2025-2026学年山东省青岛市超银中学九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省青岛市超银中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图所示，该几何体的主视图是（）A.

B.

C.

D.2.在平面直角坐标系中点P（8，6），连接OP，若OP与x轴正半轴夹角为α，则sinα的值为（）A.

B.

C.

D.3.设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2 C.y3＞y2＞y1 D.y3＞y1＞y24.某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=x+50 B.y=50x C.y= D.y=5.在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与的图象大致是（）A. B.

C. D.6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2DE，EC交对角线BD于点F，若EC=3，则EF的长为（）

A. B. C.1 D.7.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，那么下列各式中，正确的是（）A. B. C. D.8.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少个数与最多个数分别是（）A.7、8

B.7、9

C.8、9

D.9、109.如图，正比例函数（＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为-1.当时，x的取值范围是（）

A.x＜-1或x＞1

B.x＜-1或0＜x＜1

C.-1＜x＜0或x＞1

D.-1＜x＜0或0＜x＜110.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A（-2，1）的对应点为A′（-4，2），则点B（-1，4）的对应点B′的坐标为（）A.（-2，12）

B.（-2，8）

C.（-2，6）

D.（-4，8）二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。11.如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C，点D、E在函数图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连接DE，BE.若AB=3BC，△ABE的面积为6，则a-b的值为

.12.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12，BC=16，∠BAD=∠ABC=90°，F为AB上一点，连接FC、FD，使FD=CD，若E为FC的中点，连接AE，则AE的长为

.

13.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中点E，连接BE，过点C作BE的垂线，交BE的延长线于点D，若BD=8，DC=2，则DE的长为

.

14.4cos230°+2sin30°-2tan45°=

.15.如图，点A、B在反比例函数的图象上，连接AB并延长交x轴于点C，若B是AC的中点，△OAC的面积为3，则k的值为

.

16.将4个大小相同的小正方形按如图所示的方式摆放在大正方形ACEF中，已知AB=13，则图中阴影部分的面积为

.

17.饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升10°C，温度到100°C停止加热.然后水温开始下降，此时水温y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系，水温降至30°C时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示.水温从30°C开始加热至100°C，然后下降至30°C这一过程中，水温不低于50°C的时间为

min.18.已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D，若△AOD的面积为3，则k的值为

.

三、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题10分)

已知抛物线与x轴交于点A（-3，0），对称轴是直线x=-1，且过点（2，4），求抛物线的函数解析式.20.(本小题10分)

如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度.如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米.

（1）求像A′B′的长度.

（2）已知光线AP平行于主光轴l,经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长.

21.(本小题10分)

在一次数学实践活动中，王林同学要测量古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行15m到达斜坡CD的底部点C处，然后沿斜坡CD前行15m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为35°，已知斜坡的斜面坡度i=1：0.75，且点A，B，C，D，E在同一平面内.求古塔AB的高度.（结果精确到0.1米，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）22.(本小题10分)

已知二次函数y=（x-a）（x-3a）（a为实数，a＞0）.

（1）求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）.

（2）设二次函数在a-3≤x≤3a+2时的最大值为p,最小值为q,p-q=16，求a的值.23.(本小题10分)

如图，一次函数y=mx+n的图象与x轴交于点D（1，0），与y轴交于点C（0，2），与反比例函数的图象交于点A（a,4）和点B.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）结合图象，直接写出不等式的解集；

（3）判断线段AC，CD，BD之间的数量关系，并给予证明.24.(本小题10分)

综合与实践

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

（1）操作猜想：

如图1，四边形ABCD是矩形，AD=2AB，点E是CD边上一点，连接AE，沿AE折叠△ADE，使点D的对应点D′落在BC上.填空：∠DAD′=______，=______；

（2）探索证明：

如图2，在图1的条件下，延长BC与AE的延长线相交于点F，连接DF.求∠DFC的度数和的值；

（3）拓展延伸：

如图3，四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，FH.点M是BC边上一点，连接AM，将△ABM沿AM折叠，使点B的对应点B′落在EG或HF上时，直接写出的值.25.(本小题14分)

如图2，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在对角线BD上，点A，B的对应点分别记为A′，B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.

（1）如图1，当点B′与点D重合时，请判断四边形BEDF的形状，并说明理由；

（2）如图2，当AB=4，AD=8，BF=3时，求tan∠B′FC的值；

（3）如图3，当A′B′∥AC时，试探究AB与BC之间的数量关系.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】8

12.【答案】8

13.【答案】

14.【答案】2

15.【答案】2

16.【答案】

17.【答案】12

18.【答案】-7

19.【答案】解：∵已知抛物线与x轴交于点A（-3，0），对称轴是直线x=-1，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），

∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），（a≠0），把（2，4）代入解析式中，

得4=a（2+3）（2-1），

解得：a=，

∴抛物线解析式为y=（x+3）（x-1），即y=x2+x-．

20.【答案】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC=32cm,OD=12.8cm,AB=8cm,

∵AB∥A′B′，

∴△OAB∽△OA′B′，

∴．

∵AB∥A′B′，

∴△OAC∽△OA′D，

∴，

∴，

∴，

∴A′B′=3.2．

答：像A′B′的长度为3.2厘米．

（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图，

∵A′E∥OD，MN∥A′B′，

∴四边形A′EOD为平行四边形，

∴A′E=OD=12.8cm,OE=A′D．

同理：四边形ACOP为平行四边形，

∴AP=OC=32cm,

∵AP∥CD，A′E∥OD，

∴AP∥A′E，

∴△APO∽△A′EO，

∴，

∴．

∵MN∥A′B′，

∴△POF∽△A′DF，

∴=，

∴OF=OD=（厘米）．

答：凸透镜焦距OF的长为厘米．

21.【答案】古塔AB的高度为28.8m．

22.【答案】解：（1）∵y=（x-a）（x-3a）=x2-4ax+3a2=（x-2a）2-a2，

∴抛物线的对称轴为直线x=2a,顶点为（2a,-a2）；

（2）由已知可得：点（a,0）（3a,0）关于对称轴x=2a对称，

∴（a-3，y1）关于对称轴x=2a的对称点（3a+3，y1），

∵a＞0，

∴抛物线开口向上，

∵3a+3＞3a+2，

∴x=a-3时，函数取得最大值p=（a-3-a）（a-3-3a）=6a+9，

x=2a时，函数取得最小值q=-a2，

∵p-q=16，

∴6a+9+a2=16，

解得a1=1，a2=-7（不合题意，舍去），

∴a的值为1．

23.【答案】解：（1）将C，D两点坐标代入y=mx+n得，

，

解得，

所以一次函数的表达式为y=-2x+2．

将点A坐标代入y=-2x+2得，

-2a+2=4，

解得a=-1，

则点A坐标为（-1，4）．

将点A坐标代入反比例函数解析式得，

k=-1×4=-4，

所以反比例函数的表达式为y=．

（2）由得，

x=-1或2．

当x=2时，y=，

所以点B的坐标为（2，-2）．

由函数图象可知，

当-1＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即，

所以不等式的解集为：-1＜x＜0或x＞2．

（3）AC=CD=BD．

分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，

则点M的坐标为（-1，0），点N坐标为（2，0），

所以MO=DO，DO=DN．

又因为AM∥CO，BN∥CO，

所以AC：CD=MO：OD=1：1，CD：DB=OD：DN=1：1，

所以AC=CD，CD=DB，

所以AC=CD=BD．

24.【答案】30°;

（2）∠DFC=30°；

（3）的值为或

25.【答案】解：（1）当点B′与点D重合时，四边形BEDF是菱形．理由如下：

设EF与BD交于点O，

如图1，由折叠得：EF⊥BD，OB=OD，

∴∠BOF=∠DOE=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠OBF=∠ODE，

∴△BFO≌△DEO（ASA），

∴OE=OF，

又∵EF⊥BD，OB=OD，

∴四边形BEDF是菱形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=8，BF=3，

∴∠BCD=90°，CD=AB=4，BC=AD=8，

∴CF=BC-BF=8-3=5，

∴，

如图2，设EF与BD交于点M，过点B′作B′K⊥BC于K，

∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在对角线BD上，

∴B′F=BF=3，BB′=2BM，∠A′B′F=∠ABF=∠BMF=∠B′MF=90°，

∴∠BMF=∠BCD，

∵∠