西工大821自动控制原理-8习题及答案-第八章 线性系统的状态空间分析与综合

西工大821自动控制原理

第八章线性系统的状态空间分析与综合

习题及解答

8-1已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数

um*Eh+

=j

Mmdt2+Jmdt

=___________________C〃

。⑸一s[LaJms^(Lafm+JmRa)s+{Rafm+KbCm)

⑴设状态变量X]=0„lm,x2=Otn,=0及输出量V=呢，试建立其动态方程;

⑵设状态变量吊=ia,x2=另=4”及y=o,n，试建立其动态方程。

解:

3=9m

X2=X=Q；

(1)由题意可知:

=*2=

y=9m=X\

巩=R/Q+L工+Eh

Eb=皿

由已知

MLcj

MJ

n=nfi,n+f也

6=々

尤2=%3

可推导出•_f"Li+J”及RJm+KbC,.C，"

人3勺+U.

LJ”LJnL3

y=x\

由上式，可列动态方程如下

0i00

0o1+0

RJ〃+K。〃

0LJ,+LR

LJ“LJ“LJn

y=[io可々

(2)由题意可知:I,=",x2=/，弓=Om>y=O,n

二：R”.KbA1..RjK为+1u

x.=i=——-i------9+—U=Tx'~TXi+TUu

i"La“LaLa“aaa

五=〃〃=%

可推导出

五='”=乎A亨3

JmJmJmJm

y=O,n=工，

可列动态方程如下

以

司La

0y=[()1()：元2

〈〃

由

X]二元2二©m

得X2=X3=6m

Cf

x.=9=-^i-^-0=

3mjajm

Jm」mJniJm

0

由上式可得变换矩阵为T=00

g

0

Am

8-2设系统微分方程为？+6了+113，+6），=6〃。式中，u和y分别为系统输入和输出

量。试列写可控标准型（即矩阵A为友矩阵）及可观测标准型（即矩阵A为友矩阵转置〕状态

空间表达式，并画出状态变量图。

解：由题意可得：

6

2=

U/+6/+115+6

1

0

-11

y=[600

状态变量图如下:

由方程得可观测标准型

)，=[()0

状态变量图如下:

8-3已知系统结构图如图8-29所示，其状态变量为.。，/，七。试求动态方程，并画出状态

变量图。

U(s)

由结构图可得

2

2即工]+

=sxi+sx]=2X2-2X3X=2X2-2X3

5(5+1)

x2-Xy

%=s

即X=x3

2

5+3

u-x}

由上述三式，可列动态方程如下:

状态变量图如F：

8-4已知系统传递函数为G⑸二分常

,试求可控标准型，可观测标准型，对角型动

态方程，并画出状态变量图。

解：

（D可控标准型

尤010

+u

当-3-4x21

y=62广+〃

（2）可观测标准型

0-35

1-42

），=[01+u

十%

c、5一+6s+81

(3)G(s)=------------=1-+

s"+4.9+35+35+1

-30为

+

0-1

由上式可得对角型

二…

y+U

\_X2]

8-5已知系统传递函数6(5)=-----；------,试求约当型动态方程，并画出状态变

(5+1)-(5+2)

量图。

解：G（s）=-----7-----T--―+―

（5+1）2（5+2）（5+1）25+1£+2

由上式，可得约当型动态方程

8-6已知双输入一双输出系统状态方程和输出方程分别为

片=x2+〃]

x2=x3+2«1-u2

x3=-6x)-1lx2-6X3+2M2

y2=2xt+x2-xy

写出矩阵形式的动态方程，并画出状态变量图

解：由题中给定方程可列写出动态方程

状态变量图如下

0i00

x=-2-30x+1u

纥ZW也系统动态方程为-1，试求传递函数G(s)

-1132

0

y=[。1]

解：

%-100

G（5）=C[（5/-A）-,]S=[00f25+301

1-1s-3j_2

0

2s2+7s+3

s~+3s+21

3

S-/5-O5-75-6

_2_

-I0

8-8已知系统矩阵A二,至少用两种方法求状态转移矩阵。

01

解：

(1)级数法：

eA,=I-^-At+-A2t2+…+

(2)拉氏变换法

1

S+l00

3—A)Ts+1

1

05-10

s-1

1

0

0

*=L-'5+1

00

s-1

6e-1-5e-214屋-4e~

8-9己知系统①1(t)

-3e-,+3e_2t-2e-l+3e-21

2葭e--e-21

和①式t)=

-2e-1+2e-21-e-,+2e-2t

判断中i，①2是否是状态转移矩阵。若是，则确定系统的状态阵A：如果不是，请说明理由。

解：转移矩阵应满足：吊=46,05(0)=/

0}10

0(0)==10(0)=

1°20

假设0”)，叱⑺为转移矩阵则

-6e-r+10e-2t-4e-l+Se~2r44

A尸叫⑺

L3e-l-6e-212/—6日

-2e~1+2e~2t01

Am丸⑴

r=02e-t-4e-2f-2-3

则

12e-,-8e-2,8e-,-4e-2(.

Ai①《)二-…e…⑺

-9e-l+8e-2*

-2e-,+2e_21-e-1+2e'2t

A2(P2(t)==<z>(r)=<P(t)A

2e-,-4e-2te--4e-21222

01

所以0(f)不是转移矩阵，①2(。是转移矩阵，其状态阵为

-2-3

-100

8-10试求下列状态方程的解i=0-20x的解

00-3

解：由题意可得:

x=Ax

(si-A)x=x0

-I

x=(si-A)xo

l

x(t)=r\sI-A)~x()

.v+100

]

x(t)=LT05+20x0

005+3

="°壬°/

00—

s+3_

"001

=0e"o/

00

8-11已知系统状态方程为上=I；%+I'，初始条件为网（°）=1，々（°）=0。试求系

统在单位阶跃输入作用下的响应。

解：

此题为求非奇次状态方程的解，对F非奇次状态方程。

x(t)=①(f)x(0)+J0,①(f

(P(r)=r,(5/-A)_,=£-,

Mf)=e‘0J°(r-T)e-r

」J1I.

8-12已知差分方程y(k+2)+3y(k+1)+2y(Q=2u[k+1)+3u(k)，并且y(0)=0,y(l)=l,

〃(0)1

试列写可控标准型离散动态方程，并求出〃（Q=时的系统响应。

〃⑴1

解：由差分方程可得离散动态方程如下:

x(k+1)=G•x(Z)+H♦M(&)

)，(Q=C*Q

0

H=C=[32]

0

X(1)=GX(0)4-/7M(0)=0+]1=

r.0

XD=Cx(I)=[32i=2

0

X(2)=G-X(1)+HM(1)=

J(2)=C-X(2)=[321=-l

-2

8-13已知连续系统的动态方程为£=：；x+：y=H0k设采样周期

T=15,试求离散化动态方程。

解：

।]

=L-l[sl-A]-1=L-,$-1=U'ss（5[2）i

10s-2」0J

s-2

1-(e2-1)]]3.19

(D(T=1)=2*

0/JL°7.39

G(T=1)=[中⑺萩=[12(e~1-l):

」0/u.

1.347

3.195

8-14试用李雅普诺夫第二法判断X=-$+%，比2=2周—3/平衡状态的稳定性,

x.=0

解：平衡点：1

x2=0

z2

构造V(x)=xl+x2

则V(x)=2再i,+2X2X2=2x,(-%j+々)+2X2(2XJ-3x2)

=-2x,2+6“2-6婷

(~2<0

判定廿(x)性质:

=12-9=3>0

廿。)负定，因此平衡状态是大范围一致渐近稳定的

-3-10

8-15已知系统状态方程为x=0-10X+02，当Q=/时，矩阵尸的

-110

值；若选。为正半定矩阵，求对应的尸矩阵的值，并判断系统稳定性。

解:

ATP+PA=-Q=-I

令:

200儿一2-

1.12

——1-%^22P?3+62630-10

221

-30-1%0--1

2

8-I2-

解得:6-13

-1344

古氏行列式:

-4<0

-48

=-24-64=-88<0

86

-48-12

86-13=-1564<0

-12-1344

因此不定。

-000

选Q=010

000

T2

则V(X)=-XQX=-X2,为负半定。

由等式ATP+PA=-Q解得:

000

《2%1

—正半定。

p=耳2^230-0

2

小鸟363000

判定系统稳定性:

5-23

\sl-A=00=(5+2)(5+1)2

05+1

三个特征值分别为：-因此系统不稳定。

010

8-16设线性定常离散系统状态方程为，X（左+1）=001x（幻，k〉0,试求使系

k

0-0

_2_

统渐近稳定的*值范围。

解：令中丁尸①一P=-Q=—/

oO64一oIO66P

»23123

KM

片

1AAoo12R鸟

2-2323

--KJ

R6OO1只6

oo-33-333

即-

一2

o一

-

o

%0

解得:p=%0

P,312

4一公

k>0

若要满足题意，需令《，o因此，渐近稳定的条件为：。〈人〈2。

3<4

8-17试判断下列系统的状态可控性。

20

(1)0-20x+0u

1-401

1100

(2)x=010x+1u

。110

-40

(4)x=0-4

00

410

4oi

(5)x=x+

4i

04—J

Ai

i

(6)x=4

4

0

解:

0-12

AB；A2B]=

(1)Pt=[BI000

10

rankPc=2<〃=3该系统不可控

02

2

(2)P=[B；AB；AB]=1I1

012

该系统不可控。

rankPe=2<n=3

010102

(3)2=010101

111112

该系统可控。

rankPc=3=〃

1-416

(4)P=2-832

111

rankP=2<n=3该系统不可控。

4

o

(5)x=

o

0

解:

012434

1443

ABA2B；A^B]=

144

144

矩阵不满秩，该系统不可控。

41o)0_一or

，

0410o

，

(X+•"

00AT01

1・

00O)41I

_-一

o

1

3/12

o“

23-1

解:

6:)PAoDA8ABI-2/412

C♦-14

4

1243

矩阵不满秩，该系统不可控。

011

8-18设系统状态方程为犬=X+”,并设系统状态可控，试求〃,/九

-1b

解:

1b

P=[B\AB\=

Cbab-\

令I用="一1一〃2W0=。工"2_时，即可满足可控性条件。

8-19设系统状态方程为G(s)=,并设系统状态可控、可观测,

一+7$2+14S+8

试求。值。

解：

s+as+a

G(s)=--

/+7s'+14s+8(5+1)(5+2)(5+4)

①采用可控标准型，不论为。何值，系统总可控。

在任意三阶实现情况下可控，则a工1,2,4o

8-20试判断下列系统的可观测性:

-1-2

x=0-1

(1)

10

y=口1。]

2010

x=02：0X

(2)

03

y=[i11卜

-1

x

1

(3)

1000

x

0-10

210

x=020x

(4)

00-3

y=[01l]x

解：

C10

-3-1

(1)Pc=CA

CA250

rankR=3=〃该系统可观。

C111

(2)P,二CA=251

CA-4131

rankP=3=n该系统可观。

（3）该形式为约当标准型，直接判定，该系统可观。

（4）该形式为约当标准型，直接判定，该系统不可观。

8-21试确定使系统£=a羽>'=[1可观测的。，力…

0bLJ

解:

C1-1

CAa\-b

|用=>〃+”()=〃工。+1时,于是系统可观。

8-221知系统动态方程各矩阵为

-132or

100

A二042,B=00，C=

001

001__10

试用传递矩阵判断系统的可控性和可观测性。

解：

-3-2(5-1)(5-4)3(5-1)2(5-1)

(Sf)”05-4-20(1)22(s-1)

(5-1)2(5-4)

00s-100(s-1)(5-4)

判断可控性:

5-4320125-4

(si-A)-1B=020020

005-4105-40

令67,[2s-4\+a2\20]+的卜-40]=0

所以中三行向量线性无关,因此该系统可控。

判断可观性:

-432

1001

C(sl-"05-12

001(5-1)(5-4)

005-4

-

15-432

(5-1)(5-4)005-4

5-432

令q=0

0N05-4

解得a}=a2=%=0o

所以，C(“-中三行向量线性无关，因此该系统可观测。

-000一

0010

8-23己知矩阵A=试求A的特征方程，特征值和特征向量，并求出变换

0001

1000

矩阵，将人约当化。

解：

100

0sT04I

(1)八(5)=卜/_川==s-1

005-1

-100s

(2)Z=1±

I：2二一1^3,4=J

1

对角化变换矩阵

'Illi

P=[rAP?鸟幻-i二1i-1i;j二—

1-1-jJ

所以P可使A对角化

1-21

8-24将状态方程比=X+U化为可控标准型。

341

1-1

解:P=[B；AB\=

C17

所以，心成E=2,可控，可化为可控标准型。

71

1

取1]

O

则

1-1iTi-21-6qr()r

验证:6」13"21J=[-1O5_

82

PB=—=

8126j|_lj|_1_

验证完毕。

故可控标准型实现对应的A,B阵为：

-01]「0一

A=-105j,B=|_1_

8-25已知系统传递函数为止=一山一，试写出系统可控、不可观测，可观测，不

U(s)52+354-2

可控，不可控、不可观测的动态方程。

解：

y(s)_S+1_5+1

U(s)X+3s+2-(s+l)(s+2)

传递函数有零极点对消，因此不可控或不可观。

可控、不可观方程：

10

X=+

y=[ii]x

可观测、不可控方程：

,「。-2]「1]

X-1-3_|X+U

Y=\p1]X

y(s)_s+i__o_i

U(s)—(s+l)(s+2)-7+i7+2

不可控、不可观测方程：

.「—10]「0]

X=X+U

0-2J|_1_

Y=\()\]X

8-26已知系统动态方程各矩阵为：

1000-'1'

02000r

A=,B=,C=[-4-311]

-6-2303

3-204__2

试求可控子系统与不可控子系统的动态方程。

解:

111

230000

PC=\B\AB\ABAB]=

3333

21147191

rankP=2

111-30011-3一

0003J_00-23

T=

3300-27270-90

2110002700

0011-3--10001110

00-2302000001

TAT'"=—

27270-90-6-2303300

027003-20421100

12713521-2

-27008118

00054

00

100

TB=—

27270

027

CT-1=[-4-310-4-3]

所以，可控子系统为：

0-1081-75-16

X+—X

27135」’27[21-2

X-=[11以

不可控子系统为:

3TX-192

.尤=X,

02306

y,=[4-3]X

8-27系统各矩阵同题8-26,试求可观测子系统与不可观测子系统的动态方程。

解：利用9-27的对偶关系实现：

02700-1

-1081350010

B=CT=C=BT=\\00()]

*-7521810-4

-28-21854-3

可观子系统：

.1「0271

X"=—x0十

,"271_-10813510

"=[1。及

不可观子系统：

I•1「-752190-4

X”=—儿+U

・“2728-226-3

0100

8-28设系统状态方程为x=0-110〃。说明可否用状态反馈任意配置闭

0-11010

环极点，若可以，求状态反馈矩阵,使闭环极点位于一|(),一1±/反，并画出状态变量图。

解：

-0010

2

PC=\B\AB\AB]=01090

10100990

rankP(=3=n,

\sl-(A-砌=(s+10)(5+1+j73)(5+1-j向

—iZr-

000100

1-。Lk自]I=$3+12/+245+40

0s0-^0-12

d[o7

001010

1+(10&-9)s?+(10&+10&-9)s+104=53+]2/+24s+40

L=4

<k、=1.2

#3=2.1

8-29设系统动态方程为±=°1x+°«,y=［lok,试设计全维状态观测器，使

0()J|_1JL卜

其极点位于一八一2r(r>0),并画出状态变量图。

解：

1O-

01

rankPc=2=n,可观，可设计全维状态观测器。

观测器系统阵：°］」”可［=「夕:

IL°°JL/?iJj［一4。」

令卜/一(A-"C)|=s+%=52++A)=(s+r)(5+2r)=52+3rs+2r2

h,s

解得：，

2

h}=2r

8-30设系统传递函数为出="-l)(s+2),判断能否利用状态反馈矩阵将传递

U(s)(541)(52)("3)

函数变成一:--------,若有可能，求出一个满足的状态反馈阵K,并画出状态变量

(s+2)(s+3)

图。

提示：状态反馈不改变传递函数的零点。

解：能。

y(s)二(s—l)(s+2)-/+$-2

M(5)(5+1)(5-2)(5+3)+2s2-5s-6

上式无零极点对消，因此可控，可任意配置极点。

用可控标准型实现：x=Ax+Bu;y=Cx

01O-'Q~

其中:A二001,B=0,C=[-21]

65-2_1

5-1

为使传递函数变为需配置极点，使得

(5+2)(5+3)

D(s)=(s+2)2(s+3)=/+7s2+]6s+12

010010

令:A-Bk=001=001

6-匕5—k,—2—&12-16-7

4=18

解得:性=21

网=5

配置极点后出现零极点对消，系统不可观。但传递函数只描述外部特性，故可达到目的。

8-31设系统状态方程为:

-00

10y=[00\]x

01

试判别系统可控性和可观测性；求输出至输入的反馈矩阵,使闭环极点位于-0.57,

-0.22±;1.3,并画出状态变量图。

-20055-10

2

解：P(=\B\AB\AB]=1-21113

011-5-711

rankP.=3=n,系统可控

C001

玲二CA01-3

CA20-310

rank鸟=3=n,系统可观测。

00005-

A-HC=1001]=