考研数学二（高等数学）模拟试卷30

考研数学二(高等数学)模拟试卷30

一、选择题(本题共2题，每题7.0分，共2分。)

1、设f(x)在x=a处的左右导数都存在，则f(x)在X=a处().

A、一定可导

一定不可导

C、不一定连续

D、连续

标准答案：D

知识点解析：因为f(x)在x=a处右可导，所以

&”浮存在，于叼呼⑺即f(x)在m处右连续，同理由卜在中

处左可导，得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a史连续，由于左右导数不一定相

等，选(D).

2、设函数f(x)满足关系F(X)+M(X)=X,且"0)=0,则().

A、f(0)是f(x)的极小值

B、f(0)是f(x)的极大值

C、(0,f(0))是y=f(x)的拐点

D、(0,f(0))不是y=f(x)的拐点

标准答案：C

知识点解析：由「(0)=0得俨(0)=0,f,,(x)=l-2f(x)r(x),rn(0)=l>0,由极限保号

性，存在3>0,当o<lx|vb时，f”(x)>0,再由存(0)=0,得

lr(jr)>0,0<x<5,故(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选(C).

二、填空题(本题共9题，每题分，共9分。)

设lim[[*df,则。=.

标准答案：2

,,I-/.7JH-Hm()-lim=e*..

知识点解析：一1+工”—X..8ledl=Jf_8‘id(尸leI@Jf

ooaeldt=aea-ea由ea=aea-ea得a=2

(co&r)J.x#0,

/(x)=

4、设a，”=。在x=0处连续，则a二

标准答案：e+

7

limf(z)=lim{r1+(COSJT-1)"|工i}壁'=e'

知识点解析：l'I」」,因为函

数f(x)在x=0处连续，所以a=eT

I=cost2,

设、-t：篝明啕

5、

标准答案：怎

知识点解析：

2l2

..71cosf—2zsiiir-2t•,2d(¥)/dr.

ay=dy/也__________________2t__=，也=_]

drdr/dz—ZlsifM2dLr*dr/d/-2/sinr1'

6、求JxarctanGdx=.

标准答案：2(x2-1)arclan7?"i++C

—Gzzjr'arctanzd/=yjarctanrd(?)

xarctanvo：dr=

4

=y/arct.an/-If告&=*arctan/一|J吟郭』

=~/4arctanr—(d—1+)&

=arctanr——(；•/一＞+arctanz)+C

44I

一\DarctanvCr春vC?+JvCT+C

知识点解析:

/I-x2arcsinrclr=

7、

标准答案：9agi"”+呆JF^arcsiiir—*+C

=pCOS21dz=yp(l4-cos2/)dz

，]一工会arcsiardx

V+如d(sin2D“+%,sin2Tsin2rdr)

=%+/i偌+/cos2-C

知识点解析：=/arcsinG+称工许％csiu—:/+C

8、

2J工一2111r-4-/x-2+4々arctan-*+C,

标准答案：&

2,lru-d(-z二2)=2—21nz-2^

因为J等匕e一可备也=2k1一等曲

~2/-^.arctan场4-C-2Jf二2—2"arctan，4-C»

所以j--^ar—dr=2J工-2lnr—4J工-2+4笈arctan—x-+C.

知识点解析：」后三42

f\+xA=

9、J------------*

•1+"__1__|_r

标准答案：彳?

1r2

\."It!二eO=I(JI1?襄.产=\GreO?(：+/.)(8‘)

~f?o+7)t,/=f(-7+?+i+i)d,

=In|1+c|-In!t|—J"+C

1+E1r

知识点解析：一FT一十c

I*4±L;业=______.

10、JG+t+l

标准答案：中+T+&+"i)+c

知识点解析：

f工+1i"H空里虫也

JZ7T7TT2J4+工+1

=If±1—业十工f丁上——生

2)—+H+12J“+-+1•

=[2—/R】1dCF+/+D+4[小/画:L.画)

=>/xz4-x4-1+-1-ln(x+}+JF+.+】)+C

ii、设f(u)连续，则当J?4m/一力叱

标准答案：・xf(x2j)

ln(1+力一(ar-i-bx2)—x—了+o(x2)—(ar-?fa2)

=(1—a)x—(64--1-)x24-o(x2)

由lim——：—=Hm==1得”-*0时,Ie，dz〜/,

J-^OIJT-*QLIJo

1-a=0

于是〃i1、3，故a=1,6=-2.

标准答案：1一("+彳)=2

知识点解析：暂无解析

15、设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=0.证明：存在国(a,b),使得

标准答案：由泰勒公式得

，(审)=小)+，⑹(中一)+第(里一。)飞e0审)

/(中)=偌)+八力(审—)+赍(中一)：&€(中力)，

即/(号)=小)+八8)，/(审)=川)+),

两式相减得/(6)-/(a)=)-r(8)].

O

取绝对值得।，⑹一/Q)।&生铲ki八公i+i八&)ij.

o

(i)当I121，(&〉I时,取e=&.则有I/($)I)/।他)一/储)i

(2)当IKI，(&)I时，取W=&,则有Ir⑷I》(总)2If(b)S

知识点解析：暂无解析

16、设f(x)在[0,+8)内可导且f(0)=l,f(x)0).证明：f(x)x(x>0).

标准答案：令(p(x)=e-Xf(x),则(p(x)在[0,+8)内可导，又(p(0)=l,(p，(x)=e-x[f(x)-

f(x))]<0(x>0),所以当x>0时，(p(x)<(p(O尸1,所以有f(x)x(x>0).

知识点解析：暂无解析

17、设f(x)在[a,b]上二阶可导,5.r(x)>0,取Xi6[a,b](i=l,2,...»n)及

ki>0(i=L2,n)且满足k]+k2+…+kn=l.证明：

f(k1x1+k2X2+...+knXn)<k|f(Xi)+k2f(X2)+...+knf(Xn).

标准答案：令X0=k]Xl+k2X2+…+knXn，显然X。某a,b],因为F(x)>0,所以

f(x)>f(xo)+f(xo)(x-xo),分别取x=Xi(i=l,2,…，n),得

/(.T|)2/(JTO)4-/(JOXJI—Ju)

/(X?)》/(Xo)+/^(Xo)(X?-Xo)

1八二)》/(£。)+/(入)(*・-4)由为〉0(1=1,2,...,n),上述各式分别乘以

(工/

kJl)》M/(；TO)+/(XO)^|(X|—x0)

k:f(.X2)2AJ(Z。)+/(No乂4及一No)

•••

ki(i=l,2,n),得3(“・))"5)十八"。洪式/一”。)将上述各式分别相加,

得f(xo)<k1f(x।)+k2f(X2)+...+knf(xn),即

f(kix]+k2X2+...+knxn)<k|f(x])+k2f(X2)+...+knf(Xn).

知识点解析：暂无解析

18、设an」otannxdx(G2),证明：而TT5<%<BTV

标准答案：

=I*(1+tan*r)tan"j-cLr=[*tan"j-d(taru-)=—?—rtan**^'=­7-7.

JoJn〃+10勿+1

同理/十a.2=-因为tan"7,ianT/在0,号上连续，ian\N住产。,且tan二,

n—1L4」

tan**2j不恒等•所以J'tanrtxdr>j'BPa.>ap•

于是不8=a.+3〈凡•即a,>2GTTD,同理可证&V-F・

知识点解析：暂无解析

19、设f(x)有界，且r(x)连续，对任意的XW(-8,+00)WIf(x)+f(x)I<1.证

明：lf(x)ls.

标准答案：令(p(x)=eXf(x),则(p，(x尸eXff(x)+r(x)],由If(x)+f(x)I<1WI(p'(x)I

<ex,又由f(x)有界得(p(-8尸0,则(p(x尸(p(x)-(p(-8)=Lx联(x)dx,两边取绝对值得

exIf(x)I<f,ooxI(p'(x)Idx<f.ooXexdx=ex,所以If(x)IWl.

知识点解析：暂无解析

]

20、证明：当xK)时，Kx)=H(t“2)sin2ntdt的最大值不超过⑵+2)⑵+3T

标准答案：当x>0时，令r(x尸(x-x2)sin2nx=0得x=l,x=k兀(k=l,2,…)，当00；

当x>l时，r(x)4)(除x=k7t(k=l,2,…)外P(x)vO),于是x=l为f(x)的最大值点，

f(x)的最大值为f(l).因为当xK)时，sinx<x,所以当xE[O,1]时，(x-x2)sin2nx<(x-

x2)x2n=x2n+,-x2n+2,于是f(x)<f(l)=jo1(x-x2)sin2nxdx<Jo,(x2n+,-x2n+2)dx=

1______1=1

2M4-22〃+3(2n+2)(2n+3).

知识点解析：暂无解析

JC=rcoMsin夕

21＞设u=u（x,y,z）连续可偏导上包=上变=j_女1）若"，］》打z3z，证

iOxy3yz

明：u仅为。与（P的函数.（2）若，证明：U仅为r的函数.

包=包・红+乂・力+也.上=_1（彳匹+y也f+z包）=0

标准答案：（1）因为ar亚加m"r"丁仙+所以u

是不含r的函数，即u仅为0与（P的函数.（2）

因为而=石・而十石,京+五•纳

=%•(一，siMsinp+,•(rcos^siny)

du,du,1r)U

=一，石+工药="匕苏+2叙

匹•fijr'-.p-f)"u■"•f-)^y,3u•—dz■

()(jpdya中(tz

,(rcos^Cos^p)T半.(rsin^cos^>)+%rsin^o).

令上包=上包1du磴工崎=噂f，从而第

工My

=t（rcos~0cos（psin（p）+t（rsin_0cos（psin（p）+t（-r-sin（pcos（p）=0.故u仅是r的函数，H】u

不含0与（p.

知识点解析：暂无解析

/y,lFy(i・y)(lrdy

22、设f(x,y)=10*其他,且D：x2+y2>2x,求D

标准答案：令D尸{(x,y)Il<x<2,V2i—^<y<x},

J

则Jf(N,y)drd_y=2?他力=j产dLrj^7Tly力=J(x*—x)cLr=1|.

知识点解析：暂无解析

23、证明：用二重积分证明J。2

标准答案：令D尸{(x,y)Ix2+y2<R2,x>0,y>0},S={(x,y)I0<x<R,

0<y<R},D2={(X,y)Ix2+y2<2R2,x>0»y>0}

因为=产寸>20且。USuDz，

所以Je""drdj44「'寸>drdyW卜”=>drd>.

而‘e”"'>cLrdy=(1-e炉)1drd>=1—e2*2)«

『e'''+J)dzdy=1^e/回。e,dy=(je-x：dr)'.

于是手(1-ed)&(JV?dr)24?1一e/),

令RT8同时注意到户一3>0,根据央通定理得『Ldr=亨

知识点解析：暂无解析

24、设y=y(x)二阶可导,且y'#),x=x(y)是y=y(x)的反函数.(1)将x=x(y)所满足

的微分方程#十"借)=°变换为y=y(x)所满足的微分方程：(2)求变换后

旦

的微分方程满足初始条件y(0)=0,y'(0)=彳的解.

标准答案：而方—而I石广石Id,•豆__yId"代入原方程得y”_

y=sinx,特征方程为d1=0,特征根为口.2二±1，因为i不是特征值，所以设特解为

y*=acogx+bsinx,代入方程得a=0,"=一％'故'=-5.",于是方程的通解为

,nCe+Cer—5siz,由初始条件得C]=l,C2=-1,满足初始条件的特解为

»一%inr.

知识点解析：暂无解析

25、设函数f(x,y)可微,号一2'/(呜)=工且圆