2025-2026学年上海实验高二下学期数学期中试卷（含答案）（2026.5）

上实验2025-2026学年第二学期高二年级数学期中2026.5一、填空题（本大题满分40分，共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1.函数在区间上的平均变化率为______．2.在的展开式中，含项的系数为______．（用数字作答）3.、等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中、相邻，则不同的排队方法有______种．（用数字作答）4.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则______．5.某校开设5门知识类选修课和4门技能类选修课．学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有______种．（用数字作答）6.盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取3个球．设事件表示“3个球中有1个红球、2个白球”，事件表示“3个球中有2个红球、1个白球”．已知，．则“3个球中既有红球又有白球”的概率是______．7.函数的极小值为______．8.函数，的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______．9.已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为______．10.如图，在校园梯田中庭内有一块景观空地，可近似为边长为2（百米）的菱形ABCD，其中．现将对此地重做规划：①地块APMN是以A为圆心，1（百米）为半径的扇形地块，在扇形地块内种植花卉树木；②地块CDMPQ建造迷你运动角；③地块BNPQ内规划建造桌面运动区；④计划建设走道，其中点P为弧MN上任意一点，；⑤各地块前的空隙以及走道的宽度忽略不计．当观光走道弧与PQ的长度之和最小时，______．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题4分．）11.投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解：①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现1点”；③投掷前默念几次“出现6点”；投掷结果“出现6点”的可能性就会加大；④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19．其中正确的见解有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12.函数的大致图象为（）A. B. C. D.13.曲线过坐标原点的切线方程为（）A. B. C. D.14.我校期中考试要将教室按照六行六列进行布置，但考试当天发生意外，现急需将其中一个考场最后加上一个座位，如图所示．现将甲、乙等37位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（）讲台前门11213242531211142326323101522273349162128345817202935671819303637后门A. B. C. D.三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）15.（本题满分10分，第1问4分，第2问6分）已知，在处的切线与垂直，（1）求实数的值；（2）求在区间上的单调区间．16.（本题满分10分，第1问3分，第2问3分，第3问4分）为了让青少年德智体美劳全面发展，在常规教学外，我校计划利用拓展课时间增设“经纬华夏”、“戏剧表演”、“中国史传文学选读”、“生成式人工智能创意实践”、“声乐的艺术”、“电影中的心理学”六门体验课程．（1）若体验课程连续开设六周，每周一门，每门课程排一次，第一周不排“戏剧表演”，求所有排法种数；（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；（3）计划安排、、三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数．17.（本题满分12分，第1问3分，第（2）①问6分，第（2）②问3分）已知函数．（1）当时，求的展开式中所有系数的和；（2）若，且．①求的最大值．②利用导数求的值；18.（本题满分12分，第1问4分，第2问4分，第3问4分）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．（1）求曲线在的曲率；（2）求曲线曲率的最大值；（3）函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围．四、附加题19.（本题满分10分，第1问2分，第2问3分，第3问5分）将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”．（1）在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数；（2）现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率；（3）求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）．20.（本题满分10分，第1问2分，第2问4分，第3问4分）已知函数，．（1）求在内的单调性；（2）若存在，使得，求实数的取值范围；（3）已知，方程在内的根从小到大依次为，试比较与的大小，并说明理由．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；10.如图，在校园梯田中庭内有一块景观空地，可近似为边长为2（百米）的菱形ABCD，其中．现将对此地重做规划：①地块APMN是以A为圆心，1（百米）为半径的扇形地块，在扇形地块内种植花卉树木；②地块CDMPQ建造迷你运动角；③地块BNPQ内规划建造桌面运动区；④计划建设走道，其中点P为弧MN上任意一点，；⑤各地块前的空隙以及走道的宽度忽略不计．当观光走道弧与PQ的长度之和最小时，______．【答案】【解析】以点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，则，设，直线的方程为．

因为，所以，代入上式得即

所以，又的长度为，所以与的长度之和为

记，

求导得因此的单调情况如下：

因此当取最小值时，．故答案为：．二、选择题11.B12.A13.D14.B13.曲线过坐标原点的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得．设切点为，则切线斜率，切线方程为．将原点代入得，即，因为，所以，解得．所以切线斜率，切线方程为．故所求切线方程为．14.我校期中考试要将教室按照六行六列进行布置，但考试当天发生意外，现急需将其中一个考场最后加上一个座位，如图所示．现将甲、乙等37位考生安排在该考场，则甲与乙既不前后相邻，也不左右相邻的概率为（）讲台前门11213242531211142326323101522273349162128345817202935671819303637后门A. B. C. D.【答案】B【解析】总座位数为37个，甲乙两人随机就座的总排列数为，

甲乙相邻分两类：

①左右相邻：每行有5对左右相邻的座位，共6行，所以有对，所以甲乙两人在这些座位上左右相邻的坐法有种，

②前后相邻：前5列每列有5对前后相邻的座位，共5对，

第6列有6对前后相邻的座位（包括座位36和37），所以共有对，

所以甲乙两人在这些座位上前后相邻的坐法有种，

所以甲乙相邻的概率为，因此甲乙既不前后相邻也不左右相邻的概率为.故选：．三、解答题15.（1）（2）单减区间为，单增区间为16.（1）（2）（3）17.（本题满分12分，第1问3分，第（2）①问6分，第（2）②问3分）已知函数．（1）当时，求的展开式中所有系数的和；（2）若，且．①求的最大值．②利用导数求的值；【答案】（1）（2）①时，最大；②【解析】（1）当时，，令则系数和为；

（2）①若则由题意可得，所以，因为，

当时，，当时，，所以时，最大；

②若

两边求导可得，

令，则．18.（本题满分12分，第1问4分，第2问4分，第3问4分）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．（1）求曲线在的曲率；（2）求曲线曲率的最大值；（3）函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）已知，根据求导公式，可得.

将代入和，可得，.

根据曲率公式，将代入可得：

（2）由（1）可知.将代入曲率公式，可得.

令，则.

对求导，根据除法求导公式，其中，可得：令，即，因为，所以，解得.当时，单调递增；当时，单调递减.

所以当时，取得最大值，（3）已知，其定义域为.

对求导：

再对求导：因为不存在曲率为0的点，所以在上恒成立，

即在上恒成立，移项可得在上恒成立.令，则在上恒成立.

对求导：令，即，因为，所以，即

令，对求导：，所以在上单调递增.

又因为，所以存在，使得，即当时，单调递减；当时，单调递增.

所以在处取得最小值，因为在上恒成立，所以，解得.四、附加题19.（本题满分10分，第1问2分，第2问3分，第3问5分）将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”．（1）在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数；（2）现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率；（3）求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）．【答案】（1）（2）（3）当n为奇数时，有种；当n为偶数时，有种；【解析】（1）记红色为R，蓝色为B，则若只有一项（数字/颜色）与相同，则必含前面的相同项，故有种，若两项（数字/颜色）都与相同，则只要不是都不同即可，故有种，故共有种（2）不妨取作为起点，则每个点的赋值与染色方案有种，则所有方案有种,同（1）的过程，可知另外三点的点亮种数共有种，则所求概率为（3）我们对相邻两个顶点的不同点亮方式进行标记，设边的两个端点仅靠数点亮的，标为，仅靠颜色点亮的标记为，数和颜色都相同的，标为，我们有如下结论：①标不会影响点亮方式；②任意起始点的标记方法有4种；③标或的个数必为偶数.所以，点亮方法的总数是标偶数个或的的方法数的4倍.记表示不超过的最大整数.设标有的边有条，标有的边有.设求边形的所有“点亮”的方法个数为则，显然则当为奇数时，同理，当为奇数时，20.（本题满分10分，第1问2分，第2问4分，第3问4分）已知函数，．（1）求在内的单调性；（2