第1章 1.2 空间向量基本定理-教学课件 2026-2027学年高中数学人教A版选择性必修1

第1章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理导入新课在平面向量中,由平面向量基本定理可知,平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.类似地,空间中的任意一个向量能否用向量表示呢?需要几个向量?这几个向量需满足什么条件?教学过程1.空间向量基本定理及基底空间中任意两个向量一定共面吗?为什么?一定,因为通过平移,可以将两个向量的起点移到同一点,即两个向量所在的直线相交,而两条相交直线确定一个平面,所以空间中任意两个向量共面.空间中任意三个向量一定共面吗?请举例说明.教学过程用三个共面的向量只能表示此平面内的向量和与此平面平行的向量,不能表示除此之外的向量.怎样的向量能表示空间中的任意一个向量?类比平面向量基本定理,你能猜想一下空间向量基本定理吗?用三个不共面的向量可表示空间中的任意一个向量.用三个共面的向量能表示空间中的其他向量吗?请画图说明.很多重要的公式、定理的发现都是从归纳、猜想开始的,但归纳、猜想得到的结论必须进行验证或严格的数学证明,那么怎样验证我们得到的结论呢?教学过程空间向量基本定理及基底:(1)如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.(2)如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.这个集合可看作由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.教学过程2.单位正交基底请说出你认为最特殊的基底.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.教学过程3.例题探究

教学过程

判断三个向量能否构成基底,关键是判断它们是否共面.若从正面判断难以入手,可以用反证法结合向量共面的充要条件进行判断;或者利用常见的几何图形帮助判断.求某一向量在不同基底下的表示形式,一般采用待定系数法.即设出该向量在新基底下的表示形式,再转化为在原基底下的表示形式,对比系数求解.教学过程

回顾前面所学知识,如何探究三个向量是否共面?借助共面向量定理用反证的方法验证,排除向量共面的情况.C教学过程

A教学过程

用基底表示向量的三个步骤:(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据向量的三角形法则、平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间中的所有向量,表示要彻底,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.教学过程教学过程教学过程教学过程

利用空间向量基本定理解决几何问题的步骤如下:(1)把几何问题转化为向量问题.(2)选择空间的某个基底表示未知向量.(3)证明垂直问题时,需结合数量积公式和运算律证明数量积为0;求异面直线所成的角时,可利用夹角公式cosθ=|cos<a,b>|求解;求线段长度时,可利用公式|a|2=a2求解.(4)将向量问题回归到几何问题.课堂练习D课堂练习A课堂练习D课堂练习D课堂练习课堂总结

请回顾一下,我们是