人教数学怎样把实际问题化成数学问题

第二十三讲怎样把实际问题化成数学问题(二)——数学建模初步20世纪以来，科学技术得到了飞速发展，数学在这个发展过程中起了非常重大的作用．今天，社会对数学的需求并不只是需要数学家，而是需要大量善于运用数学知识和数学的思维方法来解决实际问题的各种人材．把实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型．数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，即把一个实际问题中某些事物的主要特征、主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程．建立数学模型的过程就称为数学建模．数学建模的思维过程可用下面的框图表示：它主要是三个步骤：(1)实际问题—→数学模型；(2)数学模型—→数学的解；(3)数学的解—→实际问题的解决．数学模型呈现的形式是多种多样的，有的以函数显示，有的以方程显示，也有的以图形显示，当然还有其他各种形式的模型．本讲就初中数学知识能解决的一些问题，来举例说明如何建立模型并求解．例1某家庭今年一、二、三月份的煤气用量和支付费用如表23.1所示．该市煤气的收费方法是：煤气费=基本费+超额费+保险费．若每月用气量不超过最低额度a米3时，只付基本费3元和每户每月定额保险费c元；若用气量超过a米3，超过部分每立方米付b元，并且知道保险费c不超过5元．根据上面的表格，求a，b，c的值．解设每月的用气量为x米3，支付费用为y元，根据题意有由于c≤5，故3+c≤8．由于二、三月份的费用都大于8元，这说明二、三月份的用气量均大于a米3，故a＜25(米3)，并且②-①得5=10b，所以b=0.5．将b=0.5代入①得a=3+2c．从而x＞a时，y=3+0.5(x-3-2c)+c=1.5+0.5x如果一月份的用气量超过了a米3，那么4=1.5+0.5×4，即4=3.5，矛盾．所以，一月份的用气量不超过a米3，即a＞4．于是3+c=4，所以c=1，进而a=5．综上所述，a=5，b=0.5，c=1．例2一批大小略有不同的长方体盒子，它们的高都等于6厘米，长和宽都大于5厘米，且长宽比不小于2．若在任一盒子中放一层边长为5厘米(1)要使得最小的盒子不往外溢，最多能注入多少立方厘米水？(2)要使得最大的盒子开始往外溢，最少要注进去多少立方厘米的水？解设盒子的底面是矩形ABCD，AF=5x，AI=5y，X，y均为正整数，且X≥y，FD=p，IB=q，0≤p，q＜5，如图3－130所示．于是，我们有SAIGF=25xy，SIBHG＜25x，SGHCE＜25，SFGED＜25y．又根据题设，四边形AIGF的面积不超过ABCD面积的40％，于是25xy≤(SAIGF+SIBHG+SGHCE+SFGED)×40%即y-2x-2y＜2，所以3x-2)(3y-2)＜10．因为(5x+p)-(5y+q)=5(x-y)+(p-q)＞0，故x≥y．若y≥2，则x≥2，于是①左边不小于16，矛盾，所以y=1．从①式得2≤x≤4．若x=1，则长为5+p＜10，宽为5+q≥5，这与长宽之比不小于2，矛盾．若x=2，则长为10+p，宽为5+q，由10+p≥2(5+q)，矛盾．若x=3时，满足条件，所以x=3，所以SABCD=(15+p)(5+q)＜(15+5)(5+5)=200．又75=25xy≤0.4SABCD，因此，长方体盒子的容积不小于1125立方厘米，且小于1200立方厘米．因此，当注水达1200立方厘米时，水一定外溢，要保证水不外溢，最多只能注进1125立方厘米．例3有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p和q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：今有3万元资金投入经营甲乙两种商品，为获得最大利润，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？解设经营甲商品投入资金x万元，那么经营乙商品投入资金(3-x)万元，能获得的利润为y万元，于是金0.75万元，对乙商品投入资金2.25万元时，获得最大利润1.05万元．例4有10辆各种类型汽车到加油站加油，设加油站加满第i(i=1，2，…，10)辆车的油需要Ti分钟，这些Ti各不相同．如果每次只对一辆汽车加油时，应该如何安排加油车辆的顺序，使它们花费的总时间(各车加油时间，等待时间应计算)最少？这时间等于多少？解为了方便起见，不妨设各车加油所需的时间Ti为T1＜T2＜T3＜…＜T10．如果按大小顺序小车先加油的话，总的等待时间应为T=T1+(T1+T2)+(T1+T2+T3)+…+(T1+T2+…+T10)如果另安排一种顺序是i1，i2，…，i10(i1，i2，…，i10是1，2，…，10的一种排列)，在这种情况下，总的等待时间为由于i1；i2，…，i9中不一定包含花费时间最短的车辆，所以同理可得并且把这些式子相加，便得T′≥T．由此可见，如果依大小顺序排队，小车先加油，各车所花费的总时间最少，最小值为T=10T1+9T2+…+T10．例5(1)世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按小分排序．问：(1)一个队至少要积几分才能保证本队一定出线？(2)若有一个队只积3分，这个队有可能出线吗？解(1)一个队至少要积7分才能保证出线．事实上，4个队单循环比赛共有6场比赛，每场比赛后两队的得分和或者为2分(即打平)，或为3分(有胜负)，所以6场比赛后各队的得分和不超过18分．若一个队得7分，剩下的3个队得分和不超过11分，不可能再有两个队的得分大于等于7分，所以这个队必定出线．另外，如果一个队得6分，则并不一定能保证出线．因为有可能还有两个队的得分均为6分，而小分比该队高，该队就不能出线了．(2)如果一个队积3分，仍然是有可能出线的．当6场比赛都是平局时，每一个队都得3分，这时两个小分最高的队就可以出线．例6一个工厂得到任务，需要加工A零件6000个和B零件2000个．该厂共有工人214名，每个人加工A零件5个的时间可以加工B零件3个．现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始，应怎样分组才能使任务最快完成？解设加工A零件的工人数为x个，加工B零件的工人数为(214-x)个．在单位时间内，一个工人加工A零件的数目为5k，加工B零件的数目为3k，于是，加工A，B零件所需的时间分别为其中k是一个常数．最后完成任务的时间就是其中max｛TA，TB｝表示TA与TB中的较大者，而现在问题转化为：自然数x(1≤x≤213)取何值时，f(x)有最小值？所以f(137)＜f(138)所以f(x)的最小值在x=137时取到，即加工A，B零件的人数分别为137，77名时，可以最快地完成任务．练习二十三1．个体户小丁花12.3万元购买了一辆小车从事出租营运，根据经验估计该车第一年的折旧率为30％，银行定期一年的存款利率为7.47％，营运收入为营运额的70％．小丁第一年至少要完成多少营运额，他才能盈利(精确到元)？2．从县城O出发的一条直线公路两旁共有10个村需要安装自来水(水从县城出发)，县城与A村的距离为30千米(km)，其余各村之间的距离如图3－131所示．现有粗细两种水管可以选用，粗管足够供给所有各村用水，细管只能供一个村用水．安装费用：粗管每千米8000元，细管每千米20003．有一批货，如月初售出，可获利1000元，并可将本利和再去投资，到月末获利息1.5％；如月末售出这批货，可获利1200元，但要付50元保管费，请问这批货在月初还是月末售出好？4．某人从A地到B地乘坐出租汽车有两种方案：一种出租车收费标准是起步价10元(可行驶4千米)，以后每千米1.2元；另一种是起步价8元(可行驶4千米)，以后每千米5．两种不同药品A和B，已经在两个医院都做了临床试验．试验结果表明，在两个医院中，A药品均比B药品效果好，但令人奇怪的是当人们把结果合