考研数学基础班概率统计讲义

考研数学基础班概率统计讲义

第一章随机事件与概率

一、随机试验与随机事件

(-)基本概念

1、随机试验一具备如下三个条件的试验：

(1)相同条件下可重复。(2)试验的可能结果是多样的且是确定的。

(3)某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为

2、样本空间一随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。

3、随机事件一样本空间的子集称为随机事件。

(二)事件的运算

1、事件的积一事件力与事件6同时发生的事件，称为事件48的积，记为A8.

2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+B.

3、事件的差一事件力发生而事件夕不发生,称事件48的差事件，记为4-9。

(三)事件的关系

1、包含一若事件力发生则事件8一定发生，称力包含于8,记为力

uB0若力u〃且〃u/,称两事件相等，记力。

2、互斥(不相容)事件一若1与4不能同时发生，即/历=。，称事件1,5不相容或互斥。

3、对立事件一若/13=。且力+8二人称事件4B为对立事件。

【注解】(1)A=(A-S)+AB,且4一8与力8互斥。

(2)力+8=(1一⑶+(8—力)+AB,且力一用B-A,/夕两两互斥。

(四)事件运算的性质

1、(1)ABuA(或用u力+8；(2)AB=BA,A+B=B+A；

2、(1)Ak_)A=A,Ar>A=A>

(2)力=(4c8)u(An6),Au(Bc。=(力u8)n(Ju6)；

3、(1)A=(A—//)kjJ；(2)(A—扮cA=A—B；

(3)A+B=(A-扮uABSB-A)。

4、(1)力+力=△；(2)力C力

二、概率的定义与性质

(一)概率的定义一设随机试验的样本空间为人，满足如下条件的随机事件的函数〃(•)称为所对应事件的

概率:

1、对事件/,有尸（/）>0（非负性）。

2、P（A）=1（归一性）.

3、设4,J2,L,4，L为不相容的随机事件，则有〃（U4）=2〃（乩）（可列可加性）。

Ir?=l

（二）概率的基本性质

1、尸（0）=0。

2、设4，4，L,4为互不相容的有限个随机事件列，则Ru4）"=ZP（4）,

3、PCA）=1-2（A）o

4、（减法公式）AA-B）=P（力）-P（AB）o

（三）概率基本公式

1、加法公式

（1）〃（1+8）二夕（⑷+尸（8）-P{AB）o

（2）P（A+B+。=P（A）+尸（⑼+尸（。-P{腑-P{AC）-P（BO+P（ABO。

p（

2、条件概率公式：设48是两个事件，且尸（⑷>0,则。（8|力）—一

尸（A）

3、乘法公式

（1）设尸（A）>0,则P（AB）=尸（A）P{B|A）o

（2）夕（44L4）=p（4）〃（4|4）P（4IKA\44L4回）。

A}A2）Lfl

三、事件的独立性

1、两个事件的独立一设4夕是两个事件，若P（/而=P（A）P⑶，称事件44相互独立。

〃（AB）=/（A）2（方）；

|P（AC）=P（A）P（O

2、三个事件的独立一设力，B,C是三个事件，节I

,称事件4B,C相互独

P（BO=P（6）P（。;

立。

IP（ABO=

P（A）P（8）P（C）,

【注解】

（i）44相互独立的充分必要条件是力「、4月、一力二月任何一对相互独立。

B

(2)设P(⑷=0或P(用=1,则力与任何事件月独立。

(3)设P(⑷>0,P⑦>0,若48独立，则48不互斥；若4B互斥,贝U48不独立。

四、全概率公式与Bayes公式

1、完备事件组一设事件组4,4，L,4满足：(1)JJ);

=1,2,L,/?,/声

(2)uA,.=A,则称事件组4,4，L,4为一个完备事件组。

7=1

2、全概率公式：设4，4，L,4是一个完备事件组，且K4)>0(f=1，2,L,力，B为

事件，则

n

p(8)=Z〃(4)尸(8I4)。

i=\

3、贝叶斯公式：设4,4，L,4为一个完备事件组，且〃(4)>0(2=1,2,L,玲，8为任一随

机事件，

P⑶>0，则P(AIa=P(A)P(BI4)°

jP⑶

例题选讲

一、填空题

1、设入A)=0.4,P(Au&=0.7,

(1)若4夕不相容，则P(笈=；(2)若4月相互独立，则PJ)=o

2、设以A)=P(&=P(Jj〃(岫=P(=P(BC),则事件力，氏c全不发生的概率为

=三

46

O

3、设两两相互独立的事件4B,C满足：ABC=6P(冷=P9=P9<—,且有〃(4+8+。

9

=,

216

则P(4)=o

4、设事件4B满足4处=~P(AR),且P(力)=p,则P(⑼二。

5、设4。为两个相互独立的随机事件，且48都不发生的概率为乙，/发生〃不发生的概率与/不发生

B

9

发生的概率相等，则〃(/)=o

二、选择题：

1、设48是两个随机事件，AO<AA)<1,〃(8)>0,P(B|4一=P(B\A),则[]

(4)P(力I8)=P(A(^)P(A\B)£>(力|8)；

I而；

、‘我

（。尸（/助（。）尸（AB*PlA）P⑶°

=KA）尸（0；

2、设事件48满足0<P（心<1,0<P（U）<1,且〃（力|可：〃（力|8）=1,则口

（力）事件4B对（8）事件4,B相互独立；

立；

（。事件］，〃不相互独（〃）事件4〃不相容。

立；

三、解答题

1、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是

次品的的概率。

2、设工厂力与工厂8的次品率分别为1舟和2%,现从由A和3生产的产品分别占60%和4版的一批产品中

随机抽取一件，发现是次品，求该次品是力生产的概率。

19

3、设事件力在每次试验中的概率为夕，三次独立重复试验中事件力至少出现一次的概率为一，求事件力

27

发生的概率0.

4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60乐已知目标被命中，求是甲命中的概率。

第二章一维随机变量及其分布

一、基本概念

1、随机变量一设A为随机试验£的样本空间，J为定义在八上的函数，对任意的SS，总存在唯一

确定的4（口）与之对•应，称g为随机变量，若g的可能取值为有限个或可列个，称g为离散型随机变量，若g

在某可区间上连续取值，称j为连续型随机变量。

2、分布函数一设q为一个随机变量，称函数尸（x）=(—8<X<+8)为随机变量J的分布函数

【注解1】分布函数的四个特征为

(1)0(x)。(2)/(x)单调不减。

(3)/(x)右连续。(4)F(-co)=0,F(+00)=1o

【注解2】分布函数的性质

(1)P{X<a}=F(a-0)。(2)=a：=F(a)-Z7((3-0)。

(3)P{a<x<ti\=A(Z?)-F(a)o(4)P[a</<Z?}=F(b-0)一尸(力o

3、离散型随机变量的分布律一称*¥=看｝=。（1</<〃）称为随机变量¥的分布律。

【注解】⑴0.>0(1<i<n)o(2)p{+p2+L+pn=1o

4、连续型随机变量的密度函数一设乃的分布函数为P(x)，若存在非负可积函数f(x)，

使得

X

F(x)=Lf("以，称f(x)为1的密度函数。

4-00

【注解】(1)F(x)>0o(2)[笺fglx=\。

二、常见随机变量及其分布

(一)离散型

1、二项分布一若随机变量X的分布律为PU'=k}=Cpk(1(0<A<P),称随机变量X

服从二项分布，记为X~B5,P)。

2、Poisson分布一若随机变量X的分布律为P{¥=k}*/人(k=0,1,2,L),称随机变量X服从泊

=2松分

k\

布，记为/〜不(4)。

3、几何分布一若随机变量/的分布律为P{X=k}=p(l-p)k-[{k=1,2,L),称随机变量乃服从

几何分布，记为X~G(2)。

(二)连续型

।~,a<x<b

1、均匀分布一若随机变量J的密度函数为f(x)|=।b,称随机变量J服从均匀分布，记为

一a

|0,其他

|0,x<0

q~Z?),其分布函数为F(A)=I-——,a<X<b0

।Z?-a

|1,x>b

1(x-4

2、正态分布—若随机变量g的密度函数为f(X)=―/(_g<x<+8),称随机变量J服从正

e"态

2而

分布，记为4~N(",bD,特别地，若〃=0,。=1,称随机变量服从标准正态分布，记为加(°，1),

其密度

1X2.

为(p(x)==e2(-co<%<+00),其分布函数为

J2万

①(x)=f

(p(t)dt。"e心xj

3、指数分布一若随机变量J的密度为f(x)'0(2>0),称随机变量J服从指数分布，记为

=1

|0,x<0

|0,x<0

C£(%)，其分布函数为/；(x)=|。

11,十，xNO

【渤^(1)①(0)='①(_4)=1一①(日)。

2

(2)若1(〃，，则pqw〃}=P{J>〃}.

芹2

(3)若丁N(//,(T2),则"(0,1).

（4）若川（〃，。2）,则。匕=F3一尸（a）=O（J^UL）-①（^^）。

例题选讲

1、设%,了2的密度为f\（6，f?（X），分布函数为片5）,F2（X），下列结论正确的是[]

（4）£（X）+&（X）为某随机变量的分布函数；

（8）工（x）+6（x）为某随机变量的密度函数；

（。£（x）G（x）为某随机变量的分布函数；

（。）f]（x）f2（x）为某随机变量的密度函数。

2、设随机变量X的密度函数f（x）为偶函数，其分布函数为/；（x）,则[]

（⑷/（x）为偶函（B）F=2/（a）-1；

(〃)尸(一a)=-Jf(x)dxo

3、设X~N(//,42),K〜#(//,52),令夕=户{才<//-4},Q=P{Y>JLI+5),则[]

（力）对任意实数〃都有夕（8）对任意实数〃都有夕＜q；

=Q；

（。对个别〃，才有P（。）对任意实数〃，都有夕＞。。

=Q；

设4~*（〃，。,），则随。的增大，概率尸{|X-/j\＜（y}

（/I）单调增大；（〃）单调减少;'（。保持不变；（〃）增减不确定。

二、填空题

1、设4~A，（〃,。2）,方程y2+4y+*=0无实根的概率为L,则〃=

2

精选资料，欢迎下我

2、设乃~6(2,p),厂8(3,p),若P{X>1}=—,则P[Y>1}=

9

三、解答题

1、有3个盒子，第1个盒子有4个红球1个黑球，第2个盒子有3个红球2个黑球，第3个盒子有2

个红球3个黑球，若任取一个盒子，从中任取3个求，以¥表示红球个数。

（1）写处X的分布律；（2）求红球个数不少于2个的概率。

|0,x<~\

,、II0.3,-1<%<1

2、设离散型随机变量X的分布函数为Q（x）上।，求X的分布律。

|0.7,1<<2

|1,x之2

|Aex,x<0

3、设X的分布函数为产（x）『।氏0Wx<1,

五一Ae^x~,>1

（1）求4月；（2）求密度函数F（力；（3）求*乂>1}。

3

4、设I~V（0,2）,求随机变量Y=X2的概率密度。

5、设X~N（0,1）,且J，=12,求随机变量y的概率密度。

第三章二维随机变量及其分布

一、基本概念

1>联合分布函数一设（X,K）为二维随机变量，称/（乂y）Wx,VWy}为（丫，V）的联合

分布函数。

2、二维离散型随机变量的联合分布律一设（Z,D为二维离散型随机变量，称

P{X=xitY=yj}=Pij（7=1,2,L,m,j=1,2,L,〃）

为（X,】z）的联合分布律，称

f）m

m=£}=ZPij=Pi-（,=1，2,L,iii）,P[Y=yj}=ZPtj=Pj（J=1，2,L,

力一一

7=1；=1

分别为随机变量X,V的边际分布律。

3、连续型随机变量的联合密度函数一设（X,V）为二维连续型随机变量，若存在F（乂力

>0，使得

F(.x,y)=P{X<X,Y<

fJs/(u,v)dv,称'(My)为随机变量(X,Y)的联合密度函数,

=L称"

-HO+R

fX(X)=J,f(X,y)dy,fy(y)=f(x,y)dx

分别为随机变量乃，y的边际密度函数。

【注解】联合分布函数的特征有

(1)0<A(x,y)<1o(2)F(x,y)关于x,y为单调不减函数。

(3)F(x,y)关于x或者y都是右连续。

(4)F(-GO,^o)=0,F(-X),4-00)=0,F(+oo,-oo)=0,F(4-oo,+co)=1。

二、常见的二维连续型随机变量

1、均匀分布一设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为

f，其中4为区域〃的面积，称(4,V)在区域〃上服从均匀分布。

。=n

10,(x,y)任〃

2、正态分布一设二维连续型随机变量(/,K)的联合密度为

t(X,y)=exp｛-[("1)2-2°(>—M)(y-也)+(/—以)21则

称(乃，y)服J1

2叫0212(1-p~)<yO]0*20*2

~P1

从二维正态分布，记为(才，卜)~N),>0,>0o

(〃，〃其中oO

121212

【注解】若(1,V)~N泣,则乃~N

〃卬,b),Y/V(〃

1212!122

二、随机变量的条件分布与随机变量的独立性

(一)二维离散型随机变量的条件分布

1、设网r=yj｝>0,在事件｛y=yj发生的情况下:,事件｛才=X,.｝发生的条件概率为

P[X=x.|Y=y立

l(z=1,2,L)；

.｝='

JP.

J

2、设P｛X=x,｝〉0,在事件发生的情况下，事件｛y二y/发生的条件概率为

)二维量的条件密度

P[Y1—连续型

二号｝=随机变

1,2,L)o

(

J

=f(x,y)

1、设fY(y)>0,则在“Y=y”的条件下,X的条件概率密度为fxY。一~8=

fy(y)

f(x,y)

2、设fxJ)>0,则在“X=x”的条件下,Y的条件概率密度为fyX—口=

fX(x)

欢迎下我

<a)随机变量的独立性

1>定义一设(X,Y)为二维随机变量，若对任意的x,y都有产期，y)=a(x)4(。，

称随机变量¥,V相互独立。

2、独立的充分必要条件

(1)离散型随机变量一设(X,V)为二维离散型随机变量，则才，V相互独立的充要条件是

jPij=Pi.X/7,L;j=1,2,Lo

(2)连续型随机变量一设(I,V)为二维连续型随机变量，则X,J'相互独立的充要条件是

f〈X,fx(x)fy(y)(可以除去有限个点)。

y)=

【注解】若(x,r)为二维连续型随机变量，求(x,y)的分布或数字特征时常需要使用联合密

度函数

f(z,y),一般有如下三种情况：

(1)题中直接给出f(x,y)(若其中含参数，用归一性求出)。

(2)/,y服从的分布已知且X,独立，则/.(乂fx(x)fy(y)。

y)=

(3)¥的边缘分布已知，且Y的条件密度已知，则f(x,fx(x)fy\x(y\x)o

7)=

三、随机变量函数的分布

已知(x,y)的分布，z=e(x,j，)，关于z的分布有以下几种情形：

情形一：设为离散型随机变量，z=e(x,y),则z为离散型随机变量，求出其可能取值及

对应的概率即可。

情形二：(x,K)为连续型随机变量，z=取x,Y),其中°为连续函数，则z为连续型随机变量，

可用分布函数定义求z的分布。

情形三：才，Y中一个为连续型随机变量，一个为离散型随机变量，求Z=/(X,V)的分布

例题选讲

一、选择题

1、设相互独立的随机变量x,r分别服从N(o,i)及/v(i,D,则[]

（力）*¥+K<0}⑶尸{¥+K<1}=—

12

=:

2

(6)P{X-K<0)(〃)〃{*-r<i)=­o

12

=；

2

二、填空题

1、人为两个随机变量，且m>0,r>0}=2-,m>0}=P[Y>o)

设v=」，则

77

户{max(才，V)>0)=。

三、解答题

1、袋中有10个大小相同的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次抽取1个，定义如下两个随

机

|1,第1次抽到红|1,第2次抽到红球

球

胃量：X,第1次抽到白球=1,第2次抽到白球

=1

1010

就下列两种情况，求(X,Y)的联合分布律：

(1)每次抽取后放回；(2)每次抽取后不放回。

[Ae(x+2y),x>0,y>0

2、设(X,K)的联合密度为f(x,y)=|，求

|0,其他

(1)常数4：(2)(X,V)的分布函数；(3)Z=1+2V的分布函数；

(4)P{X+2VW1}及。

3、设随机变量X、以储，求随机变量min{1,2}的分布函数。

4、设x~以儿)，y~)且I,y独立。

(1)设2=max{才，n，求Z的密度函数。(2)Z=min{才，处，求Z的密度函数。

第四章随机变量的数字特征

一、数学期望及其性质

(-)数学期望的定义

00

1、离散型数学期望一设/的分布律为P{X=xk}=R.(A=1,2,L),则例=2占"。

+00

2.连续型数学期望一设J的概率密度为f(x),则其数学期

EX=(X)&。

望为

3、一维离散型随机变量的数学期望一设离散型随机变量（力，,'）的联合分布律为

P[X=,Y=yj}=p,j\i=1,2,L;j=1,2,L),Z=(/,K),则

EZ=ZZe3，y1P。。

/=1J=1

4、二维连续型随机变量的数学期望一设二维连续型随机变量(>,】/)的密度为f(x,y),

=(¥,7),则

+00+00

龙二L。f(x,y)dyo

(1数率血望的性质

1、以。=C02、E(kX)=kEX。3、E(/+K)=EX+EYo

4、E[aX+")=aEX+bEY.

5、若随机变量Z,Y相互独立，则£(XY)=EX•EY。

二、方差的定义及性质

<-)方差的定义一DX=E〈X-EXYO

(二)方差的计算公式一DX=EX2-{EXVo

(三)方差的性质

1、D(C)=0o2、D(kX)=k2DXo

3、设随机变量X,Y相互独立，则〃(¥+「)=DX+DY,D{aX+bY)=+DX+kDY。

三、常见随机变量的数学期望和方差

1、二项分布：X~)9(/7,p),EX=np,DX=npq。

2、泊松分布：X~左(%)，EX=DX=2o

a(b

3、均匀分布：X~U9,6),1,DX-a)2

v_+8-----------

EFX~~”

4、正态分布：X"NEX=",DX=o?0

四、协方差与相关系数

(一)定义

1、协方差一Cov{/,K)=E{X-EX){Y-EY).

2、相关系数一pXYi_：。：(*、,若

4DX4DYK)

不相关。

=0,称随机变量x,Y

(二)协方差的计算公式：Cov{X,r)=E(XY)-EX-EY

(二)性质

1、Cov{X,X)=DX.2、若才，V独立，则Cov{X,Y)=0。

3、Cov{XyK)=Cov{YyX),4、Cov{aX,bY)=abCov(/,K).

5、Cov{aX+bY,Z)=aCov{X,Z)+bCov(.Y,Z).

6、〃(才+F)=DX+PK+2^r(Az,K)。

例题选讲

一、填空题

1、设随机变量X,Y相互独立，且〃¥=3,DY=2,则〃(3X-2K)=—。

2、随机变量Z~£(4),则P{4^DF}=o

3、设X,V独立同分布，且都服从N(0,L)，则E\X-Y\=tD\X-Y|=

2

4、设¥表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为0.4,则以2

12

5、设随机变量X的密度为f(x)子3*+21,则DX=。

EX=J------

7T

6、设随机变量X服从参数为;I的泊松分布，且从(¥-1)(X-2)]=1,则4=_。

二、解答题

I0,r<A

1、设1Ml),Xk=j(k=1,2),

\W>k

(1)求(%,X2)的联合分布律;(2)£(%+/)o

I-10U1°”

2、设x与r的概率分布为才L|，且尸{仃=0}=1,

241[22I]

I]

(1)求X,y的联合分布律；(2)问1，y是否相互独立？为什么？

[HL〃<

.

K-求

3、设Z7讥一2,2],=I

〃

——L>1

(1)»,J’的联合分布律；(2)〃(¥+/)。

qi

4、试验成功的概率为，失败的概率为，独立重复试验直到成功2次为止，以I表示所需要进行的

试_

44

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验次数，求X的概率分布与数学期望。

1X

1-COS-,0<X<7171

5、设X的密度函数为尸（X）「I22，对¥独立重复观察4次，V表示观察值大的次数,

1于_

0,其他3

求“2。

第五章大数定律与中心极限定理

一、车比雪夫不等式

设随机变量X的方差存在，则对任意的£>0,有

MlX-EX\>s]<—,或者尸{|X-EXI<d>i--o

£282

二、大数定律

1、（车比雪夫大数定律）设随机变量用,X2，L,x〃，L相互独立，DXj存在且DXi<M°U

=1,2,L）,则

对任意的£>0,有Jim市=1。

2、（独立同分布）设％,>2，L,为，L独立同分布，且以,.=〃，2（7=1,2,L），则对任意的

DX,=（7£>0，

有limP{f^X一“<目=1。

in

-a,n/=i

3、（贝努利大数定律）设片,Z2,L,X〃，L独立同分布于参数为〃的0-1分布，则对任意的

£>0,有

limP叶一P=1。

h

*n/=i

4、（辛钦大数定律）设％,Z2,L,¥〃，L独立同分布，且反/=",则对任意的£>0,有

lim尸d=1。

%n/=i

三、中心极限定理

XL

1、（Levy-Lindberg中心极限定理）设随机变.量序列X},X2,L

独立同分布，且

EX,=〃，=cr2(；=1,2,L),则对任意实数x,有

DXj

n

lim瓦包_一〃40}=1六

…Jn(yV2FL

2、(拉普拉斯中心极限定理)设X”~8(〃，p)(0<p<1)(〃=1,2,L),则对任意实数x,有

limP{*b呼<x]=-Ce-2a.

e/?p(l-p)-----------、

yly)2兀

例题选讲

1、设随机变量X~£(5),用车比雪夫不等式估计P|>-5|>3}<c

2、设才~/V(0,42),Y~(2,5?),且¥,y相互独立，用车比雪夫不等式估计川|X+V-2|<4)>

O

第六章数理统计基本概念

一、基本概念

1、总体一被研究对象某指标的所有可能结果称为总体。

2、简单样本及样本观察值一设总体为¥,则来自总体X的〃个相互独立且与总体X同分布的随机变量

%,42，L,X”称为简单随机样本，样本X,^2,L,才〃的观察值R，X2，L,为称为样本观察值。

3、统计量一样本的无参函数称为统计量。

二、样本常用数字特征

设4,J2,L,X”为来自总体X的简单样本，则

1、样本均值一方=-Yo

2、样本方差—S=—£(。

2〃-1/

3、样本的幺阶原点矩一4笃忧,k=1,2,Lo

石/=1

4、样本的A阶中心矩一片笃'(，R=I,2,L。

-才)

〃/=!

三、常用的抽样分布

1、1一分布

（）定义一设随机变量x,X相互独立且都服从标准正态分右，则称随机

1xZ2,L,n

变量

2222222

z=%+12+L+才”为服从自由度为〃的/分布，记~Z（力。

为7

（2）性质:

1）设¥~/（〃），则以二〃，［）x=2nX

2）设I~/（而，y~公⑺，且X,y相互独立，则丫+y~/（/〃+力。

2、t一分布

22

设随机变量I~N（0,1）,V~Z（n）,且I,J'相互独立，则称随机变量2=----为服从自由度

为〃的1分,

Y/n

布，记为t〜£（〃）o

3、F—分布

（1）定义一设随机变量I、42（加，y”力2（〃），且x,J/相互独立，则称随机变量尸=乙乜为服

从自由

Y/n

度为以，n的Z7分布，记为F~F（//?,72）。

（2）性质

设F、FSri）,则｝尸但而。

四、一个正态总体下几个常用的统计分布

设总体X~N（〃，cr?）1，z，L,是来自正态总体力的简单样本，则

X

bT才-4

一口

1、X~N),"(0,1)。2、_”t(n-1)。

(M

〃b/J〃sNn

Z⑺4、二"「一〃厂/-O

2

/»!(7°/-I

5、ES2=cr~6、乃与$2独立。

例题选讲

1、设