2026年湘教版高二数学第二十章数列与不等式综合测试试卷

2026年湘教版高二数学第二十章数列与不等式综合测试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=1/(n-1)B.a_n=1/nC.a_n=n/(n+1)D.a_n=n参考答案：B解析：由a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），可得S_n=a_n(S_n-1)，即S_n-a_nS_n=a_n，整理得S_n=a_n/(1-a_n)。当n=2时，S_2=a_2/(1-a_2)，又S_2=a_1+a_2=1+a_2，代入可得a_2/(1-a_2)=1+a_2，解得a_2=1/2。同理，当n=3时，S_3=a_3/(1-a_3)，又S_3=a_2+a_3=1/2+a_3，代入可得a_3/(1-a_3)=1/2+a_3，解得a_3=1/3。观察可得a_n=1/n，验证n=1时也成立，故选B。2.若数列{a_n}是等差数列，且a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，则该数列的前10项和为（）A.60B.90C.120D.150参考答案：C解析：设等差数列{a_n}的公差为d，由a_1+a_3+a_5=15，可得3a_1+6d=15，即a_1+2d=5。由a_2+a_4+a_6=21，可得3a_1+9d=21，即a_1+3d=7。联立两式解得a_1=1，d=2。故前10项和S_10=10×1+45×2=120，故选C。3.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则数列{b_n+1}的前n项和为（）A.n^2+nB.n^2+2nC.n^2+3nD.2n^2+n参考答案：A解析：由b_n+1=2b_n+1，可得b_n+1+1=2(b_n+1)，即b_n+1+1是首项为3，公比为2的等比数列。故b_n+1=3×2^(n-1)-1。故b_n+1的前n项和T_n=3(2^n-1)-n=3×2^n-3-n。又b_n+1的前n项和=2^(n+1)-n-2，故选A。4.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2c_n-3n+5，则数列{c_n}是（）A.等差数列但不是等比数列B.等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列参考答案：A解析：由S_n=2c_n-3n+5，可得当n=1时，S_1=2c_1-3+5，即c_1=2。当n≥2时，c_n=S_n-S_(n-1)=2c_n-3n+5-(2c_(n-1)-3(n-1)+5)，整理得c_n=2c_(n-1)+3。故c_n+3=2(c_(n-1)+3)，即数列{c_n+3}是首项为5，公比为2的等比数列。故c_n=2^n+2。又c_n=2^n+2，故c_(n+1)=2^(n+1)+2，c_(n+1)-c_n=2^n，故数列{c_n}是等差数列但不是等比数列，故选A。5.若数列{a_n}是等比数列，且a_1+a_2+a_3=7，a_1a_2a_3=8，则该数列的前n项和为（）A.2^(n+1)-1B.3^(n-1)C.2^n+1D.3^n-1参考答案：A解析：设等比数列{a_n}的公比为q，由a_1+a_2+a_3=7，可得a_1(1+q+q^2)=7。由a_1a_2a_3=8，可得a_1^3q^3=8，即a_1q=2。故a_1(1+q+q^2)=7，a_1q=2，联立解得q=2，a_1=1/2。故前n项和S_n=(1/2)(1-2^n)/(1-2)=2^(n+1)-1，故选A。6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3^n-1，则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=23^(n-1)B.a_n=3^nC.a_n=3^(n-1)D.a_n=23^(n-2)参考答案：A解析：当n=1时，S_1=a_1=3-1=2。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=3^n-3^(n-1)=23^(n-1)。故数列{a_n}的通项公式为a_n=23^(n-1)，故选A。7.已知数列{b_n}是等差数列，且b_1=2，b_3=8，则数列{b_n}的前10项的立方和为（）A.1000B.1024C.1056D.1080参考答案：C解析：设等差数列{b_n}的公差为d，由b_3=b_1+2d=8，可得2+2d=8，解得d=3。故b_n=2+3(n-1)=3n-1。故b_n的立方和T_n=(2+5+8+...+(3n-1))^3。又2+5+8+...+(3n-1)=3(1+2+...+(n-1))+2n=3n(n-1)/2+2n=3n^2/2+2n。故T_n=(3n^2/2+2n)^3=(27n^6/8+27n^5+18n^4+8n^3)。8.已知数列{c_n}是等比数列，且c_1=1，c_3=8，则数列{c_n}的前6项和为（）A.63B.64C.127D.128参考答案：D解析：设等比数列{c_n}的公比为q，由c_3=c_1q^2=8，可得q^2=8，解得q=2。故前6项和S_6=1(1-2^6)/(1-2)=127，故选D。9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=4^n-1，则数列{a_n}是（）A.等差数列但不是等比数列B.等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列参考答案：B解析：当n=1时，S_1=a_1=4-1=3。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=(4^n-1)-(4^(n-1)-1)=4^n-4^(n-1)=34^(n-1)。故数列{a_n}的通项公式为a_n=34^(n-1)，故数列{a_n}是等比数列但不是等差数列，故选B。10.已知数列{b_n}是等差数列，且b_1=1，b_4=10，则数列{b_n}的前n项和为（）A.n^2-nB.n^2+nC.n^2+2nD.n^2+3n参考答案：B解析：设等差数列{b_n}的公差为d，由b_4=b_1+3d=10，可得1+3d=10，解得d=3。故b_n=1+3(n-1)=3n-2。故前n项和S_n=n(1+3n-2)/2=n(3n-1)/2=n^2-n/2。又S_n=n^2-n/2+n^2+n/2=n^2+n，故选B。二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在题中横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），则数列{a_n}的前5项和为_________。参考答案：15解析：由a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），可得S_n=a_n(S_n-1)，即S_n-a_nS_n=a_n，整理得S_n=a_n/(1-a_n)。当n=2时，S_2=a_2/(1-a_2)，又S_2=a_1+a_2=2+a_2，代入可得a_2/(1-a_2)=2+a_2，解得a_2=1/2。同理，当n=3时，S_3=a_3/(1-a_3)，又S_3=a_2+a_3=1/2+a_3，代入可得a_3/(1-a_3)=1/2+a_3，解得a_3=1/3。当n=4时，S_4=a_4/(1-a_4)，又S_4=a_3+a_4=1/3+a_4，代入可得a_4/(1-a_4)=1/3+a_4，解得a_4=1/4。当n=5时，S_5=a_5/(1-a_5)，又S_5=a_4+a_5=1/4+a_5，代入可得a_5/(1-a_5)=1/4+a_5，解得a_5=1/5。故数列{a_n}的前5项和为2+1/2+1/3+1/4+1/5=15。2.已知数列{b_n}是等比数列，且b_1=3，b_3=24，则数列{b_n}的公比为_________。参考答案：2解析：设等比数列{b_n}的公比为q，由b_3=b_1q^2=24，可得3q^2=24，解得q=2。3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2^n-1，则数列{c_n}的通项公式为_________。参考答案：2^(n-1)解析：当n=1时，S_1=a_1=2-1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=(2^n-1)-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。故数列{c_n}的通项公式为a_n=2^(n-1)。4.已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_4=11，则数列{a_n}的前10项和为_________。参考答案：190解析：设等差数列{a_n}的公差为d，由a_4=a_1+3d=11，可得5+3d=11，解得d=2。故a_n=5+2(n-1)=2n+3。故前10项和S_10=10(5+210+3)/2=190。5.已知数列{b_n}是等比数列，且b_1=1，b_4=16，则数列{b_n}的前5项和为_________。参考答案：31解析：设等比数列{b_n}的公比为q，由b_4=b_1q^3=16，可得1q^3=16，解得q=2。故前5项和S_5=1(1-2^5)/(1-2)=31。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），求证数列{a_n}是等比数列。证明：由a_n=S_n/(S_n-1)（n≥2），可得S_n=a_n(S_n-1)，即S_n-a_nS_n=a_n，整理得S_n=a_n/(1-a_n)。当n=2时，S_2=a_2/(1-a_2)，又S_2=a_1+a_2=1+a_2，代入可得a_2/(1-a_2)=1+a_2，解得a_2=1/2。同理，当n=3时，S_3=a_3/(1-a_3)，又S_3=a_2+a_3=1/2+a_3，代入可得a_3/(1-a_3)=1/2+a_3，解得a_3=1/3。观察可得a_n=1/n，故a_(n+1)/a_n=1/(n+1)/1/n=1/n/(1/n+1)=n/(n+1)。故数列{a_n}是等比数列，公比为1/(n+1)。2.已知数列{b_n}是等差数列，且b_1=2，b_4=10，求数列{b_n}的前n项和S_n，并求S_10的值。解：设等差数列{b_n}的公差为d，由b_4=b_1+3d=10，可得2+3d=10，解得d=2。故b_n=2+2(n-1)=2n。故前n项和S_n=n(2+2n)/2=n^2+n。故S_10=10^2+10=110。3.已知数列{c_n}是等比数列，且c_1=3，c_3=24，求数列{c_n}的通项公式，并求前6项和S_6的值。解：设等比数列{c_n}的公比为q，由c_3=c_1q^2=24，可得3q^2=24，解得q=2。故c_n=32^(n-1)。故前6项和S_6=3(1-2^6)/(1-2)=189。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2^n-1，求证数列{a_n}是等比数列，并求其前10项的立方和。证明：当n=1时，S_1=a_1=2-1=1。当n≥2时，a_n=S_n-S_(n-1)=(2^n-1)-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。故数列{a_n}的通项公式为a_n=2^(n-1)，故数列{a_n}是等比数列，公比为2。故前10项的立方和T_10=(2^0+2^1+...+2^9)^3=(2^10-1)^3=59049。5.已知数列{b_n}是等差数列，且b_1=1，b_4=10，又数列{c_n}是等比数列，且c_1=2，c_3=8，求这两个数列的前5项和S_1和S_2，并比较S_1和S_2的大小。解：设等差数列{b_n}的公差为d_1，由b_4=b_1+3d_1=10，可得1+3d_1=10，解得d_1=3。故b_n=1+3(n-1)=3n-2。故前5项和S_1=5(1+35-2)/2=40。设等比数列{c_n}的公比为q_2，由c_3=c_1q_2^2=8，可得2q_2^2=8，解得q_2=2。故c_