识点一销售问题

1．某商场销售一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，当销售单价为70元时，平均每天可

售出30件；销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．设销售单价为x元（40x70），每

天的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

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2．某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长

率相同．

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价

每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为

多少元/个？

3．某汽车销售店销售A、B两种车型的汽车，今年2月A型车销售15辆，B型车销售10辆，销

售额为380万元，3月A型车销售12辆，B型车销售6辆，销售额为264万元，A、B两种车型

在这两个月均按定价进行销售．

（1）A、B型汽车的定价分别为多少万元？

（2）在过去一段时间内，该汽车销售店平均每月售出B型车8辆，每辆车利润为6万元．该销售

店决定对B型车开展降价促销活动．经市场调查发现，如果每辆车的售价降低1万元，那么平均

每月的销售量会增加4辆．不考虑其他因素，销售店将每辆车的售价定为多少万元时，该店B型

车的月利润最大？最大利润是多少？

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26.4实际问题与二次函数分层练习（学生版）

4．为推进我市文化旅游发展，板桥纪念馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3

个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品

由1个A纪念品和1个B纪念品组成．

规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价

为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加

10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（65a72且a为整数）．

（1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；

（2）求当a为何值时，每天的利润W最大，并求出最大利润．

知识点二图形运动问题

1．如图，在Rt△ABC中，A90，C30，AB4，点D是BC的中点，点P、Q分别是AC、BD

上的动点，且APDQ，则PQ的最小值为_________．

2．如图所示，在ABC中，ÐB=90°，BC8cm，AB6cm，动点P从A出发沿边AB向点B以1cm/s

的速度运动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度运动，若P，Q两点分别从A，B两

点同时出发，在运动过程中，求PBQ的最大面积．

（1）当P，Q同时出发后经过ts时，BQ_________cm，BP_________cm．

（2）在运动过程中，求PBQ的最大面积．

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3．如图，在等边ABC中，AB6．动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线ABC以

每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．点Q沿折线BCA以每秒2个单位长度的速度向

终点A匀速运动．连接AP，AQ，PQ．设点P运动的时间为tt0秒，△APQ的面积为S．

（1）当点P在AB上时，AP_________（用含t的式子表示）．

（2）求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．

4．如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b（ab），C、M、A、N在同

一条直线上，开始时点A与点M重合，让ABC向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正

方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（）

A．B．C．D．

知识点三其他问题

1．在我国古代，有一种利用水流计时的“水钟”，其内部的浮标高度h随时间t变化的轨迹可以近

似看作一条抛物线．某兴趣小组对其进行了数学建模：在平面直角坐标系中，设水钟底部为原点

O0,0，浮标初始位置为C0,2，浮标上升到的最高点坐标为4,6，水钟右侧的刻度线OA是一条

从原点出发的斜坡，其终点A的坐标为8,2，在A处有一个高度为1的警示柱AB．

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（1）求浮标高度h随时间t变化的抛物线解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）

（2）通过计算说明浮标在运动过程中能否达到或超过警示柱AB的顶端；

（3）当浮标在刻度线OA的上方，且浮标到刻度线OA的竖直距离为2时，求对应的横坐标t的值．

2．在一次烟花大赛中，两个不同位置的发射台同时发射了特制的烟花弹，烟花弹的轨迹高度与水

平距离之间的关系图象可近似看作抛物线，如图所示，以水平地面为x轴，垂直于地面的直线为y

轴，建立平面直角坐标系，已知如下信息：

烟花弹L1的发射点位于坐标原点O0,0，其爆炸最高点坐标为4,80，落地点为E；

烟花弹L2的发射点位于x轴上点A10,0，其爆炸最高点坐标为4,64．

设所有烟花弹轨迹的对称轴均垂直于水平地面，且均沿抛物线轨迹运动直至落地．

（1）求烟花弹L1的轨迹对应的抛物线表达式；

（2）若将烟花弹L2的轨迹关于y轴对称后，得到一条新的抛物线L3，点F在抛物线L3上，EFx轴，

求点F到点E的距离．

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3．【活动题目】智慧农田无人机精准施药数学实践活动

随着智慧农业的发展，无人机在农作物植保作业中得到广泛应用．某校农业科技实践小组

以“无人机精准施药”为主题开展数学建模实践活动：如图所示，某次模拟施药作业中，小

组同学以O为原点，建立平面直角坐标系，无人机飞行轨迹可看作抛物线的一部分．已知

无人机起飞高度为1.2米，在水平距离20米处达到最大高度9.2米，目标施药点距O的水

活动

平距离为36米．

素材

为保证施药效果与农作物安全，本次作业设定标准如下：

作业

①有效施药：无人机飞行高度满足3.5y4.2米；

标准

②精准施药：无人机飞行轨迹恰好经过点36,3.2．

问题解决：

（1）求该无人机初次飞行轨迹抛物线解析式；

（2）初次飞行至36米处时，无人机能否完成有效施药？请说明理由；

（3）为实现精准施药，将无人机向农作物方向平移d米，直接写出d值．

4．【综合与实践】

【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计

某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆A以初速度

v．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动

（即单位时间内速．度．等．量．减．小．）；与此同时，其正前方距离为dm处，目标障碍物车辆B以恒定速度

vB(vBv0)同．向．匀．速．行驶．为确保A车在任何时刻均不与B车发生接触（即全程保持非负车间距），

需建立函数模型，求解满足安全约束的最．小．初．始．车．距．．实验测得车辆A在水平直道上运动的数据如

下：

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时间t/s00.511.52

速度v/m/s20161284

路程s/m09162124

【问题探究】

（1）已知速度v是时间t的一次函数，路程s是时间t的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数

的关系式，并求车辆A从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程；

（2）测试车辆A驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车B从其正前方dm处开始，以vB8m/s的

速度匀速向前行驶．为保证测试车辆A始终不会撞上目标障碍物测试车B，求安全初始距离d的最

小值；

（3）在（2）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当d12m时两车却发生了追尾事故，请结

合所学知识分析事故原因．

拓展培优练

1．某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为18m，最高点离地面高度为9m．随

着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，

整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到24m．

建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题：

（1）求左侧抛物线OM的表达式，并求M点离地面的高度；

（2）直接写出右侧抛物线MN的表达式；

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（3）为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架BADC，使A点，D点在抛物线上，

B点，C点在地面上，其中AB，AD，DC三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？

（4）为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用EH和GF两根斜拉钢梁加固，其中G，H为

两抛物线的顶点，E，F在抛物线上，且EH和GF交于点M，求需用钢梁的总长度．

2．【问题背景】大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电

一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国

际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引

大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一

部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，

且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”．

【模型建立】我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知

121

“包络线”的解析式满足：yax，水平面是直线ym，与“包络线”交于A，B两点（点A在

2a

点B的左侧），其中一条水流所在抛物线y1经过点B．

【解决问题】

13

（1）当a1，m时，①AB_________；②求抛物线y1的解析式．

98

（2）若抛物线y2的顶点坐标为1,1，求“包络线”的解析式．

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3．综合与实践

问题情境：如图所示是甲、乙两名选手在某场羽毛球比赛中一个回合的示意图，其中hm是球距

地面的高度，xm是球距原点的水平距离，甲在A处以扣球方式击球，乙在C处接球后以吊球方式

回击．

数学建模：扣球时羽毛球运动路线可近似看成一条直线，吊球时羽毛球运动路线可近似看成一条抛

物线hax2bxca0.已知赛场中间球网DE1.52m，双方最远边界到中间球网的水平距离均为

6.7m．在比赛后通过“鹰眼”技术回放，得到如下信息：

信息一：甲在点A处击球时，距球网DE水平距离为5m，此时羽毛球距地面的高度h2.6m，在击

球0.5s后，羽毛球从球网DE正上方8cm的B处飞过，再过0.3s到达点C.．

信息二：乙在点C处回击，经过1s后，与AC交于点F.甲、乙击球后羽毛球均在水平方向上作匀速

运动，其速度分别为v1，v2，且v12v2．

问题解决：

（1）求AC所在直线的表达式；

（2）若乙回击球时，羽毛球在距离中间球网左边1m处到达最高点．

①通过计算说明甲选择不接球是否正确（注：乙回击球时，若球出界，则甲得分；若球未出界，则

甲需选择接球）；

②在乙回击球的同时，甲面对羽毛球前进，前进过程中甲速度为2.5m/s，最高击球高度为2m．请

直接判断出甲在前进的过程中能否接到球．

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26.4实际问题与二次函数分层练习（学生版）

4．某中学课外科技实践社团设计了一款航模飞行器，其飞行轨迹可抽象为抛物线的一段．通过在

水平安全线上A点发射飞行器的实验，测得飞行器相对于出发点A的水平飞行距离x（单位：m）

与飞行高度y（单位：m）的部分对应数据如表：

飞行水平距离x/m01020304050…

飞行高度y/m02240546470…

根据上面的信息，解决下列问题：

（1）求飞行器飞行高度y关于水平距离x的函数解析式．

（2）求飞行器飞行的最大高度．

（3）①求飞行器落回水平安全线时的水平飞行距离．

②社团在水平安全线上搭建了高度可调节的发射平台，当平台高度改变时，飞行器的飞行轨迹可看

作原抛物线沿竖直方向平移得到．在水平安全线上设置回收区域MN，点M到点A的距离为120m，

MN的长为5m．调整发射平台的高度，若飞行器能落在回收区域MN内（不包括端点M，N），请

直接写出发射平台相对于安全线的高度h的取值范围．

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26.4实际问题与二次函数分层练习（解析版）

基础过关练

知识点一图形问题

1．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18m的篱笆围成，墙长DE8m，

DF12m，则花园最大面积为（）

A．72m2B．80m2C．81m2D．96m2

【答案】B

【分析】设ADxm，则DC18xm，求得x的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答．

【详解】解：设ADxm，则DC18xm，

墙长DE8m，DF12m，

0x8，018x12，

解得6x8，

2

花园的面积x18xx218xx981，

∴当x8时，花园面积最大，最大面积为80m2．

2．如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．

（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？

（2）若墙的最大可用长度为15米，当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是多少米？

【答案】（1）3米或6米

（2）13.5米，4.5米

【分析】（1）根据面积列方程进行解答即可；

（2）根据面积列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．

【详解】（1）解：设ADx米，则AB273x米，

依题意得x273x54，

解得x13，x26，

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26.4实际问题与二次函数分层练习（解析版）

答：如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为3米或6米；

（2）解：设ADa米，则AB273a米，花圃的面积为S平方米，

2

9243

Sa273a3a，

24

墙的最大可用长度为15米，

273a15，

解得a4，

243

当a4.5时，S取得最大值，此时S，273a13.5，

4

答：当围成花圃的面积最大时，此时花圃的长和宽分别是13.5米，4.5米．

3．如图，矩形ABCD，点E在边AD上，设EBC的底边BC长为x，BC边上的高为y，它的面积为S，

且xy7，S是关于x的函数，则S的最大值为_________．

【答案】49

8

【分析】由xy7，得到y7x，利用三角形的面积公式即可得到S与x的函数关系式，根据二

次函数的性质即可求解最大值．

【详解】解：xy7，

y7x，

EBC的底边BC长为x，BC边上的高为y，它的面积为S，

2

111271749

Sxyx7xxxx，

2222228

1

0，

2

749

当x时，S有最大值，为．

28

4．某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地ABCD，如图

所示，墙最大可利用长度为21米，菜地中间用篱笆隔开，在BC边上设计了两个宽度为1米的小门，

方便同学们出入，AD边和两扇小门不用篱笆，一共用了46米长的篱笆.

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26.4实际问题与二次函数分层练习（解析版）

（1）若设菜地的宽AB为x米，则BC_______米（用含x的代数式表示）；且x的取值范围是_______；

（2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB.

（3）求这块菜地的最大面积？

46

【答案】（1）483x，9x

3

（2）10米

（3）189平方米

【分析】（1）ABEFCDx，可得BC463x2483x米，结合2BC21，可求得x的取值范

围；

（2）根据题意可得方程x483x180，解方程即可求得答案；

（3）设菜地的面积为y平方米，可得yx483x，根据二次函数的图象和性质，即可求得答案；

【详解】（1）解：根据题意可知ABEFCDx．

根据题意可知BC463x2483x米．

根据题意可知2BC21，即

2483x21

46

解得9x．

3

（2）解：根据题意，得x483x180．

解方程，得x110，x26（舍去）．

所以AB10米．

（3）解：设菜地的面积为y平方米．

2

根据题意，得yx483x3x248x3x8192．

因为y是x的二次函数，该函数图象开口向下，对称轴为x8，当x8时，y随x的增大而减小，且

46

9x，

3

所以当x9时，y可以取得最大值，最大值为94827189平方米．

知识点二拱桥问题

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26.4实际问题与二次函数分层练习（解析版）

125

1．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为yx2，当水面离桥顶的高度为米时，

33

水面的宽度为（）

A．8米B．9米C．10米D．11米

【答案】C

25

【分析】令y，解方程即可求出水面的宽度．

3

25

【详解】解：根据题意，令y，得：

3

251

x2，

33

解得：x15，x25，

所以水面宽为：x1x25510米．

2．如图，一辆宽为2m的货车要通过跨度为10m，拱高为5m的单行抛物线形隧道（从正中通过），

1

抛物线满足表达式yx25，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.8m的距离，则货车

5

的限高应是_________m．

【答案】4

【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将x1代

入，求得y4.8，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有0.8m的距离，即可求得答案．

1

【详解】解：由题意可知，当x1时，y154.8，

5

∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.8m的距离，

∴货车的限高应是4.80.84m，

故答案为：4．

3．有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距5m时，桥孔内水面宽为8m．

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26.4实际问题与二次函数分层练习（解析版）

（1）如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式；

（2）一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为4m，高为1.5m．要使该船顺利通过桥孔，

水面与拱顶至少相距多少？

5

【答案】（1）y=-x2

16

（2）2.75米

【分析】本题主要考查了二次函数的应用．

（1）设抛物线解析式为yax2，代入4,5，待定系数法求解析式即可求解；

55

（2）将x2代入y=-x2，得出y，进而加上船的高度，即可求解．

164

【详解】（1）解：设抛物线解析式为yax2，依题意，点4,5在抛物线上

∴516a，

5

解得：a=-，

16

5

∴y=-x2；

16

55

（2）解：当x2时，y22

164

5

∴水面与拱顶的高度为1.52.75米．

4

4．综合与实践

问题情境：旧城区改造是提升居民生活品质的重要工程．如图①是某改造小区，该小区大门轮廓形

状可视为抛物线型，因通行安全性和美观性不足，计划将其改造为“矩形+近似抛物线型”的组合型

门，其截面图如图②所示．

数据收集；改造后组合型门宽BC为8米，矩形部分的高AB为2米，抛物线部分的顶点到地面的距

离为6米．

数学建模：如图②，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴（抛物线的对称轴），建立平面

直角坐标系．

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26.4实际问题与二次函数分层练习（解析版）

问题解决：

（1）求改造后抛物线部分的函数表达式；

（2）为保障通行安全，需在距离地面高3.6米的门上安装两个摄像头，用于监控拱门通行情况，求

两个摄像头之间的水平距离；

（3）已知门正中间设有隔离带（关于y轴对称），为了安全起见，改造后的大门必须保证消防车等

应急车辆能正常通行，若消防车的宽为2.6米，高为3.75米，要保证消防车均可从大门两通道处通

过，请直接写出隔离带的宽的最大值（消防车与隔离带的间距忽略不计）．

1

【答案】（1）yx264x4

4

815

（2）米

5

（3）0.8米

【分析】（1）设抛物线所对应的函数表达式为yax26，将点D4,2代入所设解析式求出a的值

即可得出函数解析式；

（2）将y3.6代入解析式求出x的值，将所求x的值，再相减可得答案；

（3）求出y3.75时，求出x的值，再减去2.6，进而可得答案．

【详解】（1）解：连接AD，

由题意可知，四边形ABCD是矩形，

∵门宽BC为8米，矩形部分的高AB为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米，

∴OC4，CDAB2，E0,6，

∴D4,2，

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26.4实际问题与二次函数分层练习（解析版）

由题意，设抛物线所对应的函数表达式为yax26a0，

1

将点D4,2代入，得16a62，解得a，

4

1

该抛物线所对应的函数表达式为yx26；

4

（2）解：∵需在距离地面高3.6米的门上安装两个摄像头，

1

∴将y3.6代入抛物线，得3.6x26，

4

44

解得：x15,x15，

1525

448

∴两个摄像头之间的水平距离为：151515（米）；

555

（3）解：∵消防车的宽为2.6米，高为3.75米，

1

∴将y3.75代入抛物线，得3.75x26，

4

解得：x13,x23，

∵消防车的宽为2.6米，

∴32.60.4（米），

∴隔离带的宽的最大值为0.420.8（米）．

知识点三投球问题

1．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为

154

yx2x，则此次实心球训练的成绩为（）

323

A．9米B．8米C．7米D．6米

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成

154

绩就是抛物线yx2x与x轴交点的横坐标，即当y0时，求x的值即可．

323

【详解】解：当实心球落地时，y0，

154

即x2x0，

323

1

解得x，x8，

122

因为水平距离x不能为负数，

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26.4实际问题与二次函数分层练习（解析版）

1

所以舍去x，

12

则此次实心球训练的成绩为8米，

故选：B．

2．如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物

线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面

的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（）

A．y2x24B．y0.2x23.5C．y0.2x23.05D．y0.2x22.5

【答案】B

【分析】此题主要考查了二次函数的应用．设抛物线的表达式为yax23.5，根据题意得，抛物线

过点1.5,3.05，由此可得a的值，即可求解．

【详解】解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，

∴抛物线的顶点坐标为0,3.5，

∴设抛物线的表达式为yax23.5．

根据题意得，抛物线过点1.5,3.05．

∴2.25a3.53.05，

解得∶a0.2，

∴抛物线的表达式为y0.2x23.5．

故选∶B．

3．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式

125

为：yx2x．有下列结论：

1233

①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6m；

②铅球飞行至水平距离4m时，达到最大高度，最大高度为3m；

③铅球落地时的水平距离为10m．

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26.4实际问题与二次函数分层练习（解析版）

其中，正确结论的序号是_________．

【答案】②③/③②

【分析】对于①，计算x0时，y的值即可判断；对于②，将一般式化为顶点式，根据顶点坐标即

可判断；对于③，计算y0时，x的值即可判断．

1255

【详解】解：对于①：将x0代入yx2x，得y，

12333

5

∴出手高度为m，故①错误；

3

12512

对于②：yx2xx43，

123312

∴顶点坐标为4,3，故②正确；

125

对于③：将y0代入yx2x，得

1233

125

x2x0，

1233

整理，得x28x200，

解得x10或x2（负值，舍去），

∴铅球落地时的水平距离为10m，故③正确．

4．掷实心球是某市中考体育考试选考