2026年苏教版高一数学第三十七章数列与不等式同步练习试卷

2026年苏教版高一数学第三十七章数列与不等式同步练习试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），则该数列的通项公式a_n等于（）A.1/(n-1)B.1/nC.n/(n+1)D.1/(n+1)答案B解析当n=1时，a_1=1符合条件。当n≥2时，由a_n=S_n/(S_n-1)可得S_n=a_n(S_n-1)，整理得S_n=a_nS_n-a_n，即S_n(1-a_n)=a_n，所以S_n=a_n/(1-a_n)。又因为S_n-S_{n-1}=a_n，代入S_n=a_n/(1-a_n)和S_{n-1}=a_{n-1}/(1-a_{n-1})可得a_n/(1-a_n)-a_{n-1}/(1-a_{n-1})=a_n，整理得a_n/(1-a_n)=a_{n-1}/(1-a_{n-1})+a_n，即1/(1-a_n)=1/(1-a_{n-1})+1，变形得1/(1-a_n)=2/(1-a_{n-1})，所以1-a_n=2(1-a_{n-1})，即a_n=2a_{n-1}-1。又因为a_2=S_2-a_1=a_2/(1-a_2)-1，解得a_2=1/2，所以数列{a_n-1/2}是首项为-1/2，公比为2的等比数列，即a_n-1/2=(-1/2)×2^{n-2}，所以a_n=1/n。故选B。2.若数列{a_n}是等差数列，且a_3+a_9=10，a_5+a_7=6，则该数列的前10项和S_10等于（）A.30B.40C.50D.60答案C解析设等差数列{a_n}的公差为d，由a_3+a_9=10可得2a_1+10d=10，即a_1+5d=5。由a_5+a_7=6可得2a_1+12d=6，即a_1+6d=3。联立两式解得a_1=15，d=-2。所以S_10=10×15+(10×9/2)×(-2)=150-90=60。故选D。3.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和T_n等于（）A.n^2+nB.n^2+2nC.n^2+3nD.n^2+4n答案A解析由b_n+1=2b_n+1可得b_n+1-1=2(b_n-1)，即b_n-1是首项为1，公比为2的等比数列，所以b_n-1=2^{n-1}，即b_n=2^{n-1}+1。所以T_n=1+2+4+...+2^{n-1}+n=2^n+n-1+n=n^2+n。故选A。4.不等式3x^2-5x+2>0的解集是（）A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.[1,2]答案A解析由3x^2-5x+2>0可得(x-1)(3x-2)>0，解得x<1或x>2/3，即解集为(-∞,1)∪(2/3,+∞)。故选A。5.若a>b>0，则下列不等式一定成立的是（）A.a^2>b^2B.a^3>b^3C.1/a<1/bD.a+1>b+1答案C解析因为a>b>0，所以a^2>b^2，a^3>b^3，a+1>b+1都成立。又因为y=1/x在(0,+∞)上单调递减，所以1/a<1/b成立。故选C。6.已知数列{c_n}的前n项和为U_n，且满足U_n=2c_n-3n+5，则该数列的通项公式c_n等于（）A.2n+1B.2n-1C.3n+2D.4n-3答案B解析当n=1时，c_1=U_1=2c_1-3+5，解得c_1=4。当n≥2时，由U_n=2c_n-3n+5和U_{n-1}=2c_{n-1}-3(n-1)+5可得c_n=2c_{n-1}+3，即c_n+1=2(c_{n-1}+1)，所以数列{c_n+1}是首项为5，公比为2的等比数列，即c_n+1=5×2^{n-1}，所以c_n=5×2^{n-1}-1=2n-1。故选B。7.若a>b>0，c>d>0，则下列不等式一定成立的是（）A.ac>bdB.a/c>b/dC.a+c>b+dD.a-d>b-c答案A解析因为a>b>0，c>d>0，所以ac>bd。故选A。8.已知数列{d_n}是等比数列，且d_2=4，d_4=16，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.64C.127D.128答案C解析设等比数列{d_n}的公比为q，由d_2=4和d_4=16可得q^2=4，所以q=2。所以d_1=4/2=2。所以S_6=2(1-2^6)/(1-2)=127。故选C。9.不等式|2x-1|<3的解集是（）A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-2,4)答案D解析由|2x-1|<3可得-3<2x-1<3，即-2<2x<4，所以-1<x<2。故选D。10.若a>b>0，则下列不等式一定成立的是（）A.a^2>b^2B.a^3>b^3C.1/a<1/bD.a+1>b+1答案C解析因为a>b>0，所以a^2>b^2，a^3>b^3，a+1>b+1都成立。又因为y=1/x在(0,+∞)上单调递减，所以1/a<1/b成立。故选C。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）1.已知数列{e_n}是等差数列，且e_1=2，e_3=8，则该数列的通项公式e_n等于_________。答案e_n=2n+2解析设等差数列{e_n}的公差为d，由e_1=2和e_3=8可得2+2d=8，解得d=3。所以e_n=2+3(n-1)=2n+2。2.不等式x^2-3x+2>0的解集是_________。答案(-∞,1)∪(2,+∞)解析由x^2-3x+2>0可得(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2，即解集为(-∞,1)∪(2,+∞)。3.若a>b>0，c>d>0，则ac>bd的几何意义是_________。答案面积关系解析因为a>b>0，c>d>0，所以ac和bd分别表示两个矩形的面积，其中ac的底边长为a，高为c，bd的底边长为b，高为d。因为a>b>0，c>d>0，所以ac>bd表示第一个矩形的面积大于第二个矩形的面积。4.已知数列{f_n}的前n项和为V_n，且满足V_n=3f_n-2n+4，则该数列的通项公式f_n等于_________。答案f_n=3n-2解析当n=1时，f_1=V_1=3f_1-2+4，解得f_1=3。当n≥2时，由V_n=3f_n-2n+4和V_{n-1}=3f_{n-1}-2(n-1)+4可得f_n=3f_{n-1}+2，即f_n-1=3(f_{n-1}-1)，所以数列{f_n-1}是首项为2，公比为3的等比数列，即f_n-1=2×3^{n-1}，所以f_n=2×3^{n-1}+1=3n-2。5.不等式|3x+2|≥5的解集是_________。答案(-∞,-3]∪[-7/3,+∞)解析由|3x+2|≥5可得3x+2≤-5或3x+2≥5，即x≤-7/3或x≥-3，即解集为(-∞,-3]∪[-7/3,+∞)。三、解答题（本大题共5小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知数列{g_n}是等比数列，且g_1=1，g_3=8，求该数列的前7项和T_7。解设等比数列{g_n}的公比为q，由g_1=1和g_3=8可得q^2=8，所以q=2。所以T_7=1(1-2^7)/(1-2)=127。2.解不等式组：(1)2x-1>0(2)x-3<0求不等式组的解集。解由2x-1>0可得x>1/2。由x-3<0可得x<3。所以不等式组的解集是(1/2,3)。3.已知数列{h_n}的前n项和为W_n，且满足W_n=4h_n-3n+2，求该数列的通项公式h_n。解当n=1时，h_1=W_1=4h_1-3+2，解得h_1=5/3。当n≥2时，由W_n=4h_n-3n+2和W_{n-1}=4h_{n-1}-3(n-1)+2可得h_n=4h_{n-1}+3，即h_n+3=4(h_{n-1}+3)，所以数列{h_n+3}是首项为14/3，公比为4的等比数列，即h_n+3=(14/3)×4^{n-1}，所以h_n=(14/3)×4^{n-1}-3=(14×4^{n-1}-9)/3。4.已知a>b>0，c>d>0，且ac=bd，求证a=c