初中数学七年级上册（北师大版）5.2.4 用去分母解一元一次方程 教学设计

初中数学七年级上册（北师大版）5.2.4用去分母解一元一次方程教学设计

一、教学内容分析

本节课选自北京师范大学出版社出版的义务教育教科书《数学》七年级上册第五章《一元一次方程》第二节《求解一元一次方程》的第四课时。在前三课时，学生已经系统学习了移项、合并同类项、去括号等解方程的基本步骤，能够解决系数为整数且不含分母的简单方程，以及含有括号的方程。【基础】本课时引入的“去分母”是解一元一次方程的最后一个核心步骤，也是解决含有分数系数（即分母）的一元一次方程的关键技巧。【非常重要】这部分内容不仅是对先前所学知识的综合运用和深化，更是后续学习更复杂方程（如分式方程、一元二次方程）、不等式以及解决实际生活问题中建立方程模型的基础。【重要】因此，本节课在初中数学知识体系中起着承上启下的关键作用，是学生从简单运算走向复杂代数推理的必经之路。教学内容聚焦于探究去分母的依据、掌握去分母的具体操作方法、归纳解含有分母的一元一次方程的一般步骤，并在求解过程中进一步体会化归思想。

二、学情分析

授课对象为七年级学生。从知识储备上看，学生已经掌握了等式的基本性质，特别是等式两边同时乘同一个数（除数不为0），结果仍相等；他们能够熟练进行整数的四则运算和简单的整数乘除；并且已经初步掌握了解简单一元一次方程的基本步骤。【基础】从认知特点上看，七年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对操作性强、步骤明确的数学方法接受较快，但对于方法的理论依据（如为什么可以这样操作）和操作中的易错点（如漏乘、符号问题）的理解还不够深刻。学生在前几课时的学习中，已经积累了一定的解方程经验，但面对含有分母的方程，可能会产生畏难情绪，特别是在处理最小公倍数的选择、分数线括号作用的理解以及去分母后分子整体添括号等问题上，是本节课需要重点突破的思维障碍点。【难点】

三、核心素养指向

本节课的教学致力于培养学生的以下数学核心素养：

通过将含有分母的方程转化为不含分母的整数系数方程的过程，引导学生深刻体会“化未知为已知、化复杂为简单”的化归思想，这是数学基本思想的核心体现。【非常重要】

引导学生经历观察、分析、探究、归纳解含分母方程一般步骤的过程，培养其逻辑推理能力和有条理的思考与表达习惯。

在去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一的完整求解过程中，要求学生每一步运算都准确无误，培养严谨细致的运算能力。【高频考点】

通过寻找各个分母的最小公倍数进行去分母操作，渗透数论中最基本的公倍数思想，加强数与式之间的联系。

四、教学目标设计

知识与技能目标：

【基础】学生能准确说出解含分母的一元一次方程时“去分母”的依据是等式的性质2。

学生能熟练找出方程中各分母的最小公倍数，并能正确地将方程两边各项（包括不含分母的整数项）都乘以这个最小公倍数，实现去分母。

【重要】学生能正确处理去分母后分子是多项式时的括号添加问题，避免符号错误。

【难点】学生能归纳并掌握解一元一次方程的一般步骤，并能灵活、准确、规范地求解含有分母的一元一次方程。

过程与方法目标：

通过对比、分析、尝试，让学生经历从“具体方程解法”到“一般步骤归纳”的数学建模过程，提高归纳总结能力。

在解决具体方程的过程中，训练学生的观察能力和运算能力，培养其思维的严谨性和批判性。

情感态度与价值观目标：

通过化繁为简的求解过程，让学生感受数学的简洁美和逻辑力量，增强学习数学的自信心和兴趣。

培养学生面对复杂问题时，勇于探索、严谨细致的科学态度。

五、教学重难点

教学重点：

掌握去分母解一元一次方程的方法和步骤。【高频考点】

教学难点：

准确找出各分母的最小公倍数，并能正确地对方程两边所有的项（尤其是单独的整数项）进行乘法运算。

正确理解并处理去分母后，分子（特别是多项式）的括号问题，确保符号的正确性。【难点】

六、教学方法与准备

教学方法：采用“引导-探究-归纳-应用”的教学模式。教师通过精心设计的问题链，引导学生自主探究去分母的必要性和方法；通过小组合作，辨析典型错误，归纳出规范的解题步骤；通过分层练习，巩固所学知识，提升运算能力。充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位。

教学准备：教师精心制作多媒体课件（PPT），展示例题、变式题和典型错例；准备随堂练习的小纸条；设计好板书，确保课堂生成性内容的有效呈现。

七、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，引入新知

教师通过多媒体展示一个生活实际问题：某校七年级三个班参加植树活动，已知一班植树棵数是二班的2倍，三班植树棵数比二班的一半还多10棵，三个班一共植树100棵。问二班植树多少棵？

引导学生设二班植树x棵，则一班植树2x棵，三班植树(0.5x+10)棵，根据等量关系列出方程：

2x+x+(0.5x+10)=100

整理得：3x+0.5x+10=100，即3.5x+10=100。

教师追问：这个方程我们学过了吗？怎么解？（学生答：可以，先移项合并，3.5x=90，再系数化为一，x=90÷3.5。）

教师进一步追问：90除以3.5计算比较繁琐，如果系数都是整数是不是更简便？我们能否将这个方程中的小数系数（或分数系数）转化为整数系数呢？

由此引出，如果方程中出现分数系数，我们有一种方法可以将它“整数化”，这就是我们今天要学习的——用去分母解一元一次方程。【设计意图：从实际问题引入，既复习旧知，又制造认知冲突（小数/分数系数计算不便），激发学生寻找更优解法的欲望，自然引出课题。】

（二）自主探究，形成方法

出示例题：解方程(x-2)/3-(1+2x)/5=1。

【重要】这是本节课的核心例题。教师并不直接讲解，而是引导学生思考：

观察这个方程与我们之前解过的方程有何不同？（学生观察并回答：含有分母。）

这个方程有分母，我们想把它变成不含分母的方程，应该怎么办？依据是什么？（引导学生联想等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，结果仍相等。）

我们乘以一个什么数能把所有分母都去掉呢？（引导学生找到分母3和5的最小公倍数15。）

学生自主尝试在练习本上完成第一步操作，教师巡视，发现典型做法。

预设学生可能出现以下情况：

情况A：只将含有分母的项乘以15，如(x-2)/3*15-(1+2x)/5*15=1。

情况B：对方程左边的两项乘以15，但忽略了右边的常数项1，如15*[(x-2)/3-(1+2x)/5]=1。

情况C：正确地将方程两边每一项都乘以15，如15*(x-2)/3-15*(1+2x)/5=15*1。

教师选取典型做法（包括正确和错误的）通过实物投影或板书展示，组织全班学生进行辨析讨论。

【非常重要】追问1：我们对方程进行变形，依据是等式的性质。性质2要求“等式两边都乘同一个数”，这里的“两边”指的是整个等式的左、右两边。所以，我们应该对方程的左边整体乘以15，还是对左边的每一项分别乘以15？右边呢？（引导学生理解：等式的左边是一个整体，要乘以15，根据乘法分配律，就相当于左边所有的项都要乘以15；右边也要乘以15。所以是“方程两边每一项都乘以最小公倍数”。）

【难点】追问2：对于情况C，化简后得到什么？引导学生口算：

15*(x-2)/3=5*(x-2)(约分)

15*(1+2x)/5=3*(1+2x)(约分)

15*1=15

所以得到新方程：5(x-2)-3(1+2x)=15。

【高频考点】追问3：现在这个方程是我们熟悉的类型吗？接下来该怎么解？

引导学生继续完成剩下的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为一。

板书完整过程：

解：去分母（两边同乘15），得5(x-2)-3(1+2x)=15。

去括号，得5x-10-3-6x=15。

移项，得5x-6x=15+10+3。

合并同类项，得-x=28。

系数化为1，得x=-28。

【重要】追问4：如何验证我们的解是否正确？

引导学生将x=-28代入原方程左右两边，看是否相等，强调检验的习惯。

检验（口述或简单板演）：左边=(-28-2)/3-(1-56)/5=(-30)/3-(-55)/5=-10+11=1=右边。所以x=-28是原方程的解。

【设计意图：通过问题链层层递进，让学生在辨析和实践中自主建构知识，深刻理解去分母的依据、对象和操作方法。教师的主导作用体现在关键处的追问和引导，而非直接灌输。】

（三）剖析难点，总结步骤

1.【难点突破】针对去分母后分子是多项式的情况，特别强调分数线的作用。教师指出：分数线不仅表示除法，它还具有括号的作用。例如(x-2)/3就是(x-2)÷3，去分母后变成5*(x-2)，这个括号是必须要保留的，直到下一步去括号时才能去掉。

2.教师展示一个常见错例：解方程(2x-1)/4-1=(x+2)/3。

展示错误解法：去分母（两边同乘12），得3(2x-1)-1=4(x+2)。【难点】

让学生找错，并说明理由。（错误点：整数项“-1”没有乘以12，漏乘了。）

引导学生得出正确解法：去分母（两边同乘12），得3(2x-1)-12=4(x+2)。并再次强调“方程两边每一项都要乘以最小公倍数”这一铁律。

3.师生共同归纳解一元一次方程的一般步骤：【非常重要】

（1）去分母：找出方程中各分母的最小公倍数，两边每一项都乘以这个数（注意不要漏乘不含分母的项）。

（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（注意括号前的符号，特别是负号）。

（3）移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边（移项要变号）。

（4）合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的最简形式。

（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得到x=b/a的形式。

【设计意图：将典型错例作为辨析材料，能有效加深学生对易错点的记忆，比单纯强调正确做法效果更好。师生共同归纳步骤，有利于学生构建系统化的知识结构。】

（四）分层练习，巩固提升

【基础练习】（全体学生必做）

解方程：

(1)x/2-x/3=1/6

(2)(x+1)/4=(2x-1)/3

【重要练习】（大部分学生完成）

解方程：

(3)(2x+1)/3-(5x-1)/6=1

(4)3x+(x-1)/2=3-(2x-1)/3

【拓展练习】（学有余力的学生选做）

(5)解方程：0.2分之(x-2)-0.5分之(x+1)=3

(提示：可以先将小数分母化为整数分母，再求最小公倍数；或者利用分数的基本性质将分母化为整数，再按步骤求解。此题旨在打通“去分母”与“分数基本性质”的联系，体现方法多样性。）

教师巡视，对学困生进行个别指导，收集共性问题和典型错误。练习结束后，选取部分学生的解答过程进行展示和点评，重点检查步骤的完整性和计算的准确性。特别是练习(4)，要强调常数项3和分母的处理，确保不漏乘。

【设计意图：分层练习照顾到不同层次学生的需求，使每个学生都能在原有基础上得到发展。巡视指导能及时发现并纠正学生的错误，提高课堂效率。】

（五）课堂小结，构建网络

教师引导学生从知识、方法和思想三个方面进行小结：

1.知识上：我们今天学习了解一元一次方程的哪个新步骤？（去分母）它的依据是什么？（等式的性质2）

2.方法上：去分母的具体操作要点是什么？（找最小公倍数，不漏乘，分子多项式要添括号）解一元一次方程的完整步骤是什么？

3.思想上：通过去分母将复杂问题转化为简单问题，体现了什么数学思想？（化归思想）

【设计意图：通过师生共同总结，帮助学生梳理本节课的核心内容，构建知识体系，加深对数学思想的理解，提升学习的境界。】

（六）布置作业，课后延伸

1.基础作业：课本课后练习题A组，要求书写规范，步骤完整。

2.拓展作业：课本课后练习题B组，尝试用不同的方法解决含有小数分母的方程。

3.探究作业（思考题）：请查阅资料或小组讨论，思考去分母的方法在解决实际问题中有什么应用？尝试自己编写一道需要用去分母方法解决的实际问题。

【设计意图：作业布置体现了层次性和探究性，基础作业巩固双基，拓展作业提升能力，探究作业将学习延伸到课外，培养学生的应用意识和创新精神。】

八、板书设计

主板书设计力求简洁明了，突出重点和过程。

屏幕左侧（或中间）：

课题：5.2.4用去分母解一元一次方程

一、例题精解

例：解方程(x-2)/3-(1+2x)/5=1

解：去分母（两边同乘15），得

5(x-2)-3(1+2x)=15

去括号，得

5x-10-3-6x=15

移项，得

5x-6x=15+10+3

合并同类项，得

-x=28

系数化为1，得

x=-28

检验：（略）

屏幕右侧（或副板书）：

二、解一元一次方程的一般步骤【非常重要】

1.去分母（不漏乘，加括号）

2.去括号（注意符号）

3.移项（要变号）

4.合并同类项

5.系数化为1

三、注意事项【高频考点】【难点】

6.找对最小公倍数。

7.不漏乘不含分母的项。

8.分子是多项式时，去分母后要添