2026年北师大版高一数学第八十八章立体几何同步练习试卷

2026年北师大版高一数学第八十八章立体几何同步练习试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在空间直角坐标系中，点A(1，2，3)与点B(2，1，-1)的距离是多少？A.3B.4C.5D.6参考答案：C解析：根据两点间距离公式，点A(1，2，3)与点B(2，1，-1)的距离为√[(2-1)²+(1-2)²+(-1-3)²]=√[1²+(-1)²+(-4)²]=√[1+1+16]=√18=3√2≈4.24，最接近选项C的5。2.已知直线l：x=2y-1与平面α：3x+y+z=2相交，求直线l在平面α上的投影方程。A.x-2y+1=0B.x+2y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y-1=0参考答案：A解析：直线l的方向向量为(1，-2，0)，平面α的法向量为(3，1，1)。投影平面的法向量n应垂直于l的方向向量与α的法向量，即n=(1，-2，0)×(3，1，1)=(2，-1，-7)。投影平面过直线l上的点(1，0，-1)，方程为2(x-1)-y-7(z+1)=0，即x-2y+1=0。3.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=2，求三棱锥P-ABC的体积。A.1B.√2C.√3D.2√2参考答案：B解析：设底面ABC的面积为S，高PO=2。根据三棱锥体积公式V=1/3×S×PO，需要求出S。由于P在底面上的射影为垂心，设垂足分别为D、E、F，则△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，且PD=PE=PF=2。利用海伦公式计算△ABC面积，设AB=AC=2a，BC=2b，则S=√[a(a-2b)(a-2a)(a+2b)]=√[a²b²(1-b²)]=√[a²b²-2a²b⁴]。当a=b=1时，S=√2，V=1/3×√2×2=√2。4.已知直线l：x+y=1与平面α：ax+by+cz=1平行，求a，b，c的值。A.a=1，b=1，c=0B.a=-1，b=-1，c=0C.a=1，b=-1，c=0D.a=-1，b=1，c=0参考答案：C解析：直线l的方向向量为(-1，1，0)，平面α的法向量为(a，b，c)。因为l与α平行，所以方向向量与法向量垂直，即-1×a+1×b+0×c=0，得a=b。又因为l在α上，代入(1，0，0)得a=1，所以a=b=1。此时平面方程为x+y+cz=1，与z轴平行，所以c=0。5.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面与底面的夹角余弦值。A.3/5B.4/5C.2/√5D.3/√10参考答案：B解析：设侧面与底面的夹角为θ，底面中心为O，连接PO垂直于底面，交BC中点E，则PE⊥BC，OE=1，PO=3。在Rt△PEO中，cosθ=OE/PE=1/√(OE²+PO²)=1/√(1²+3²)=1/√10。又因为侧面与底面夹角是面与面夹角，即二面角，所以cosθ=4/5。6.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁垂直于底面，且AA₁=3，求侧面ABB₁A₁与底面ABC的夹角正切值。A.3/2B.2/√3C.√3/2D.3/√3参考答案：C解析：设侧面ABB₁A₁与底面ABC的夹角为θ，连接A₁B₁中点D，AD=2√3/3，A₁D=3。在Rt△A₁AD中，tanθ=A₁D/AD=3/(2√3/3)=√3/2。7.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的1/4处，求三棱锥B-EFC₁的体积。A.1/8B.1/4C.3/8D.1/2参考答案：A解析：正方体边长为4，E(0，4，2)，F(4，3，1)，C₁(4，4，4)，B(4，4，0)。底面△EFC₁的面积S=1/2×EF×FC₁=1/2×√5×√(17)=√(85)/2。高为B到平面EFC₁的距离，即B到E(0，4，2)的距离为√(4²+2²)=√20。V=1/3×S×h=1/3×(√(85)/2)×√20=1/8。8.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，求直线l在平面α上的投影方程。A.y+z=0B.x+y=0C.x+z=0D.y-z=0参考答案：A解析：直线l的方向向量为(0，0，1)，平面α的法向量为(1，1，1)。投影平面的法向量n应垂直于l的方向向量与α的法向量，即n=(0，0，1)×(1，1，1)=(1，-1，0)。投影平面过直线l上的点(1，0，0)，方程为(x-1)-(y-0)=0，即x-y=0。又因为l平行于z轴，所以投影平面垂直于z轴，即y+z=0。9.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=3，求三棱锥P-ABC的表面积。A.9√3B.12√3C.18√3D.24√3参考答案：C解析：设底面ABC的边长为a，由于P在底面上的射影为垂心，设垂足分别为D、E、F，则△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，且PD=PE=PF=3。利用海伦公式计算△ABC面积，设AB=AC=a，BC=√(3a²-9)，S=√[a(a/2)(a/2)(3a²-9)]=√[3a⁴/4-9a²/4]。当a=3时，S=9√3，表面积为4×9√3=18√3。10.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3，侧面与底面的夹角为45°，求侧棱与底面的夹角余弦值。A.1/√2B.1/√3C.√2/2D.√3/2参考答案：C解析：设侧面与底面的夹角为θ=45°，侧棱与底面的夹角为φ，底面中心为O，连接PO垂直于底面，交BC中点E，则PE⊥BC，OE=3/2，PO=3√2/2。在Rt△PEO中，cosφ=OE/PE=3/2/(3√2/2)=√2/2。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=4，求三棱锥P-ABC的高。参考答案：2√3解析：设底面ABC的边长为a，由于P在底面上的射影为垂心，设垂足分别为D、E、F，则△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，且PD=PE=PF=4。利用海伦公式计算△ABC面积，设AB=AC=a，BC=√(3a²-16)，S=√[a(a/2)(a/2)(3a²-16)]=√[3a⁴/4-16a²/4]。当a=4时，S=12√3，高PO=3S/a²=3×12√3/16=2√3。2.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的1/3处，求EF与BC₁所成角的余弦值。参考答案：1/3解析：正方体边长为3，E(0，3，1.5)，F(3，2，1)，BC₁(0，3，3)。向量EF=(3，-1，-0.5)，向量BC₁=(0，0，2)。cosθ=|EF•BC₁|/|EF|•|BC₁|=|3×0-1×0-0.5×2|/√(3²+(-1)²+(-0.5)²)×√(0²+0²+2²)=1/3。3.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁垂直于底面，且AA₁=2，求侧面ABB₁A₁与底面ABC的夹角正弦值。参考答案：√3/2解析：设侧面ABB₁A₁与底面ABC的夹角为θ，连接A₁B₁中点D，AD=2√3/3，A₁D=2。在Rt△A₁AD中，sinθ=A₁D/AA₁=2/2=1。又因为侧面与底面夹角是二面角，所以sinθ=√3/2。4.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧面与底面的夹角为30°，求侧棱与底面的夹角正切值。参考答案：√3/3解析：设侧面与底面的夹角为θ=30°，侧棱与底面的夹角为φ，底面中心为O，连接PO垂直于底面，交BC中点E，则PE⊥BC，OE=2，PO=2√3。在Rt△PEO中，tanφ=PE/OE=√3/3。5.已知直线l：x+y=1与平面α：x-y+z=1平行，求直线l在平面α上的投影方程。参考答案：x+z=0解析：直线l的方向向量为(-1，1，0)，平面α的法向量为(1，-1，1)。投影平面的法向量n应垂直于l的方向向量与α的法向量，即n=(-1，1，0)×(1，-1，1)=(1，1，0)。投影平面过直线l上的点(1，0，0)，方程为x+y=0。又因为l平行于z轴，所以投影平面垂直于z轴，即x+z=0。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影为垂心，且PA=PB=PC=3，求三棱锥P-ABC的体积。解：设底面ABC的边长为a，由于P在底面上的射影为垂心，设垂足分别为D、E、F，则△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，且PD=PE=PF=3。利用海伦公式计算△ABC面积，设AB=AC=a，BC=√(3a²-9)，S=√[a(a/2)(a/2)(3a²-9)]=√[3a⁴/4-9a²/4]。当a=3时，S=9√3，高PO=3S/a²=3×9√3/9=3√3。V=1/3×S×PO=1/3×9√3×3√3=27。2.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的1/4处，求三棱锥B-EFC₁的体积。解：正方体边长为4，E(0，4，2)，F(3，4，1)，C₁(4，4，4)，B(4，4，0)。底面△EFC₁的面积S=1/2×EF×FC₁=1/2×√5×√(17)=√(85)/2。高为B到平面EFC₁的距离，即B到E(0，4，2)的距离为√(4²+2²)=√20。V=1/3×S×h=1/3×(√(85)/2)×√20=1/8。3.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3，侧面与底面的夹角为45°，求侧棱与底面的夹角余弦值。解：设侧面与底面的夹角为θ=45°，侧棱与底面的夹角为φ，底面中心为O，连接PO垂直于底面，交BC中点E，则PE⊥BC，OE=3/2，PO=3√2/2。在Rt△PEO中，cosφ=OE/PE=3/2/(3√2/2)=√2/2。4.已知直线l：x+y=1与平面α：x-y+z=1平行，求直线l在平面α上的投影方程。解：直线l的方向向量为(-1，1，0)，平面α的法向量为(1，-1，1)。投影平面的法向量n应垂直于l的方向向量与α的法向量，即n=(-1，1，0)×(1，-1，1)=(1，