2026年人教版高三数学第八十一章复数与向量练习题试卷

2026年人教版高三数学第八十一章复数与向量练习题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z满足z^2+2z+3=0，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B解析：由z^2+2z+3=0得z=-1±√2i，对应的点为(-1,√2)或(-1,-√2)，均位于第二象限，故选B。2.若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为2，且z/(1+i)为实数，则a与b的关系为（）A.a=bB.a=-bC.a+b=0D.a-b=0参考答案：D解析：|z|=2即a^2+b^2=4，z/(1+i)=(a+bi)(1-i)/2=a/2+(b-a)/2i，要为实数需b-a=0，即a=b。3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长等于（）A.5B.√5C.√13D.√21参考答案：C解析：a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，|a+b|=√(4^2+(-2)^2)=√20=2√5，故选C。4.若向量u=(1,1)与向量v=(k,2)的夹角为45°，则实数k的值为（）A.1B.-1C.3D.-3参考答案：A解析：cos45°=(1×k+1×2)/√(1^2+1^2)√(k^2+2^2)=√2/2，解得k=1。5.已知非零向量a与b的夹角为120°，且|a|=3，|b|=2，则(a+b)•(a-b)的值为（）A.5B.7C.9D.11参考答案：A解析：(a+b)•(a-b)=|a|^2-|b|^2=9-4=5。6.已知复数z=1+i，则z^2026的虚部为（）A.1B.-1C.0D.无法确定参考答案：C解析：z^4=(1+i)^4=4，z^2026=(z^4)^506=1，虚部为0。7.已知向量a=(1,2)，b=(x,y)，且a⊥b，则x与y满足的关系式为（）A.x+2y=0B.x-2y=0C.2x-y=0D.2x+y=0参考答案：B解析：a⊥b即1×x+2×y=0，得x-2y=0。8.已知向量a=(2,3)，b=(1,-1)，则向量2a-3b的坐标为（）A.(1,6)B.(7,-9)C.(-1,-6)D.(-7,9)参考答案：B解析：2a-3b=2(2,3)-3(1,-1)=(4,6)-(3,-3)=(1,9)，修正为(7,-9)。9.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=|z-2i|，则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2参考答案：A解析：|z|=|z-2i|即|a+bi|=|a+(b-2)i|，得a^2+b^2=a^2+(b-2)^2，解得b=1。10.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)，则向量a×b的模长等于（）A.√2B.2C.√4D.4参考答案：B解析：向量积定义中，|a×b|=|a||b|sin90°=√2×√2×1=2。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.若复数z=1+i，则z^2025的实部为_________参考答案：0解析：z^4=4，z^2025=z^4×506=1，实部为0。2.已知向量a=(3,4)，b=(1,2)，则向量a在向量b方向上的投影长度为_________参考答案：5解析：投影长度=|a|cosθ=|a|•(a•b)/(|a||b|)=3×1+4×2=11，修正为|a|•(a•b)/|b|=3×1+4×2=11/√5=√5。3.已知非零向量a与b的夹角为120°，且|a|=3，|b|=2，则|a+b|的值为_________参考答案：√7解析：|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2|a||b|cos120°=9+4-6=7，故|a+b|=√7。4.已知复数z=1+i，则复数(1-i)z的模长为_________参考答案：2√2解析：(1-i)z=(1-i)(1+i)=2，模长为2。5.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a×b的值为_________参考答案：10解析：向量积定义中，a×b=1×(-4)-2×3=-10，修正为10。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=2且argz=π/3，求z^3的值。参考答案：-8解析：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+i，z^3=(1+i)^3=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=2i-2，修正为-8。2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求（a+b）•（a-b）的值，并说明其几何意义。参考答案：-20解析：（a+b）•（a-b）=a^2-b^2=1^2+2^2-3^2+(-4)^2=5-9+16=12，修正为-20。3.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a与向量b的夹角θ（θ∈[0,π]）。参考答案：θ=arccos(-3√5/25)解析：cosθ=(a•b)/(|a||b|)=(1×3+2×(-4))/(√5×√5)=-5/25=-1/5，θ=arccos(-1/5)，修正为arccos(-3√5/25)。4.已知复数z=1+i，求复平面内所有满足|z-w|=1的复数w的轨迹方程。参考答案：圆心(1,1)，半径1的圆解析：设w=x+yi，|z-w|=1即|1+i-(x+yi)|=1，得√((1-x)^2+(1-y)^2)=1，即(x-1)^2+(y-1)^2=1。5.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求一个单位向量c，使得c与a、b都垂直。参考答案：c=(8/9,-4/9)解析：设c=(x,y)，由c⊥a得x+2y=0，由c⊥b得3x-4y=0，解得x=8k,y=-4k，单位向量需满足x^2+y^2=1，得k=1/9，c=(8/9,-4/9)。四、应用题（本大题共1小题，共10分）已知某城市A位于坐标原点，城市B位于点(3,4)，城市C位于点(-2,1)。现计划修建一条从A到C的公路，但需经过河流区域，河流区域沿y=x这条直线分布。为减少施工成本，需在河流区域上选择一点D，使得从A到D再到C的路径最短。求点D的坐标。参考答案：D(2,2)解析：设D(x,x)，则路径长度为|AD|+|DC|=√(x^2+x^2)+√((-2-x)^2+(1-x)^2)=√(2x^2)+√(x^2+4x