2026年苏教版高三数学第七十二章函数极限与连续练习题试卷

2026年苏教版高三数学第七十二章函数极限与连续练习题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)/(x-1)，当x→1时，f(x)的极限存在且为2，则下列条件中充分的是（）A.a=2，b=3，c=1B.a=1，b=2，c=3C.a=0，b=4，c=2D.a=-1，b=5，c=3答案D解析当x→1时，若f(x)的极限存在且为2，则需满足分子在x=1时的极限为2(x-1)，即ax^2+bx+c=k(x-1)的形式。代入x=1可得c=k，且代入x→1时f(x)→2，可得a+b+c=2k。选项D中a=-1，b=5，c=3时，代入得-1+5+3=9，而k=3，满足条件。其他选项代入后均不满足a+b+c=2k的条件。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞，+∞)上的最小值是（）A.1B.2C.3D.4答案C解析函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和。当x在-2和1之间时，即-2≤x≤1，函数取得最小值，此时f(x)=1-(-2)=3。其他区间均大于3，故最小值为3。3.若函数f(x)=(e^x-1)/x在x=0处连续，则f(0)的值等于（）A.0B.1C.eD.不存在答案B解析函数f(x)在x=0处连续，需满足lim(x→0)(e^x-1)/x=f(0)。利用洛必达法则可得lim(x→0)(e^x)/1=1，故f(0)=1。4.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0，π/2]上的最大值是（）A.1B.√2C.√3D.2答案B解析令g(x)=sin(x)+cos(x)，则g'(x)=cos(x)-sin(x)。令g'(x)=0可得cos(x)=sin(x)，即x=π/4。计算g(0)=1，g(π/4)=√2，g(π/2)=1，故最大值为√2。5.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2，2]上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3答案C解析令f(x)=0可得x^3-3x=0，即x(x^2-3)=0，解得x=0，x=√3，x=-√3。其中只有x=0和x=√3在区间[-2，2]内，故零点个数为2。6.若函数f(x)=1/(x-1)在x=2处有定义，则f(2)的值等于（）A.1B.1/3C.-1D.不存在答案B解析函数f(x)在x=2处有定义，需满足lim(x→2)1/(x-1)存在且有限。但1/(x-1)在x=2时趋于无穷，故需补充定义f(2)=1/3使函数在x=2处连续。7.函数f(x)=|x|在x=0处是否连续？（）A.连续B.不连续C.无法判断D.条件连续答案A解析函数f(x)=|x|在x=0处，有lim(x→0)|x|=0=f(0)，故连续。8.若函数f(x)=1/(x^2-1)在x=1处有定义，则f(1)的值等于（）A.1B.-1C.0D.不存在答案D解析函数f(x)在x=1时，分母x^2-1=0，函数值趋于无穷，故不存在定义。9.函数f(x)=tan(x)在x=π/2处是否连续？（）A.连续B.不连续C.无法判断D.条件连续答案B解析函数f(x)=tan(x)在x=π/2处，lim(x→π/2^-)tan(x)=+∞，lim(x→π/2^+)tan(x)=-∞，极限不存在，故不连续。10.函数f(x)=e^x在x=0处是否连续？（）A.连续B.不连续C.无法判断D.条件连续答案A解析函数f(x)=e^x在x=0处，有lim(x→0)e^x=1=f(0)，故连续。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.若函数f(x)=(ax^2+bx+c)/(x-1)在x=2处的极限为3，则a+b+c的值等于________。答案8解析lim(x→2)(ax^2+bx+c)/(x-1)=3，代入x=2可得4a+2b+c=3(x-1)=3，即4a+2b+c=3，故a+b+c=8。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1处的函数值等于________。答案3解析f(-1)=|-1-1|+|-1+2|=2+1=3。3.若函数f(x)=sin(x)+cos(x)在x=π/4处的导数等于________。答案0解析f'(x)=cos(x)-sin(x)，f'π/4=cos(π/4)-sin(π/4)=0。4.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数等于________。答案0解析f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3(1)^2-3=0。5.函数f(x)=e^x在x=0处的导数等于________。答案1解析f'(x)=e^x，f'(0)=e^0=1。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，求lim(x→1)f(x)。解lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2解析当x→1时，分子x^2-1=(x-1)(x+1)，故原式=lim(x→1)(x+1)=2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求函数在区间[-3，3]上的最大值和最小值。解最大值为4，最小值为2解析函数在x=-2处取得最小值2，在x=1处取得最大值4。3.已知函数f(x)=x^3-3x+2，求函数的零点。解x=-2，x=1解析令f(x)=0可得x^3-3x+2=0，即(x+2)(x^2-x+1)=0，解得x=-2，x^2-x+1=0无实根，故零点为x=-2。4.函数f(x)=e^x在x=0处连续吗？证明你的结论。解连续解析因为lim(x→0)e^x=e^0=1=f(0)，所以函数在x=0处连续。5.已知函数f(x)=1/(x-1)，求函数的渐近线。解水平渐近线y=0，垂直渐近线x=1解析当x→±∞时，f(x)→0，故水平渐近线y=0；当x→1时，f(x)→±∞，故垂直渐近线x=1。四、应用题（本大题共2小题，共30分）1.某工厂生产某种产品，总成本C(x)=x^2+10x+100（单位：万元），其中x为产量（单位：件）。求当产量x=10时的边际成本。解边际成本为30万元解析边际成本为C'(x)=2x+10，当x=10时，C'(10)=2(10)+10=30。2.某商品的需求函数为p=50-2q（单位：元），其中p为价格，q为需求量。求当需求量q=10时的收入函数和边际收入。解收入函数R(q)=50q-2q^2，边际收入为30元解析收入函数R(q)=pq=(50-2q)q=50q-2q^2，当q=10时，R(10)=50(10)-2(10)^2=300。边际收入为R'(q)=50-4q