线性代数教材

第一章n阶行列式

在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组.为了研究〃元

线性方程组，需要把行列式推广到〃阶，即讨论〃阶行列式的问题.为此，下面先介绍全排列等知识，

然后引出〃阶行列式的概念.

§1全排列及其逆序数

先看一个例子.

引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？

显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数

字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法.因此，共有

3x2xl=6种放法.

这六个不同的三位数是：

123,132,213,231,312,321.

在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素.上述问题就是：把3个不同的元素

排成一列，共有儿种不同的排法？

对于〃个不同的元素，也可以提出类似的问题：把〃个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？

把〃个不同的元素排成一列，叫做这〃个元素的全排列，简称排列.

〃个不同元素的所有排列的种数，通常用P”表示.有引例的结果可知P3=321=6.

为了得出计算匕的公式，可以仿照引例进行讨论：

从〃个元素中任取一个放在第一个位置上，有〃种取法；又从剩下的〃一1个元素中任1仅一个放在

第二个位置上，有〃一1种取法；

这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第〃个位置上，只有1种取法.于是

Pn=n'（/?—1）.....32,1=〃！.

对于〃个不同的元素，我仅规定各元素之间有一个标准次序（例如〃个不同的自然数，可规定由小

到大为标准次序），于是在这〃个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就

说有1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.

下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.

不失一般性，不妨设〃个元素为1至〃这〃个自然数，并规定由小到大为标准次序.设

为这〃个自然数的一个排列，考虑元素=2,♦••,〃），如果比p,大的且排在心前面的元素有。个,

就说这个元素的逆序数是小全体元素的逆序数之总和

£=%+.+…+乙

1=1

即是这个排列的逆序数.

例1求排列32514的逆序数.

解在排列32514中，

3排在首位逆序数为0：

2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1：

5是最大数，逆序数为0；

1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3；

4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1；

于是排列的逆序数为

，=0+1+0+3+1=5.

§2〃阶行列式的定义

为了给出〃阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构.三阶行列式定义为:

《I《2《3

。21。22。23二。11022a33+“12a23031+。13421a32

。31。32。33

-6囚23〃32-42a2M33一卬3〃22〃3-0)

容易看出：

①11）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列.因此，（1）

式右端的任意项除正负号外可以写成。5%生生小.这里第一下标（称行标）排成标准排列123,而第二

个下标（称列标）排成PiP2P3,它是1、2、3三个数的某个排列.这样的排列共有6种，对应（1）式

右端共含6项。

②各项的正负号与列标的排列对照：

带正号的三项列标排列是：123,231,312；

带负号的三项列标排列是：132,213,321.

经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.因此各项所带的正负号可以表示为

（-1）',其中/为列标排列的逆序数.

总之，三阶行列式可以写成

%】a\2a\3

a2l。22%33Pj，

〃32。33

其中/为排列PlP2P3的逆序数，X表示对1、2、3三个数的所有排列Pi〃2〃3取和.

仿此，我们可以把行列式推广到一般情形.

定义设有二个数，排成〃行〃列的表

a”“12…a\n

a2\a22***a2n

anlan2ann.

作出表中位于不同行不同列的〃个数的乘积，并冠以符号（-1）‘；得到形如

（一1）'/"・%”⑵

的项，其中必…P”为自然数1，2,…,〃的一个排列，『为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有”!

个，因而形如(2)式的项共有〃!项.所有这川项的代数和

称为〃阶行列式，记作

为《2…％”

白21a21a2n

简记作det(4.).数a..称为行列式的元素.

按此定义的二阶、三阶行列式，与对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的.当〃=1时,

|a|=4,注意这里|a|不是。的绝对值.

例2证明对角线行列式［其中对角线上的元素都是乙，未写出的元素都是0)

4

人

一..=44…％；

儿

4

..'=(-1)244…Ar

证第一式是显然的，下面证第二式.

假设记4=《/_加，那么依行列式定义

4

4_

4an\

二…。“1=(-1)'44…4，

其中，为排列〃(〃—1)…21的逆序数，故

f=0+1+2+…+5—1).证毕

对角线以下(±)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角行列式，它的值与对角行列式一样.

例3证明下三角行列式

证由于当时，/：=0,故。中可能不为0的元素。抽，其下标应有p’Wi,即

Pi《1，〃2W2,…，p”<n.

在所有排列Pl〃2…P”中，能满足上述关系的排列只有一个自然排列12…〃，所以。中可能不为0

的项只有一项（一1）%“生2此项的符号（T）'=（T）°=1，所以

。=//22…区公

例4设

…

..............0

ak\akk

D=

Cl\C\k仇1…瓦林

%…％么[…%

即…a\k

D[=det(6f»)=.........

%…akk

一…一

D2=dct(/?..)=.........

b〃i…bm

证明D=D[D].

证记D=det(rZ(/),其中

djj=%,(i=l,…，攵；/=1,…，幻

人…=%，==•••,/?).

考察。的一般项

(一，〃…&M+1/+1…九,〃+“,

由于当时，di}=0,因此下…，勺只有在1,…，A中选取时，该项才可能不为零.而当

不在1,…，左中选取时，4+1,…，〃+”只能在％+1,…，攵+〃中选取.于是。中川能小为零的项可以

记作

（T）%s•

这里，Pj=K/=〃+|-A,而/为排列P1…〃人伏+1）…（攵+/）的逆序数.以八s分别表示排列

Pi…p*及q…%的逆序数，应有/=7+s.于是

D=E…%也…%

Pi…PMq>5

=Z（-1）%s…。%…%

PruPkL%…9〃_

=Z（T）%5…—。2

Pl…％

=E（-l）%s…”机D2

.Pl-Pl.

=Dp、.

§3对换

为了研究〃阶行列式的性质，我们先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系.

在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个

元素对换，叫做相邻对换.

定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

证先证相邻对换的情形.

设排列为〃]…勾出也…白,对换〃与力，变为q…卬比心]…显然，q…a,；这些元

素的逆序数经过对换并不改变，而〃、〃两元素的逆序数改变为：当〃时，经对换后〃的逆序数增

加I而〃的逆序数不变；当〃〉〃时，经对换后a的逆序数不变而力的逆序数减少1.所以排列

4…C7/C7外…〃〃与排列弓…碇鹤…〃”的奇偶性不同.

再证一般对换的情形.

设排列为《…4a4…〃“如…％，把它作m次相邻对换,调成q…％。叫….q…，再作m+1

次相邻对换,调成q…砧4••也,用•••%.总之,经过2m+1次相邻对换，排列4…每也…2/q…%

调成排列4…4〃4……%,所以这两个排列的奇偶性相反.

推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

证由定理1知对换的次数就是排列奇偶性变化的次数，而标准排列是偶排列（逆序数是0）,因

此得知推论成立.证毕

利用定理1,我们来讨论行列式定义的另一种表示法.

对于行列式的任一项

（T）’4八…％…。见…金,「

其中1…i…，…〃为自然排列，/为排列〃1…化…〃/…P,,的逆序数，对换元素aip,与（加成

（T）'%…区必，

这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换.设新的行标排列1…/•••一••〃

的逆序数为。，那么

（-1/-=-（-!/.故（T）'=（-1）F,于是

（一1）%5…际♦-ajp_…口恤=（一1）±勾巧.・•％力•••%・,•%,“•

这就说明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作出了相应的对换，那么行标

排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性.经过•次对换如此，经过屡次对换还是如此.于是，经

过假设干次对换，使：

列标排列P/2…P”（逆序数为上变为自然排列（逆序数为0）；

行标排列那么相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为［%…或，其逆序数为s,那么

有

（T）'—P2/=（T）s%J%2

又，假设〃,=/,那么%=i（即%/=%=%/.可见排列…夕〃由排列P1P2…P”所唯一

确定.

由此可得

定理2〃阶行列式也可定义为

Q=Z（T）"，J%…%，

其中/为行标排列Pi/A…A,的逆序数.

证按行列式定义有

记…加•

按上面讨论知：对于。中任一项（一1）'45生〃,生〃3,"《外，总有且仅有01中的某一项

（一1）%七2%…与之对应并相等；反之，对于。中的任一项（-1）&必22ap尹…4”也总有

且仅有。中的某一项（―1厂4%%%6的…4%与之对应并相等，于是。与。中的项可以一一对应并相

等，从而

§4行列式的性质

记

行列式£>'称为行列式D的转置行列式.

性质1行列式与它的转置行列式相等.

证记。二det（阳）的转置行列式

4]b}2b}n

hn\hn2'­•,%

即%=1,2,…,〃），按定义

。'=E（-1）%”2用…％.=吗,2…。几〃

而由定理2,有

O=Z（T）%M，22…3

故Df=D.证毕

由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质但凡对行成立的对列也同样成立,

反之亦然.

性质2互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号.

证设行列式

如九…3

力21^22b2n

D广

是由行列式。=del（%）交换i"两行得到的，即当时，bkp=akp；当左=，,/时，hip=ajp,

二是

二

*—

J

z

A(--1zY伉

z

f-nzYqpl

pl

z

cV

-n7qpl

其中1…，…J…〃为自然排列，/为排列Pl…Pi…Pi…P"的逆序数为/[,那么

（-iy=-（-iy',故

A=一£（一1）八4%……a加=-D•证毕

以彳表示行列式的第，行，以q表示行列式的第i列.交换两行记作—9,交换两列记作

C;CCj.

推论如果行列式有两行（列）完全相同，那么此行列式为零.

证把完全相同的两行（列）互换，有D=-D,故。=0.

性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数等于用数A乘此行列式.

第，行（或列）乘以k,记作qxZ（或5乂左）.

性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，那么此行列式的值等于零.

性质5假设行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如

〃12…（。”+即）…〃1〃

口="21生2…（〃2i+〃2i）…a2n

4“4,2•••+4，”

那么。等于以下两个行列式之和:

性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）上去，行列式的值不

变.例如以数人乘第，列加到第i列上去（记作G+h：）,有

（以数々乘第，行加到第i行上，记作士kr｝）

性质3至性质6的证明,请读者自行完成.这些性质可用于简化行列式的计算.

例5计算

31-12

-513-4

D=.

201-1

1-53-3

解

13-123-12

一c?1-53-4-84-6

021-121-1

-513-316-27

3-12

21-1

08-10

0-1015

13-12

。+»3021-1

=40.

008-10

5

0002

例6计算

3

3II

131

1113

解这个行列式的特点是各列4个数之和都是6.今把第2、3、4行同时加到第1行，提出公因子6,

然后各行减去第I行：

66661111

勺+々+弓+%勺+6

1311-：___r1311

D----------------------------0

11311131

11131113

1111

0200

=48.

0020

0002

例7计算

abcd

aa+ba-b+ca+b+c+d

D=a2a+b3a+2Z?+c4。+3Z?+2c+d

a3〃+/?6a+3b+c1Oa+6〃+3c+d

解从第4行开始，后行减前行:

abcd

0aa+ba+b+c

0a2a+B3G+28+c

0a3a+b6。+%+c

abcd

Of0aa+8a+b+c

r3f00a2a+b

00a3。+8

abcd

々一心0aa+ba+8+c

00a2a+b

000a

§5行列式按行（列）展开

•般说来，低价行列式的计算比高价行列式的计算要简便，于是，我们自然地考虑到用低价行列式

来表示高价行列式的问题.为此，先引进余子式和代数余子式的概念.

在〃阶行列式中，把元素%.所在的第i行和第./列划去后，留下来的〃-1阶行列式叫做元素的

余子式，记作M,,；记

线=(-1产％,

A,叫做元素的代数余子式.

例如四阶行列式

中元素用2的余子式和代数余子式分别为

砥

M=生3

2

A32=(-l)^/W32=-M32.

引理一个〃阶行列式，如果其中第i行所有元素除%外都为零，那么这个行列式等于与它的

余子式的乘积，即

D=.

证先证％位于第1行第1列的情形，此时

卬000

a2la22…a2n

IJ=

%42…。

这是例4中当攵=1时的特殊情形，按例4的结论，即有

。=4附「

又4=(一]严此1=加”，

从而。=4[4].

再证一般情形，此时

%…%…4”

D=0•••a-…0.

Cln\anj…ann

为了利用前面的结果，把。的行列作如下调换：把。的第，行依次与第行、第2行、…、

第1行对调，这样为就调到原来%的位置匕调换的次数为"1.再把第/列依次与第J-1列、第j-2

列、…、第1列对调，这样％就调到左上角，调换的次数为J-1.总之，经过，+/-2次对调，把为

调到左上角，所得的行列式D,=(—1)3-2D=(_])<»。,而元素均在。中的余子式仍然是为在。中

的余子式M厂

由于％位于。的左上角，利用前面的结果，有

D\=%Mij，

于是。=(—1产。=(-1产%网=为4.

定理3行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D=%4+ai2Ai2+…+67-,4,(z=1,2,•••,〃),

或。=4'+。2小产一+%4。=1,2,-一,"）.

42…卬”

证

D=

+0+--b0()+《

ait2----------1■00+0•••+ain

%ac…

如《2…%”a\\Cl\2…a\n

=+

%000ai20

aaa

L2•*,%nn2…nn

为《2.心

4-00••ain，

明/2•••凡〃

根据引理可知

。=%4++…+&A。=1,2,…,〃)

类似地，假设按列证明，可得

£>=4.+%/+•••+&&(i=1,2,…证毕

这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列

式的计算.

下面，我们用此法来计算例5的行列式

31-12

-513-4

D=.

201-1

1-53-3

我们保存％3,把第3行其余元素变为0,然后按第3行展开：

1

-1

0

0

511511

=(-严-111-1-620

-5-50-50

-622

=(-严=40.

-5-5-5

例8计算

b

b

D?"=00

0

2；

ab0

0

b

00

d

0

d0

00d

解按第1行展开,有

0b

0

b

00

+夙一1严”

d

0

0d

00

=-皿-»…=(ad-bc)D25f，

以此作递推公式，即可得

2

D2n-{ad-bc)D2{n_{}-{ad-bc)D2{n_2}-

b

=(ad-hc)n-'D=(ad-bc)n-]=(ad-bc)n.

2cd

例9证明范德蒙行列式

其中记号“n”表示全体同类因子的乘积.

证用数学归纳法.因为

11

£>2=二/一内二口（士一七），

%克2

所以当〃=2时（3）式成立.现在假设（3）式对于〃-1阶范德蒙行列式成立，要证（3）式对〃阶范德

蒙行列式也成立.

为此，设法把。“降阶：从第〃行开始，后行减去前行的为倍，有

\11…1

0/一不…五一内

1=0x2(x2-x})七（七一%）…乙（五一玉），

•・•.............................................

2…琛2(.…)

0#2(97j<U3-X,)

按第1列展开，并把每列的公医子（玉-王）提出，就有

111

羽占…X”

。,二（42一菁）（七一X）…（七一X）

上式右端的行列式是〃一1阶范德蒙行列式，按归纳法假设，它等于所有（乙-勺）因子的乘积，其中

n>i>"2.故

=（%—%）（七一%）…（七一x）n（七一巧）

nii>ji2

=n*，r）证毕

n^i>j^2

由定理3,还可得下述重要推论：

推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即

aAaA

nj\+i2j2।…TainAjn=0,"j,

或%,Aj+%%+..•+ani4,=0,'=人

证把行列式。二det(为)按第/行展开，有

即・・・%

即•••。加

ajAj\+勺242+…+CljnAjn

・・・

町a加

an\♦••

在上式中把。.换成%(火=1,…,〃)，可得

%…％”

知…am一第i行

A,」+%A/2+…+。加4“=

%…4〃一第/行

%…4〃

当iWj时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，故行列式为零，即得

%A/1+《242+…+许/川=0,(i-J)

上述证法如按列进行，可得

斯•Aj+%%+•••+4Ay=。，(iwj)证毕

§6克莱姆法则

含有〃个未知数内,修，…，%的〃个线性方程的方程组

4内+。"2+.••+〃"〃=4，

*+-2212+…+=%,

(4)

〃〃内+%2々+…+4户”=",

与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用〃阶行列式表示，即有

克莱姆法则如果线性方程组(4)的系数行列式不等于零，即

D............工0,

an\%”

那么，方程组(4)有唯一解

=2X=2.­2

5入,,,人”⑸

D~DD

其中。,(/=1,2,…,〃)是把系数行列式。中第j列的元素用方程组右端的自由项代替后所得到的〃阶

行列式，即

如24加…a\n

DJ=........................................................

an\

证用。中第，列元素的代数余子式A/,A2j,…依次乘方程组(4)的〃个方程，再把它们相

加，得

/n\n\/M\

2即%卜1+…+2%八)勺+…+/

kk-l)\氏=1/\k=l)

=Z44八

*=i

根据代数余子式的重要性质可知，上式中吃的系数等于。，而其余,(，工力的系数均为0；又，等式

右端即是。广于是

DXj=Dj,(j=1,2,•••,/?).(6)

当。工0时，方程组(6)有唯一的一个解(5).

由于方程组(6)是由方程组(4)经乘数与相加两种运算而得，故(4)的解一定是(6)的解。今

(6)仅有一个解(5),故(4)如果有解，就只能是解(5).

为证明(5)是方程组(4)的唯一解，还需验证解(5)确是方程组(4)的解，也就是要证明

ai\+《2■+…+ain需=〃,(i=1,2,…，〃)，

为此，考虑有两行相同的〃+1阶行列式

2%…ain

b\为…

(i=1,2,…，〃)，

它的值为0.把它按第1行展开，由于第1行中的代数余子式为

bl“11…^IJ+la\n

(-l),+y+,..............................

bn〃川…an.j-l4〃J+l…

二(-1)川(_1尸。=_0,

所以有0="D—ciaDx-----q“£)〃，

*=4，(i=1,2,…

即a.—Ia|•i

dD,2D

例10解线性方程组

2x)+x-=8,

25X3+x4

=9,

xi-3X2-6X4

2X2-x3+2X4=-5,

4-6,q=0.

x1+4X2-7X3

21-5107-513

e

1-30-61-30-6

D=

02-12广4-2202-12

14-7607-712

解

81-51

9-30-6

二81,

2-12

04-76

28-51

190

。2==-108,

0-5-12

10-76

2181

1-39-6

03二=-27,

02-52

1406

21-58

1-309

D,==27,

402-1-5

14-70

于是得=3,x2=-4,xy=-1,x4=1.

克莱姆法那么有重大的理论价值，撇开求解公式(5),克莱姆法那么可表达为下面的重要定理.

定理4如果线性方程组(4)的系数行列式。工0,那么(4)一定有解，且解是唯一的.

定理4的逆否认理为

定理4如果线性方程组：4)无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式必为零.

线性方程组(4)右端的自由项々，仇，…，勿不全为零时，线性方程组(4)叫做非齐次方程组，当

4,打，…,么全为零时，线性方程组(4)叫做齐次方程组.

对于齐次线性方程组

*+《2-2+…即A=°，

内+。22工2+=°，

〃〃内+。〃2々+

X=占=•••=%〃=0一定是它的解，这个解叫做齐次方程组(7)的零解.如果一组不全为零的数是(7)

的解，那么它叫做齐次方程组(7)的非零解..齐次方程组(71一定有零解，但不一定有非零解.

把定理4应用于齐次方程组(7),可得

定理5如果齐次方程组(7)的系数行列式。工0,那么齐次方程组(7)没有非零解.

定理5'如果齐次方程组(7)有非零解，那么它的系数行列式必为零.

定理5(或定理5')说明系数行列式。=0是齐次方程组非零解的必要条件.在第三章中我们还将

证明这个条件也是充分的.

例11问4取何值时，齐次方程组

(5-2)x+2y+2z=0,

•2^+(6-2)^=0,⑻

2x+(4-%)z=(),

有非零解？

解由定理5'可知，假设齐次方程组(8)有非零解，那么(8)的系数行列式0=0.而

5-A22

D=26-A0

204-2

=(5—A)(6—2.)(4—A)—4(4—A)—4(6—A)

=(5-2)(2-2)(8-A),

由0=0,得z=2、/l=5或儿=8.

不难验证，当2=2、5或8时，齐次方程组(8)确有非零解.

习题一

1.按自然数从小到