考研数学（数学一）模拟试卷300

考研数学(数学一)模拟试卷300

一、选择题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

1、设‘⑴一*2则f(x)在(―8,+8)内

A、没有零点.

B、只有一个零点

C、恰有两个零点.

D、恰有三个零点

标准答案：C

知识点解析：求f'(x),分析其单调性区间.由于

<0.x<-I

fix)=e1"1(x+I)=o,x=-1

l>0-，>T因此x=-1是f(x)的最小值点，且

/(-1)=-4"T7lim/(x)=lini(xd…)+；=!lim/(x)=■♦­«>

2又一22一♦/由连续函数

的介值定理，在(一oo,—1)与(一1,十8)内必存在f(x)的零点.又因f(x)在(一co,

一1)与(一1,+8)均单调，所以在每个区间上也只能有有一个零点.因此，f(x)在

(一8,+8)恰有两个零点.故应选C.

».TT

2、设L为从0(0,0)沿曲线"二加万倒点A(l,【)的曲线，则曲线积分

/=f(ey+x)dx+(xe*-

,2y)dy=

1

e+---

A、2

B、e—1.

——1■―

C、2

D、e+1.

标准答案：C

知识点解析：【分析一】先求原函数，再求积分

("+*)dx+(re,-2))dv=eTilx+x<lr'+d(-v2)=+-V2)

值/=匕("=M+#-川：二故应

选c.【分析二】将积分表成/="的♦。切=

瓦一“-而-而"十一积分存全平面与路径无关。取特殊路径

即如用所示的折线,I有

/=fP(xO)dx+f(Xl.y).h

JotJ<>

=I/，X)JT+g：2，)“=~»37?)|十故应选

.3x|+(a♦2)X2t4xj=0

J5x1+ax2+(a+5)x3=0

3、a=-5是齐次方程组Ix,-x2+2x3=。有非零解的

A、充分必要条件.

B、充分而非必要条件

C、必要而非充分条件.

D、既非充分也非必要条件

标准答案：B

知识点解析：n个方程n个未知数的齐次方程组Ax=O有非零解。IAI=0.又

3〃♦24

5aa+5=("+5)(“-3)

1-12可见a=-5能保证IAI=0,但IAI=0并不必

须a=-5.因而好一5是充分条件并非必要条件.故应选B.

4、设n维列向量"二仁口…'。'；)矩阵A=E—4aJ其中E是n阶单位矩阵，

若n维列向量。=(1,1,…，1)T,则向量A。的长度为

1

A、R

B、河

C、n.

D、n2.

标准答案：B

知识点解析:利用向量内积可计算出向量的长度,由于

IIApi==7(Afi)r(Apj=福又ATA=(E一4aaT)T(E一

4aaT)=(E-4aaT)=(E—4aaT)=E-8aaT+16a(aTa)aT=E—8aaT+8aaT=E,而

B'B=(i.L-J)

所以!I人011=、/%「丽=G故应选B.注意

o

I

Qa=(•••，。，丁=T

0

I

.V.

5、对任意正整数m,n.随机变量X都满足P{X>m+nIX>mI)=P(X>n),记

p{x<i)=p,则卜,列结论中一定不正确的是

A、P=0.

B、P>0.

C、P<1.

D、P=l.

标准答案：D

知识点解析：离散型随矶变繁中的几何分布与连续型随机变量中的指数分布都满足

题设条件.若X服从几何分布，则p=P|X<l1=0,若X服从指数分布，则

P=P(X<I}=1—eA,且0

6、设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示

一一.

-1aba

0a0a

।ab——2——其中a>0,b>0,则一定有

A、X与Y不相关.

B、X2与Y?不相关.

C、X+Y与X—Y不相关.

D、X?+Y2与X2一丫2不相关.

标准答案：A

知识点解析：从题设条件可得EX二EY=0,EXY=a-a—a+a=0,cov(X,

Y)=EXY—EXEY=0,p=0,即X与Y不相关，故应选A.进一步分析，X2与丫2

01PIA2=i\

002a2a

12h4a4a42b

P\Y2=jl2b6«

的联合概率分布应为--------------------------EX2=4a+2b,

EY2=6aEX2Y2=4a.对于选项B：X?与Y?不相关oEX^Y?二EX^EY2

o,6a(4a+2b)=4ao,6a+3b=1.与6a+2b=1且b>0相矛盾，故选项B不成立.对于

选项C和D：X+Y与X—Y不相关ocov(X+Y,X—Y)=0«DX=DY«EX2=EY2

o,4a+2b=6a=a=b.X^+Y?与X?—Y?不相关OV[X，Y2,X2-Y2)=0^

DX2=DY2<=>2a(4a+2b)=6a.2b<=>a=b.若令a=0.15,b=0.05,arb,则X+Y与X

一Y,相关且X，Y2与X2—Y?也相关，故选项C与D均不成立.

二、填空题（本题共6题，每题分，共6分。）

7、质量为M,长为1的均匀杆AB吸引着质量为m的质点C,C位于AB的延长

kMm

线上并与近端距离为a,已求得杆对质点C的引力=祈R其中k为引力常数,

现将质点C在杆的延长线上从距离近端5,处移至无穷远时，则引力作的功为

k\lmInf|+—|

标准答案：/'"J

知识点解析：以AB为K轴，近端点为原点，1EX轴指向标为x,则杆C的引力

...、kMm

匙

人

移

于

至

f------rcn无

«(/+x),)•lb引力作的功

f,«/I一1Lr

“f**kMm=

--./Vj;一

H=)(J.r----------\♦

J%x(/+X%X

0

ABC»

8、微分方程‘-・J的通解为

标准答案：-7=r*"其中C味任意常数。

dx_2__J_2

知识点解析：将原方程改写成而一亍'以y为因变量，这是伯努利方程，

两边乘(2得山IT，八？厂/以；为未知函数，这是一阶线性的，两边再乘

〃(,)=户，=/得耙卜/蟹卜［'•'于是通解为八fA+C"

其中c为V常数.

9、设="(r)(r=J。二当r#)时有连续的二阶偏导数旦满足

+/dU\：I㈣2

万Q-【瓦)【引则u=u(r)满足的常微分方程是.

标准答案：「⑺'⑺=/⑺

知识点解析：由复合函数求导法，建立U对X,y的偏导数与U对I•的导数间的关

系，把题设方程转化为u(r)的常微分方程.u(x,y)是u(r)与『二不7的复合，注

-=#⑺电=u\r)—

dxdxr

—.三.=吟=uw(r)4+球⑺UY)

意以「Mr2lrr”由对称性_>

【aJla”a?"，因此u=u(r)满足的常微分方程

是!J(r)+—u'(r)=u，2(r)

|/=—

10、设有曲面S=x2+y2=a2(0<z<n),则4f『=。

标准答案：2

知识点解析：用S的方程简化被积表达式，并注意S关于yz平面，zx平面均对

称，被积函数对x,y均为偶函数，于是U一?其中

Si=SD{x>0,y>0},投影到yz平面上，

S[:*=JR-尸(0wZC<1,0W>Wa)

标准答案：「AX3」其中ki，k2,k3不全为0.

知识点解析:由BA=0知r(B)+r(A)W3.又由B，0知r(B巨1.显然A中有2阶子式

p2q

A=0I“=

非0,知r(A巨2.故必有r(A)=2,r(B)=l.由11«01((a—1)2=0,得

a=l.因A'「BT=0,所以齐次线性方程组A,lt的解就是B的行向量，又由

I]r1oI

IT。1-】.

0」L()0。」可知A「x=0的通解为k(一1,1,1)丁.故

3人」其中k],k2，k3不全为0.

12、在以原点为圆心的单位圆内面平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在

该直径上的位置是等可能的，则任意俩的弦其长度大于1的概率为.

标准答案：A/2

知识点解析:没其交点为X,依题意

该交点存横轴X上的位置是等可能的.这是一个几何型概率问题.设事件C表示

“弦AB的长度IABI大于1"，依题意C的样本点集合为C={x=IABI=

x|<V{,样本空间Q={x：lxl<l),C与C的长度分别为

"(C)==2,则根据几何概率定义可得‘,"2

三、解答题(本题共79题，每题1.0分，共3分。)

13、设f(x)连续，且满足人"=小7市求f(x).

标准答案：这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换,

转化为被积函数不含参变量的情形.令S=x-l得

/(*)=(%-k)2-/(X•5)/(s)ch,叩/(X)=JJ(s)小+[次s)山①现把

它转化成微分方程问题.①式两边求导得=2(*-”)②又①式中

令X=7T得f(兀尸0.在对②求导得f(x)+f(x)=2.在②中令X=7l得f(兀尸0.于是问题

r/♦,=2.

转化为求解初值问题1(,)=0.〈(仃)=0其中产f(x).这是二阶线性常系数方

程，显然向常数特解y*=2,于是通解为y=C]COSx+C2Sinx+2.由

JY(1T)=-C|+2=0.

ly'(ir)=-C,=0,解得C|=2,C2=0.因此y=f(x)=2cosx+2.

知识点解析：暂无解析

x=drelanf

14、⑴已知由参数方程L=%(1-P)-*i”确定了可导函数y=f(x),求证：X=。是

y=f(x)的极大值点.

标准答案：由x=arctant知.x=0c=>/=O.r>0(<0)o/>0(<。)由y=In(l-t2)—

dydt。业

siny知工二OOF=-bin.py=0(，+si”/)为求后需先求2工由参数方程得

dxIdy2tAy

一=———.-J=----r-cvsv♦弋

山I♦r2业1-r*山

d)_…=2___

山(I-/2)(I+cosy)于是

>0.-6<x<0

dydv/d.r-2/(1♦r2)

~W-=--------z--------------=0,x=0

ux山at(I-r)(14cosy)+.,„八口+八...

<0.0<x<5其中b>0是充分小的数.因m此

x=0是y=f(x)的极大值点.

知识点解析：暂无解析

15、设F(c,y)在(xo,川)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(xo,yo)=Fx'(xo，

yo)=O»Fy'(x(),yo)>O,Fxx(xo，yo)〈O.由方程F(x,y)=0在xo的某邻域确定的隐

函数y=y(x),它有连续的二阶导，旦y(x())=yo求证y(x)以x=x()为极小值点.

_—+~y,(x)=0.

标准答案：由隐函数求导法知y(x)满足於ay令x=x(),相应地y=yo得

y(xo)=O.将上式再对x求导，并注意y=y(x)即得

a2在协IMxdy2।力再令x=xo相应地y二yo，

"("心2.吗。®卢飞)=o

y(XQ)=O,得标2处

"卜("0.%)"(to.%)

Hx2'dv>=•'x°>°因此X=xo是y=y(x)的极小值点.

知识点解析：暂无解析

设有一容器由平面z=0,z=l及介于它们之间的曲面S所同成.过z轴上V点(0,

0,z)(0WzS)作垂直于z轴的平面与该立体相微得水平截面D(z),它是半径

，⑺心-Z)，+?的圆面.若以每秒vn体积单位的均匀速度往该容器注水，并

假设开始时容器是空的.

16、写出注水过程中州刻水面高度z=z(。与相应的水体积二V⑴之间的关系式，并

求出水面高度z与时间t的函数关系；

标准答案：由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z⑴与体积V⑴

之间的关系是“3=J。S⑴/其中s(z)是水面D⑵的面积，即S(z尸兀仔+(1—

^^111-

z)~].现由(1/-%及z(0)=0,求z(t).将上式两边对t求导，由复合函数求导法

得“-疝—dzM⑴石'这是可分离变量的•阶微分方程，分离变量得

SC)dz="d,.即i“一尸他=乎，(*)两边积分并注意z(0)=0,得

抨…)3.9=$(**)

知识点解析：暂无解析

17、求水表面上升速度最大时的水面高度；

f,

02~d~:=o=――i*o

标准答案：求Z取何值时正取最大值.已求得(*)式即山S⑴力

<lz

因此，求记取最大值时Z的取值归结为求f(Z)=z2+(l—黯在［0,1］上的最小值

<0,0<x<—,

/'C)=2z-2(1-z)=2(2x-1)=0.z=

>0.y<x<i-f⑵在z=T在［0,1］上

点.由

取最小值.故”=彳时水表面上升速度最大.

知识点解析：暂无解析

18、求灌满容器所需时间.

标准答案：归结求容器的体积，即JJ。'⑴山"“尸+(17户加=R因此灌

满容器所需时间为汇=焉(秒，或由于灌满容器所需时间也就是Z=1时所对应的时

间3于是在(**)中令Z=1得Z卜"即"静秒：

知识点解析：暂无解析

c।f，二一r•/-7

19、将三重积分的累次积分泗•町”"表为定积分.

%)dV

标准答案：【分析与求解一】将J表成罂，确定积分区域Q,然后选择适当

的积分顺序，将它化为定积分.将J看成是三重积分的先•后二的累次积分，于是

J=/z)dV=j/(z)<L)dxdy.

。11其中

D”=|(x.y)I-IW*SI,-y/i-X2W>W/i-X2I,

O=l(x,y,z)|lWzW，2e2yl,因此，。是由半球面

卜=/2-X2/2♦/=］.

：=尸了二7■与半平面Z=1所围成.两面的交线是L=।,即L=।.

。在xy平面上的投影区域是x2+y2gl,z=0,即Dx?.现改为先二后一(z)的积分顺

序，C的不等式表示为ISzwG.(xj)wO(z),截面区域D(z)：x2+y2<2-z2,面

积S(z尸兀(2-z2).因此

」=J：山‘/""皿=J|(/(£)Jdxdy)dz=(ir(2-/)/(:)<1:•

0<“D(t)

二重积分的积分区域，然后逐次对二重积分交换积分次序，化为定积

J-idx|[/（z）dydi,一一------------

分J->g其中,：-Jl-1WyWzw/2---尸r.这里

X视为常量，在yz平面上如图所示.在Dxy上改为先y后Z的积分顺序

八。町山「高，⑴力

=fdxf2/(x)y/2-x2-z2dx

/-------------/-------------FJ-IJI

%:-/2-X2-22FWyW/2-X2-X2-------------_

22

--------r=H2f(z)/2-x-jdzdx,

।5&h-R、于是S„其中

。小-I1,1£斤现在DxY上改为先X后Z的积分次序：

J,/回聂/•⑴衣

,_____淖,

-丁,W々于是”「）（：）山.

Dit：-J2-/&*WhIwz=J.2--其中

三重积分(化为定积分)，Q如前所述.除r先二后一的积分顺序外，因Q为旋转

体，也可选择柱坐标变於(x=rcosO,y=rsin0,z=z),并选择先r,。后z的积分顺序

।w：w/w2-/，

化为定积分.Q的柱坐标表示：。Wrw/TTy.OWOW21T于是

I=/(z)r"=-yr2':'八"氏=-?).k

知识点解析：暂无解析

设函数Fn(x)J。"')"-「点皿e0+8)其中自，?,3,…为任意自然数,

f(x)为［0,+8)上正值连续函数.求证：

20、Fn(x)在(0,+8)存在唯一零点xo；

标准答案：Fn(x)在［0,-⑹内可导(也就必然连续)，又

>>(0)=-［*-i-dr<0.A'J\\=fy(/)d/>0-F一、r、r

Jo/a)"L2/J/j-Fn(x)在'"J存在零点，记为

Xn,则Fn(Xn)=O.又"O-*/(x)>°"'+8))—Fn(X)在［0,+cc)单

凋上升一Fn(x)在(0,+8)有唯一零点，就是这个Xn.

知识点解析：暂无解析

21、2"+4收敛：

J-不工

标准答案：在前面的证明中已得估计式°<*"<因Q收敛，由比较原理

»a

知，Z’收敛.又In(l+Xn)—Xn(n—8)=收敛.

知识点解析：暂无解析

22、

/二门)=/(x)+六三

=>Vx>0,

标准答案：方法r前面已导出九(*)=町(°)♦出才几(0)+2«又

加％°)5］=+8…方法20直接由

几3=〃(，)出成总d…「点出+〃/⑷♦点.

I

"/：点出+2*,同样得熙匕⑴=+8

知识点解析：暂无解析

X|+x2+«4=0

(•)/ax,+a2Xy=0,

己知4元齐次线性方程组ax2+Q、4=0的解全是4元方程(ii)xi+X2+X3=0的

解，

23、求a的值；

X|+x2+.q=0

<lXy+tl2Xj=0.

2

a.t2+ax4=0,

标准答案：因为方程组(i)的解全是(ii)的解,所以*+勺=。同解.那么(i)和

I0I­

•II0I

0a20

A=a0a?。与笈="

J0a0a2

(iii)的系数矩阵°〃°"L,iIo」有相同的秩.如a=0,则

r(A)=l,而r(B)=2,所以下设n#0.由于

0I•

fl-1«

«因为a和a—1不能同时为

1101

0-1fl-1

■

001-11

0,故秩r(A尸3.又■0002a-1-当。■豆

时，r(B)=3,此时⑴与(iii)同解.

知识点解析：暂无解析

24、求齐次方程组⑴的解;

II0

02-

一了，-7J,1),则通解是

标准答案：由于00I基础解系为

krj,其中k为任意实数.

知识点解析：暂无解析

25、求齐次方程(ii)的解.

标准答案：由于X|+X2+X3=O的基础解系为r)i=(—1，1，0,0)T,r|2=(—1,0,

1，0)T»H3=(0,0,0,l)T,则通解是k]r|i+k2n2+k3r|3，其中ki，k2,k3是任意实

数.

知识点解析：暂无解析

已知三元二次型XTAX的平方项系数均为a,设a=(l,2,一且满足Aa=2a.

26、求该二次型表达式；

nrf2rt12-al3=2,

utti2ai3r12'

a423=4.

«I20C"232=4,l2

标准答案：据已知条件，有L,01-lJ匚2)即I%#2%=-2解

TP

Hlai2=2,a13=2,@23二一2,所以xAx=4x1X2+4x2X3—4x2x3.

知识点解析：暂无解析

27、求正交变换x二Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换;

A-2-2

1Aff-4|=-2A2=(A-2)2<A+4)

标准答案：由得矩阵A的特征值为

-2-2-2]rl-1-r

(2E-4)x=°，-222-*000,

2,2,-4.由(2E—A)X=O,-222」L000」得

入=2的特征向量ai=(l,1,0)T,«2=(1»0,1)T；由(一4E—A)X=0,

■-4-2-2]ri0I-

(-4£-4)x=0.-2-42-0I-I

•-22-4」0o0,得入=一4的特征向量。3=(一1，

1,1)二将ai，正交化.令m=a”则02=a2一

0

2

1-L。再对01，02，。3单位化，有

r_iJ_

方岳

II

力・

I五一示A

1

”H肘力=6o2।