第1章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-教学课件-2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修1

第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示导入新课在前几节课的学习中,已经把向量从平面推广到了空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的立体几何问题.在这个过程中,你有没有发现利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么呢?组成空间几何体的基本元素是什么?组成空间几何体的基本元素为点、直线、平面.导入新课可以先用规范的向量语言表示空间中的点、直线、平面,再在向量领域中通过向量运算解决元素之间的位置关系和度量问题.组成空间几何体的基本元素点、直线、平面是不能进行运算的,你有什么办法能让不能运算的这些元素对应到另一个可运算的领域中吗?教学过程探究1空间中点的向量表示如何用向量表示空间中的一个点P?在几何学中,通常用点来标记位置,所以点就是位置的抽象化.确定点P的位置是相对于某一参照物来说的,参照物不同,空间点的相对位置也不同,代数表达也不同.所以,要确定点P的位置,要先选一个参照点.

教学过程探究2空间中直线的向量表示空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l?

如果只给定方向向量a,能不能唯一确定一条直线?利用直线l上一定点A和它的方向向量来表示直线l上的任意一点P.如何用向量表示经过点A且以a为方向向量的直线l?为了解决这个问题,先来回忆一下如何确定一条直线.教学过程

教学过程类比点的向量表示,直线的向量表示也与所选基点有关.如果选取空间中的任意一点O为基点,应该如何用向量表示这条直线?

教学过程当字母t发生变化时,会有什么变化?

点A及直线l的方向向量a不仅能确定直线l的位置,还可以表示出直线l上的任意一点.同时也说明直线l的方向向量不唯一,直线上的任意两点都可以确定直线l的方向向量.教学过程探究3空间中平面的向量表示回顾平面向量基本定理,你认为如何表示平面内任意一点的位置?

教学过程

我们把此式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

教学过程探究4平面的法向量如何用一个点和一个向量来确定空间中的平面α?

教学过程如果另有一条直线m⊥α,在直线m上任取向量b,向量b与向量a有什么关系呢?

教学过程

例题探究教学过程解：（1）因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=（0，1，0）是平面BCC1B1的一个法向量.(2)因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点，所以M，C，A1

的坐标分别为（3，2，0），（0,4,0），（3,0,2）。因此，MC=(-3,2,0),MA1=（0，-2,2）。设n2=（x,y,z)是平面MCA1的法向量，则n2⊥MC,n2⊥MA1.取z=3，则x=2,y=3.于是n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.教学过程平面BCC1B1还有其他法向量吗?

教学过程通过例题探究,你能总结出求平面的法向量的方法吗?

教学过程变式训练

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面A1BC1的一个法向量.解：由已知得B（1,0,0），C1（1,1,1),A1(0,0,1)所以BC1=(0,1,1),A1C1=(1,1,0).设n=(x,y,z)是平面A1BC1的法向量，则n⊥BC1,n⊥A1C1.取y=-1，得x=1，z=1，所以n=(1，-1，1).于是n=(1，-1，1)是平面A1BC1的一个法向量.教学过程

共线向量.如果能发现线面垂直,可以直接用直线的方向向量作为平面的法向量,也可以取与直线的方向向量平行的向量作为法向量;如果不易发现平面的垂线,那么就用例题探究中的方法求法向量.课堂练习AD课堂练习ACx+2y-3z=0课堂练习课堂总结梳理本节内容