2026年黑龙江省高二数学第五章导数计算题库试卷

2026年黑龙江省高二数学第五章导数计算题库试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)在x=2时等于0，则实数a和b的值分别为（）A.a=6，b=3B.a=3，b=6C.a=-3，b=-6D.a=-6，b=-3参考答案：A解析：由f(x)在x=1处取得极值，得f'(1)=3x^2-2ax+b=0，代入x=1得3-2a+b=0①。又f'(2)=12-4a+b=0②。联立①②解得a=3，b=3。故选A。2.函数g(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的导函数g'(x)在区间(-∞，2)上的符号为（）A.始终为正B.始终为负C.先正后负D.先负后正参考答案：B解析：g'(x)=4x^3-12x^2+12x-4=4(x-1)^3。当x∈(-∞，2)时，若x<1，g'(x)>0；若x=1，g'(x)=0；若1<x<2，g'(x)<0。故g'(x)在(-∞，2)上先正后负，但题目要求区间(-∞，2)上的符号，应选B。3.已知函数h(x)=e^x-ax^2在x=0处取得极值，则实数a的取值范围是（）A.(-∞，1]B.[1，+∞)C.(-∞，0)∪(0，+∞)D.(-1，1)参考答案：B解析：h'(x)=e^x-2ax。由h'(0)=1>0，得a>0。令h'(x)=0得e^x=2ax，即a=1/e^x。当x>0时，a=1/e^x∈(0，1)；当x<0时，a=1/e^x∈(1，+∞)。故a>1，选B。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1，4]上的最大值和最小值分别为（）A.2，-2B.4，-2C.4，-1D.2，-1参考答案：B解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18。故最大值为18，最小值为-2，选B。5.已知函数g(x)=x^3-3x^2+2x+1，则曲线y=g(x)在点(1，4)处的切线方程为（）A.y=4x-1B.y=4x+3C.y=2x+2D.y=2x-2参考答案：C解析：g'(x)=3x^2-6x+2。g'(1)=2，g(1)=4。故切线方程为y-4=2(x-1)，即y=2x+2，选C。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(0，3)上单调递增的区间为（）A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(0，1)∪(2，3)参考答案：D解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)>0得x∈(1-√2/3，1+√2/3)。在(0，3)上，增区间为(0，1+√2/3)∪(2，3)，选D。7.已知函数h(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=2处都取得极值，则a和b的值分别为（）A.a=6，b=9B.a=9，b=6C.a=3，b=3D.a=-3，b=-6参考答案：A解析：h'(x)=3x^2-2ax+b。由h'(1)=0得3-2a+b=0①，由h'(2)=0得12-4a+b=0②。联立①②解得a=6，b=9，选A。8.函数f(x)=x^4-4x^3+3x^2在区间[-2，3]上的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：C解析：f'(x)=4x^3-12x^2+6x=2x(2x-3)(x-1)。令f'(x)=0得x=0，x=3/2，x=1。f(-2)=48，f(0)=0，f(1)=0，f(3/2)=27/16，f(3)=0。极值点为x=0，x=3/2，选C。9.已知函数g(x)=x^3-3x^2+2x+1，则曲线y=g(x)在点(2，3)处的法线方程为（）A.y=-1/2x+4B.y=2x-1C.y=1/2x+1D.y=-2x+5参考答案：A解析：g'(x)=3x^2-6x+2。g'(2)=2，g(2)=3。法线斜率为-1/2。法线方程为y-3=-1/2(x-2)，即y=-1/2x+4，选A。10.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1，3]上的最大值和最小值分别为（）A.2，-2B.3，-2C.3，-1D.2，-1参考答案：B解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1±√2/3。f(-1)=-1，f(1-√2/3)≈2.07，f(1+√2/3)≈0.93，f(3)=0。故最大值为3，最小值为-2，选B。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的极值为_________。参考答案：0解析：f'(x)=3x^2-6x+2。f'(1)=0。f''(x)=6x-6。f''(1)=0。由二阶导数无法判断，用三阶导数f'''(x)=6>0，故x=1处为极小值点，极值为f(1)=0。2.函数g(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的切线斜率为_________。参考答案：0解析：g'(x)=4x^3-12x^2+12x-4。g'(1)=4-12+12-4=0。故切线斜率为0。3.函数h(x)=x^3-ax^2+bx在x=2处取得极大值，且h(1)=0，则a和b的值分别为_________和_________。参考答案：5，6解析：h'(x)=3x^2-2ax+b。由h'(2)=0得12-4a+b=0①。由h(1)=0得1-a+b=0②。由极大值条件得h''(2)=6-2a<0，即a>3。联立①②解得a=5，b=6。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(0，2)上单调递减的区间为_________。参考答案：(1，2)解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)<0得x∈(1-√2/3，1+√2/3)。在(0，2)上，减区间为(1，1+√2/3)，约(1，1.58)，与(1，2)相交部分为(1，2)。5.函数g(x)=x^3-3x^2+2x+1的导函数g'(x)在x=1处的值为_________。参考答案：-1解析：g'(x)=3x^2-6x+2。g'(1)=3-6+2=-1。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)在x=2时等于0，求实数a和b的值。解：f'(x)=3x^2-2ax+b。由f'(1)=0得3-2a+b=0①。由f'(2)=0得12-4a+b=0②。联立①②解得a=3，b=3。经检验，a=3，b=3时，f'(x)=3(x-1)^2≥0，f(x)在x=1处取得极小值，符合题意。故a=3，b=3。2.求函数g(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2，4]上的最大值和最小值。解：g'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令g'(x)=0得x=1±√2/3。g(-2)=-10，g(1-√2/3)≈2.07，g(1+√2/3)≈0.93，g(4)=34。故最大值为34，最小值为-10。3.已知函数h(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=2处都取得极值，求实数a和b的值。解：h'(x)=3x^2-2ax+b。由h'(1)=0得3-2a+b=0①。由h'(2)=0得12-4a+b=0②。联立①②解得a=6，b=9。经检验，a=6，b=9时，h'(x)=3(x-1)(x-3)，在x=1处取得极大值，在x=2处取得极小值，符合题意。故a=6，b=9。4.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1，3]上的极值点，并判断其极值类型。解：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1±√2/3。f''(x)=6x-6。f''(1-√2/3)>0，故x=1-√2/3处取得极小值。f''(1+√2/3)<0，故x=1+√2/3处取得极大值。5.已知函数g(x)=x^3-3x^2+2x+1，求曲线y=g(x)在点(2，3)处的切线方程和法线方程。解：g'(x)=3x^2-6x+2。g'(2)=2，g(2)=3。切线方程为y-3=2(x-2)，即y=2x-1。法线斜率为-1/2。法线方程为y-3=-1/2(x-2)，即y=-1/2x+4。四、应用题（本大题共2小题，共30分）1.某工厂生产某种产品，其成本函数为C(x)=x^3-6x^2+15x+10（x为产量），求该产品的边际成本函数，并求产量为3时的边际成本。解：边际成本函数为C'(x)=3x^2-12x+15。当x=3时，C'(3)=3(3)^2-12(3)+15=6。故产量为3时的边际成本为6。2.某商品的需求函数为p=100-0.01x（p为价格，x为需求量），求该商品的总收益函数R(x)，并求需求量为1000时的边际收益。解：总收益函数R(x)=px=100x-0.01x^2。边际收益函数为R'(x)=100-0.02x。