离散型随机变量的均值与方差(详解教师版)

离散型随机变量的均值与方差

一、考点、热点回忆

【学习目标】

1.理解取有限个值的离散型随机变显的均值或期望的概念，会根据离散型随机变最的分布列求出均

值或期望，并能解决一些实际问题；

2.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出

方差或标准差，并能解决一些实际问题；

【要点梳理】

要点一、离散型随机变量的期望

I.定义：

一般地，假设离散型随机变量g的概率分布为

X

42・..•••

pPuP：・•・Pl・・・

那么称屈^二用/4+与/乙+…+与/乙+…为4的均值或数学期望，简称期望.

要点诠释：

(I)均值1期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.

(2)一般地，在有限取值离散型随机变量J的概率分布中，令p|=p2=-=p“，那么有

Q=〃2=…一〃〃一,，石皆二(玉十与十…十匕)><］，所以g的数学期望又称为平均数、均值。

nn

(3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.

2.性质：

①星+〃)=超+助；

②假设"二〃4+〃(a、b是常数)，占是随机变量，那么〃也是随机变量，有E(ciJ+b)=aEJ+b；

七34+〃)=。野+/?的推导过程如下：：

〃的分布列为

4x2・・・苍・・・

nax^+bax2+b•••aXj+b•••

p42・.・・,.

于是Ei?=(a/+bm+(ax2+b)p2+...+(a5十…

=+x2p2+...+£p,+...）+/?（〃［+〃2+…+2+.,.）=+b

・•・E（斯+b）=aEg+b.

要点二：离散型随机变量的方差与标准差

1.一组数据的方差的概念：

一组数据范，々，…，它们的平均值为?，那么各数据与F的差的平方的平均数

1———

S?=2［（巧—X）2+（士-x/+…+（x“一%）2］叫做这组数据的方差。

n

2.离散型随机变量的方差：

一般地，假设离散型随机变量g的概率分布为

4X2•・•・・・

PP1Pl・・・Pi・・・

那么称DJ=（再一垮）2.Pl+（%2_E—2”2+...+（Xn-塔）2-P,+...称为随机变量4的方差，

式中的EJ是随机变量J的期望.

D&的算术平方根J语叫粒随机变量&的标准差，记作球.

要点诠释：

⑴随机变量占的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的：

⑵随机变量4的方差、标准差也是随机变量&的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、

集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定［越靠近平均值）.

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。

3,期望和方差的关系：

4.方差的性质：

假设/7=a《+〃（a、b是常数），看是随机变显，那么，7也是随机变显，;

要点三：常见分布的期望与方差

1、二点分布：

假设离散型随机变量g服从参数为p的二点分布，那么

期望E&=p

方差〃。一〃）.

证明：,/尸0=U)=q,k(4=l)=〃，O<p<l,〃+q=l

转=0x夕+1x〃=p

2、二项分布：

假设离散型随机变量J服从参数为〃，〃的二项分布，即4~伏〃，。),那么

期望EJ=nP

方差%=np(\-p)

期望公式证明：

k

•・•&D=c；P(1-=c；/九广，

・•・E^=OxC：p°qn+1XC；p，i+2xC；p2qn-2+...+Rx0"4+...+〃xC；；pnqQ,

又•・・kC\=k——--=--------------------------------=〃。:-；,

〃k\{n-k)\6-1)![(〃-1)-(攵-1)]!

・・・璘=np(*P°/T+C3p『2++++S)

=〃〃(〃+q)"-'=np.

3、几何分布：

独立重复试验中，假设事件A在每一次试验中发生的概率都为〃，事件A第一次发生时所做的试验

次数匕是随机变量，且P&=Z)=(l—〃)i〃，R=0,1,2,3,,%，称离散型随机变量J服从几何分

布，记作：&~P/=k)=g(k,P)o

假设离散型随机变量g服从几何分布，且4~0(4=幻=8(亿。),那么

期望七4二’.

P

方差D&=R

p~

要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。

4、超几何分布：

假设离散型随机变量4服从参数为MM,〃的超几何分布，那么

期望£《)=篝nM

要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用

E(y)=£(2X-3)=2E(X)-3=2x|^-—j-3=—

解法二：由于Y=2X—3,所以y的分布如下：

X-7-5-3-11

P]_1

435620

二E(y)=(-7)xl+(-5)x-!-+(-3)x-!-4-(-1)xl+1x—=--0

43562015

【总结力华】求期望的关键是求出分布列，只耍随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求

解，对于aX+b型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以求出aX+b的分布列，再用

定义求解.

举一反三：

【变式I】某射手射击所得环数J的分布列如下:

45678910

0000000

.02.04.06.09.28.29.22

求心.

【答案】

=8.32。

【变式2】随机变量4的分布列为

-2-10123

11\_1

Pmn

T2n6

其中m,n£[0.1),且E(9=J,那么m,n的值分别为

6

【答案】一，一

34

/7

由pi+pz+…+p6=l,得in+n=y^,

111

由E&)=一，得一一m=一，

626

.11

・・m=­，n=—.

34

【变式3】随机变显自的分布列为：

g024

p0.40.303

那么E(5g+4)等于()

A.13B.11C.2.2D.2.3

【答案】A

由得

E«)=0x0.4+2x0.3+4x0.3=1.8,

・・・E(54+4)=5E《)+4=5x|.8+4=l3.

【变式4】设离散型随机变量4的可能取值为1,2,3,4,且P(J=k)=ak+b(女=1,2,3,4),

Eg=3,那么aIZ?=；

【答案】0.1；

由分布列的概率和为1,有(a+力+(2a+))+(3a+〃)+(4a+b)=1,

又E&=3,即l-(a+〃)+2・(2a+〃)+3-(3a+〃)+4・(4d+/?)=3,

解得。=0.1,/?=0,故a+£>=0.1。

例2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白

球记I分，每取到一个红球记2分，用€表示得分数。

求：①4的概率分布列；②J的数学期望。

【思路点拨】此题求4取各个值的概率，其类型显然是古典概型。

【解析】①依题意J的取值为0、1、2、3、4

C21

4=0时，取得2黑球.••・尸C=0)=言=k，

r]C]I

J=1时，取得1黑球1白球，・・・。(4=1)=，7二=士

C-3

4=2时，取2白球或1红球1黑球，・・・P(g=2)=与+G^=U

C9C936

c1ClI

4一3时，取I白球I红球，.•.尸(V=3)=3「2=_L

C96

r21

4=4时，取2红球，，pq=4)=y=」-

Cj36

・•・4分布列为

01234

_1_11_1_1

P

6336636

②期望Eg=0x!+lx'+2xU+3xL+4x-!-二q

63366369

【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表.

举一反三：

【变式1】随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数&的数学期望.

【答案】抛掷骰子所得点数，的概率分布为

123456

\_\_\_

p

666666

所以

Ei=lx—+2x—+3x—+4x—+5x—+6x—=(1+2+3+4+5+6)x"!-=3.5.

6666666

抛掷骰子所得点数。的数学期望，就是自的所有可能取值的平均值.

【变式2】甲、乙、丙、丁独立地破译一个密码，其中甲的成功率是乙、丙、丁的成功率都是

23

(I)假设破译密码成功的人数为X,求X的概率分布；

(2)求破译密码成功人数的数学期望.

【答案】

(1)破译密码成功的人数X的可能取值为0,1,2,3,4.

8

=—，

54

12()

P(X=1)=x—=——

254

P(X=2)《C；x+自2118

X-X-=-----,

3254

P(X=4)=-x-

2(3

那么X的概率分布表为

X01234

P8201871

5454545454

Q2()Iy71xI

(2)由(I)知E(X)=()x——+lx——+2x——+3x—+4x—=——=1.5,

545454545454

即破译密码成功的人数的数学期望为1.5.

【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个

标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖者获利的数学期

望.

【答案】抽到的2个球上的钱数之和自是个随机变量，其中。取每一个值时所代表的随机事件的概率是

容易获得的，此题的目标是求参加抽奖的人获利"的数学期望，由自与〃的关系为〃=匕-5,利用公式

E[〃)=E(g一5可获解答.

设自为抽到的2球钱数之和，那么&的取值如下：

4=2(抽到2个1元)，匕=6(抽到1个1元，1个5元)，[=10(抽到2个5元).

所以，由题意得尸（4=2）=*=%,P（J=6）=等•=/,C2

P（g=10）宰1

do45

£（*2x竺+61+1。―二竺

4545455

又设〃为抽奖者获利的可能值，那么〃=自一5,所以抽奖者获利的期望为

1Q7

E(77)=E(^)-5=--5=--=-1.4.

19

例3.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为一，乙每次击中目标的概率为二，记甲击

23

中目标的次数为X,乙击中目标的次数为Y,

(I)求X的概率分布；

[2)求X和Y的数学期望.

【思路点拨】甲、乙击中目标的次数均服从二项分布.

\3

【解析】(1)尸(X=())=C；(g

8

p（x=l）=c；34

3

p（X=2）=C；

8

p（x=3）=q;1

8

所以X的概率分布如下表:

X0I23

P—133—1

8888

1331

（2）由（1）知E（X）=0x-+lx-+2x-+3x-=1.5,

8888

或由题意X-5y~B

AE(X)=3xl=1.5,E(r)=3x-|=2o

【总结升华】在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值.

举一反三：

【变式1】有一批数量很大的商品的次品率为1%,从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数

的期望。

【答案】设抽出次品数为4,因为被抽商品数量相当大，抽20件商品可以看作20次独立重复试验,

所以J〜B(20,l%),

所以塔=“=20x1%=。.2

【变式2】

•一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每

题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，总分值100分.学生中选对任一题的概率为0.9,学

生乙那么在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩

的期望。

【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，

那么J~B120,0.9)3(20,().25),

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5g和5%所以，他们在测验中

的成绩的期望分别是：

类型二、离散型随机变量的方差

例4.离散型随机变量。的概率分布为

01234567

J_£]_

P7777777

离散型随机变量冬的概率分布为

3.73.83.944.14.24.3

££]_

p

7777777

求这两个随机变量期望、均方差与标准差.

【解析】EL=1xl+2xl+...+7x1=4；

1777

222

=(l-4)xl+(2-4)xl+...+(7-4)xl=4；=必=2・

电=3.7xl+3.8x1+•.•+4.3x1=4；

-777

。另=0.04,族==0.2.

【总结升华】此题中的《和么都以相等的概率取各个不同的值，但。的取值较为分散，统的取值较为

集中.明=1=4,=4,力幺=0・2,方差比拟清楚地指出了与比4取值更集中.岩1=

2,转2=

0.2,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差.

举一反三：

【变式1】随机变量自的分布列如下表：

4-101

p1

236

⑴求E㈢,D⑹，q；

(2)设『24+3,求E(n),D5).

【答案】(1)£(^)=^/?i+xiPi=(-l)x-+()x-!-4-lx-=-i；

2363

。修)=[%-EC)了.〃不比一EC".生+[x3-EC)了.用=(，b=J5面=g0

yJ

(2)E(77)=2E(^)+3=1,O(〃)=4DC)=孩。

【变式2】设随机变量X的概率分布为

X12••・n

P・・・]_

nnn

求D(X)。

【答案】此题考查方差的求法.可由分布列先求出X的期望E(X),再利用方差的定义求之.也可直

接利用公式D(X)=E(X2)-[E(X)F来解.

解法一：

〃(〃+1)1〃+1

=--------------X—=---------，

2/72

.J，+1丫1〃+1丫1(〃+1丫1

••Z)(X)=11---------x—Fl2-------------x-+・•+n-------------x-

k2)n\2)n\2Jn

22i

=-(1-+2~+•••+/?~)—(72+1)x(1+2+---+/2)+/?,--4)—-—o

〃+]

解法二：由解法一可求得E(X)二—。

2

又&X2)=12XL+22XL++n2x-

nnn

C二、(〃+l)(2〃+l)

=—1(“12+,221+•••/?)=-------------------,

n6

・•・£>(X)=E(X2)-[E(X)]2^+1)C2H4-1)_(/?+1)-

==H_Z1O

例5.有一批数量很大的商品的次品率为1%,从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数的期望

与方差。

【思路点拨】由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响大常小，所

以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的，可以看作20次独立重复试验.利用二项分布的公式解答。

【解析】设抽出次品数为彳，因为被抽商品数量相当大，抽20件商品“J以看作20次独立重复试验，

所以4~8(20,1%),

所以售=〃〃=20x1%=0.2

【总结升华】

1.解答此题的关键是理解清楚：抽20件商品可以看作20次独立重复试验，即J〜8(20,1%),从

而可用公式：Eg=叩,V=〃p(l-p)直接进行计算；

2.以下抽查问题可以看作独立重复试验：

(1)涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题；

(2)如果抽样采用有放回地从小数量产品中抽取产品，那么各次抽样的次品率不变，各次抽样是否

抽出次品是完全独立的事件；但从小数量产品中任意抽取产品(即无放回地抽取)每次抽样后次品率将

会发生变化，即各次抽样是不独立的，不能看作独立重复试验。

举一反三：

【变式】假设某批产品共HX)件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取3件，求取出二等品的件

数的期望、方差。

【答案】由题知一次取出二等品的概率为0.2,有放回地抽取3件，可以看作3次独立重复试验，

即取出二等品的件数J〜以3,0.2),

所以4=〃〃=3x0.2=0.6,

D&=叩(1—〃)=3x0.2x(1—0.2)=0.48.

【高清课堂：离散型随机变量的均值与方差408737例题1】

【变式2］有10件产品,其中3件是次品.从中任取2件,假设抽到的次品数为用求才的分布列，期望和

方差.

【答案】

【思路点拨】此题是期望与方差的综合应用问题.要比拟甲、乙两种水稻的质量，需求出其平均亩产量

并对其稳定情况进行比拟.题中只给出了亩产量与亩数关系，所以应先列出甲、乙两种水稻的亩产量的

概率分布，再求其期望与方差.

【解析】设甲、乙两种水稻的亩产量分别为X和Y.

201951

那么P(X=300)=—=-,P(X=320)=—二一，

10051004

402153

P(X=330)=—=-,P(X=340)=­=—

1(X)510020

20_1

且尸(丫=310)=*30=，3，P(Y=320)=

-

1001()Too?,

40210_1

p(y=330)=—P(y=340)=c

1005ioo-To

1123

・•・F(X)=300x-+320x-+330x-+340x—=323

54520,

3121

E(y)=310x—+320x-+330x-4340x—=323,

105510

即E(X)=E(Y),这说明两种水稻的平均亩产量相同，进一步求各自的方差，得

D(X)=(310-323>x-+(320-323)2x-+(330-323)2x-+(340-323)2x^=171,

3121

D(r)=(310-323『x本+(320-323)2x-+(330-323)2x1+(340-323)2x—=1011,

即V(X)>V(Y),这说明乙种水稻的产量较为稳定，因此乙种水稻质量较好.

【总结升华】期望1均值)仅表达了随机变量取值的平均水平.但如果两个随机变量的均值相等，还需

比拟其方差，方差大说明随机变量的取值较分散(波动大)，方差小说明取值较集中、稳定.

当我们希望实际的平均水平比拟理想时，那么先求它们的均俏，但不要误认为均值相等时，它们都

一样好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定(即比拟方差的大小)，

相对稳定者就更好.如果我们希望比拟稳定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否接近即可.

举一反三：

【变式I】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.而两

个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为

【答案】甲保护区的违规次数Xi的数学期望和方差分别为：

E(Xi)=0x03+1x0.3+2x0.2+3x0.2=1.3；

222

D(X))=(0-1.3)x0.3+(l-1.3)x0.3+(2-1.3)x0.2+(3-L3)2x0.2=1.21.

乙保护区的违规次数置的数学期望和方差分别为：

E(X2)=0^0.1+1x0.5+2^04=1.3：

D(X2)=(0—1.3)2x().l+(l—1.3)2x().5+(2—1.3)2x0.4=0.41.

因为E(X,)=E(X2),D(X,)>D(X2),所以两个保护区内每季度平均发生的违规事件次数是

相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散,

波动较大.

【变式2】根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25.有大洪水的概率为0.01,该地区某工地

上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以

下3种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3800元：

方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；

方案3：不采取措施，希望不发生洪水.

试比拟哪一种方案好.

【答案】要比拟哪一种方案好，只要把三种方案的损失的数学期望求出，哪一个小，哪一个方案就好.

用X］、X2、X3分别表示三种方案的损失.

采用方案1：无论有无洪水，都损失3800元，即X=38OO.

采用方案2：遇到大洪水时,损失2000+60000=大000(元);没有大洪水时，损失2000元，即

v162000,有大洪水

■［2000,无大洪水

60000,有大洪水

同样，采用方案3：有乂3=<1000(),有小洪水.

0,无洪水

于是，E(X,)=3800,

E(X2)=62000xP(X2=62000)+2000XP(X2=2000)=62000X0.01+2000X()-0.01)=2600,

E(X3)=60000xP(X3=60000)+l0000xP(X3=i0000)+0xP(X3=0)=60000x0.01+10000x0.25=3100.

采用方案2的平均损失最小，所以方案2好.

［高清课堂：离散型随机变量的均值与方差408737例题4】

【变式3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100

位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量1至45至89至1213至1617件及以

件件件件上

顾客数〔人)X3025y10

结算时间(分11.522.53

钟/人)

这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.

(I)确定x,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；［&%中国教育出〜版网*#］

(II)假设某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独'匕求该顾客结算前

的等候时间不理理2.5分钟的概率.(注：将频率视为概率)

【解析】(I)由，得25+y+10=55,x+y=35,所以x=15,y=20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为

总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得

X的分布为

11.522.53

X

P33J_1

20lo45lo

X的数学期望为

33111

E(X)=lx—+1.5x—+2x-+2.5x-+3x—=1.9.

20104510

)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X,(i=1,2)为该顾客前面第i位顾客的

结算时间，那么

P(A)=尸⑶=1且X?=1)+P(X,=1且X2=1.5)+P(X[=1.5且X2=1).

由于顾客的结算相互独立，且％,X2的分布列都与X的分布列相同，所以

3333339

—__x___1__x___|----x__—___

-202020101020~80,

9

故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为一.

80

三、课堂练习

一、选择题

1.设随机变量X的分布列如下表所示且E(X)=1.6,那么a—b=()

X0123

P0.1ab0.1

A0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4

2.f的分布列为

01

PPq

其中P£(0,1),那么()

[A]E《=p,D^=pq(8)E《=p,D^=p2

[OEf=q,Df=q2(D)Ef=l—p,D<=p-p2

3,随机变量X的分布列为：P(X=k)=-,k=l、2、3,那么D(3X+5)=()

3

A.6B.9C.3D.4

4.一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利SO元，生产一件乙等品可获利30元，生产一

件次品，要赔20元，这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1,那么这台机

器每生产一件产品，平均预期可获得0

A.36元B.37元

C.38元D.39元

5.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为讲

那么D?等于0

A.0.2B.0.8C.0.196D.0.804

6.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲机床生产10。0件产品中的次品数，Y表示乙机床生

产looo件产品中的次品数，经过一段时间的考杳，x、y的分布歹U分别为

X0123

P0.70.10.10.1

Y0123

P0.50.30.20

据此判断0

A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好

c.甲与乙质量相同D.无法判定

7.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒,

补种的种子数记为X,那么X的均值为0

A.100B.200C.300D.400

8.甲、乙、丙三名射箭运发动在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：

甲的成绩乙的成绩丙的成绩

，于械》蟀:云妒耳)-8910

.蟒S15s5B5<2>S,频就.s：4(0.4664

二、填空题

9.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量外、&，假设氏1=E&，D；I>D42,那么自动包

装机的质量较好.

10.随机变量彳的分布列如下：

-101

Pabc

其中a,b,c成等差数列.假设七(4)=1，那么D(?)的值是.

11.吊日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；吊后卖不出的鲜花以每束1.6元处

理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的概率分布：

X200300400500

P0.200.350.300.15

假设进这种鲜花500束，那么期望利润是______元.

12.某射手有5发子弹，射击一次，命中率是0.9,如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽

为止，设损耗子弹数为X,那么E(X)=,D(X)=.(精确到0.01)

二、解答题

13.盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放

回，直到取出2个正品为止•设《为取出的次数，求《的分布列及房

14.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出后不再放回，

假设以X和V分别表示取出次品和正品的个数.

(1)求X的概率分布、期望值及方差；

(2)求Y的概率分布、期望值及方差.

15.有甲、乙两个建材厂，都想没标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，

他们从中各取等量的样品；检查它们的抗拉强度指数如下:

110120125130135

p0.10.20.40.10.2

n100115125130145

p0.10.20.40.10.2

其中《和T］分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在要求抗拉强度不低于120的条件下，比拟甲、乙两

厂材料哪一种稳定性较好.

【答案与解析】

1.【答案】C

【解析】由0.1+a+b+0.1=l,得a+b=0.8,①又由E(X)=0x0.1+lxa+2xb+3x(M=1.6,得

a+2b=13,②由①②解得a=0.3,b=0.5,/.a-b=-0.2,故应选C.

2.【答案】D

【解析】V〜B(1,q),p+q=l.

3.【答案】A

【解析】E(X)-(1十2十3户；-2,

D(X)=K-)2+(3-2)*=23,，D(3X+5)=9D(X)=6.

4.【答案】B

【解析】由题意知每生产•件产品，平均预期可获利0.6x50+0.3x30+0.1x(—20)=37(元).

5.【答案】C

【解析】根据二项分布的方差公式：D?=10x0.02x0.98=0.196.

6.【答案】A

【解析】EX=0.7x0+lx0.14-2x0.H-3x0.1=0.6,

Er=0x0.5+lx0.3+2x0.2-3x0=0.7,

因为EX<£Y,根据随机变量X与丫各自的均值(即甲、乙两台机床生产的1000件产品中次品数的

平均值)，可知甲的次品数较少.

7.【答案】B

【解析】此题以实际问题为背景，考查的事件的均值问题.记“不发芽的种子数为V，那么f〜B(1

000,0.1)，所以E⑹=1000x0.1=100,而X=2讲故EX=E(2W)=2E曰=200,应选B.

8.【答案】B

【解析】设甲、乙、丙射中的环数依次为Xi、X?、X3o依题意对甲有：

Xi78910

P22_j_

4444

£(XI)=1X(7+8+9+10)=8.5,

2222

Z9(XI)=1x1(7-8.5)+(K-8.5)+(9-S.5)+(10-8.5)1=,耳=g=

对乙有:

X278910

P33

105510

3113

E(X)=7x—+8x-+9x-+10x—=8.5,

21()551()

31i39旷寻同理

2222

£)(X2)=(7-8.5)x—+(8-8.5)x-+(9-8.5)x-+(10-8.5)x—=—

可得邑二故S2>Si>S3o

9.【答案】乙

【解析】Eh=E&说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.D&>%2说明甲机包装重量的差异大,

不稳定.，乙机质量好.

1D.【答案】-

9

【解析】依随机变量的分布列知a+b+c=l,

21

依a,b,c成等差数列知2b=a+c,那么。+c=—,/?=-<>

33

又E(J)=；,那么-〃+c=g。

解得b=-,C=-o

632

11.【答案】706

【解析】节日期间鲜花预售量为

E(X)=200x0.20+300x0.35+400x0.30+500x0.15=40+105+120+75=340,

那么期望的利润Y=5X+1.6(500—X)—500X2.5=3.4X-450,

AE(Y)=3.4E(X)-450=3.4x340—450=706。

故期望利润为706元。

12.【答案】1.110.12

11-n

【解析】随机变量X服从超几何分布，根据公式：期望EX=一.方差—可求。

PP-

13.【解析】

每次取1件产品，，至少需2次，即f最小为2,有2件次品，当前2次取得的都是次品时，<=4,

所以6可以取2,3,4

827287142814

Pn[f《t=3)=—X-X—+-X-X—=---；Pn[f1=4)=1——4

10