离散型随机变量的分布列超几何分布

《离散型随机变量及其分布列超几何分布》解读

一、学习目标

1.理解离散型随机变量的概念，掌握离散型随机变量的两个性质，会求离散

型随机变量的的分布列；

2.知道超几何分布，会利用超几何分布求离散型随机变量的分布列.

二、知识梳理

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做

随机变帚随机变量常用希腊字母人〃等表示

2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的

随机变量叫做离散型随机变量若€是随机变量，…>b,其中a、5是常数，则n

也是随机变量.

3.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这

样的变量就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随

机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次

序一一列出，而连续性随机变量的结果小口」以一一列出

5.离散型随机变量的分布列:

••♦・♦♦

XiX2X\

pP\Pl•••p•••

6.离散型随机变量分布冽的两个性质:

①2,…)；②R+2+••・=1.

7.超几何分布列

在含有必件次品的“件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则事件｛]=〃｝发生的

概率为：〃(1=公=号一(k=0,1,2,…，ni),其中>77=jnin{.♦/,n},且J任A；〃、

5

M、NGN,则称分布列

才01•••m

八。xxn-0

CM•CS-NLMCN-M

P•••

aCxa

为超几何分布列.

三、热点例析

题型一：离散型随机变量的概念

离散型随机变量的考查主要以客观题形式出现，主要考查对概念的理解，对概念的理

解一-是看结果是否可以有限，即是否可以一一列举，能够按一次次序列举出来的是离散型

随机变量，二是随机事件的结果能否用变量来表示.

例1.已知下列随机变量：

①10件产品中有2件次品，从中任选3件,取到次品的件数

②一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分,未击中目标得0分，用了表示该射击手

在一次射击中的得分；

③刘翔在一次110米落栏比赛中的成绩上

④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数尤

其中1是离散型随机变量的是（）

A.①②③B.②®©C.①②④D.③④

分析•：本题在于考查离散型随机变量的概念.

解,析：③中方的值可在某一区间内取值,不能一一列出，故不是离散型随机变量.

答案：C

评析：随机主量本质上讲就是以随机试验的每一个结果为自变量的一个函数，它与函

数有所不同，函数f（x）的自变量是实数x,而随机变量概念中，随机变量的自变量是试验

结果（即样本点）.

［练习］1.投掷两枚硬币，不是随机变量的为（）

A.掷硬币的个数B.正面向上的个数

C.反面向卜的个数D.IF面向卜和反面向卜的个数之差的绝对值

2.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放

问袋中，直到取到红球为止,若抽取的次数为X则表示'做网5个球”的事件为（）

N巧C.后6W4

题型二求离散型随机变量的分布列

求离散型随机变量的分布列的步骤是：首先求出离散型随机变量X的每一个取值，其

次是求每个一取值的概率，最后是列表求得分布列.

例2设离散型随机变量X的分布列为

X01234

Pm

求：(D2X+1的分布列;(2)|X-1|的分布列.

分析：首先利用离散型随机变量的性质求出勿，分别求出2m1,1|的取值，再根

据取值的概念求得各次的分布列.

解：由分布列的性质知：0.2++++0=1,•,・???=.

点评：在求离散型随机变量的分布列时要明确随机变显所取的每一个值表示的意义是

关键,

［练习］3.［2013•衢州质检］随机变量I的概率，分布规律为P(D=,

K\K\~1)

£〈舄)的值为()

k=l,2,3,4,其中。是常数,则

4.随机变量才的分布列如下:

X-101

Pabc

其中a,b,。成等差数列，则2(|4|=1)=

题型三超几何分布的应用

超几何分布作为常见的一种分布列，它是新课标高考的高频考点之一，它主要应用于

一件事下的两类不同的形态中，即红球与白球，正品与次品等.

例3.［2013•孝感模拟］袋子中装有大小、形状完全相同的勿个红球和〃个白球，其

中勿，〃满足〃》启2且叶后10(/〃，〃£N+),°若从中取出2个球，取出的2个球是同色的

概率等于取出的2个球是异色的概率.

(1)求力,〃的值;

(2)从袋子中任取3个球，设取到红球的个数为X求才的分布列.

分析：根据题设条件与组合数性质，求出m,n的值，要注意於〃22,/叶〃W10这个

条件.

解：(1)依题意得与华=詈，即(加一〃)2=/〃，则加+〃是完全平方数.

l/cH/?VcH-/?

又///>〃22,m-\-nW10,/.///+n=9,m—n=3,

ni=6»n—3.

(2)一的取值为0,L2,3,

/、C；1、CoCj3

'(1=0)=-^=—；W=D=二=«；

/V=2)=警=//V=3)

U9ZOLgZ1

1的分布列为

X0123

13155

P

84142821

评析：超几何分布重点是记模型，而不是死记公式，它的数学模型是：在含有J/件次

品的N件产品中，任取〃件，其中恰有力件次品，则事件｛1=用发生的概率为：〃(1=4)=

k

(k=0,1,2,ni),其中加=jnin{J/,〃},且〃WA；J怎A]〃、MARM.

LN

［练习］5.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用,

用完后装回盒中，此时盒中旧球个数¥是一个随机变量，则〃(¥=4)的值为().

6.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到

7

1个白球的概率是五

(1)求白球的个数；

⑵从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.

［练习参考答案］

1.A.提示：掷硬币的个数为2,不是随机变。量；正面向上的个数为0,1,2,是随

机变量；反面向上的个数为0,1,2,是随机变量；正面向上和反面向上的个数之差的绝

对值为0,2,是随机变量，故选A.

2.C.提示：第一次取到黑球,则放回1个球，第二次取到黑球,则放回2个球……共

放了五回，第六次取到了纥球，试验终止，故人6

cccr515

提示：由题意，得工+而+右，即。=，于是与《才<+网

3.D.Zo5+1ZZU=147LZ3=2(1=1)1=2)

cc2255门

=2+6=3C=3X4=6>故达D-

21

4.示提示：*：a,b,c成等差数列，••・26=a+c.又a+Z?+c=l,/.b=~,

oo

»**Pi,IX\=1)=a+C=T.

j

5.提示：用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量.当1=4时，说明

r’d?7

取出的3个球有2个旧球，1个新球，・・・/V=4)=才=无，故选C.

V|2ZZU

6.解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A,

「7

设袋中白球的个数为X,则P(A)-1一卷一点得至iJx-5.

(2)X服从超几何分布，其中N=10,M=5,n=3,其中P(X=k)=k=0,1,2,3.

于是可得其分布列为

X0123

1551

P

12n12T2

《条件概率与独立事件、二项分布》解读

江西省于都县第二中学谢才兴邮编：342300

一、学习目标

1.了解条件概率的概念，理解并掌握条件概率的公式，并能应用公式作相关概率

的计算.

2.理解两个事件相互独立的概率公式，会判断两件事是否为独立事件，并了解互

斥事件与独立事件的区别与联系.掌握独立事件的计算公式，并能利用公式解决相关

问题的概率.

3.理解并掌握二项分布及其概率公式，能运用这一公式解决一些简单的实际问

题.

二、知识梳理

1.对于两个事件A与&如果尸(力)>0,称P^\A)=今需，为在事件A发生

的条件下事件夕发生的条件概率.

2.相互独立事件

(1)概念：如果两个事件力与6满足等式〃(45)=八月)尸(③，称事件力与6是相互独立

的，简称/与氏即：若A的发生与B的发生互不影响，则称力、8相互独立.

(2)性质:若力与6相互独立,则一(4"=尸(4)尸0®.

(3)若/I与8相互独立，则力与8,A与&［与8也都相互独立.

3.二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p.那么在n次独立重复试验中这个事件恰好

发生k次的概率是P(X=k)=C»%i,其中k=0,1,2,3,…，n,q=l—p.于是得到随

机变量X的概率分布如下：

X01•••k•••n

八00nZIn—1•••小kn-k•••n0

PCnPqCnpqC„pqC,.pq

由于CHq'i恰好是二项展开式(p+q)n=C：p'd+Cdqi+…+CSqi+…+C：PY中

的第k+1项(k=0,1,2,…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X-B(n,

P).

4.“互斥”与“相互独立”的区别与联系

相同点不同点

都是描绘两个①“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”①独立事件的公式：

事件间的关系强调一个事件的发生与否对另一事件发生没有影P(AB)=P(A)P(B)

响.②互斥事件的公式：

②“互斥”的两个事件可以“独立”，“独立”P(A+B)=P(A)+P(B)

的两个事件也可“互斥”

三、热点例析

题型一条件概率的应用

条件概率公式揭示了条件概率*0用与事件〃(用，/月0之间的关系，为了方便也常将

公式变形为乘法公式：H4而二〃(〃力)KA),另条件概率主要有两种求法，一种是列举筛

选法，二是公式法.

例1.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个

黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以Al,A2和A3表示由甲罐取出的球是红

球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事

件.则下列结论中正确的是()

25

①P(B)=m②P(B|Al)=h；③事件B与事件Al相互独立；④Al,A2,A3是两两互斥

o11

的事件；

A.②④B.①@C.②③D.①④

【分析】由题意知P(B)的值是由Al,A2,A3中某一个事件发生所决定的，故①③错

1XA

误;VP(B|Al)=-；故②正确；由互斥事件的定义知④正确，故正确

I1/111

2

的结论的编号是②④.

【答案】A

【点评】本题考查了条件概率、互斥事件与独立事件等概念，其中条件概率的计算采

用了公式法.

【练习】1.(2013•聊城模拟)某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知

开关第一次闭合后出现红灯的概率是:，两次闭合都出现红灯的概率为g.在第一次闭合后出

现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为.

2.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A="取到的2个数之和为偶数”，事件B=

“取到的2个数均为偶数”，则狄可力=()

题型二利用独立事件概率公式解决实际问题

应用相互独立事件同时发生的概率公式的解题步骤为：①确定各事件是相互

独立的；②确定各事件会同时发生；③先求每个事件发生概率，再求其积或和.

例2.有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型股子(各面上分别有1,2,

3,4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第2,3)关时，需要抛掷〃

次骰子，当〃次骰子面朝下的点数之和大于一时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则

停止闯关.每次抛掷骰子相互独立.

(1)求仅闯过第一关的概率；

(2)记成功闯过的关数为，，求，的分布列.

【分析】每次抛掷骰子都是相互独立的，；因此应根据独立事件方法求解.

R69

【解】⑴记"仅闯过笫一关的概率”这一事件为人则

410

19

(2)由题意得，2的取值有0,1,2,3,且P(&=0)=不P(&=1)=访，P(8=2)

iM泊焉，p("3)=1假・+岛，即随机变量1的概率分布列为

€0123

940575

p

43210241024

【点评】使用独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件一一各个

事件是相互独立的，而且它们同时发生，另当遇到“至少”、“至多”等词语时，常考虑

其对立事件.

9Q

【练习】3.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为三和木两个零

JT

件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为______.

4.某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为1该目标分为3个不同的部分，第

一、二、三部分面积之比为1：3：6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正

比.

(1)设才表示目标.被云中的次数，求X的分布列：

(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2

次”，求尸(4.

题型三二项分布的应用

二项分布是i种常见的离散型随机变量的概率分布，它应用十分广泛，利用

二项分布解决实际问题关键在于在实际问题中建立二项分布模型.

例3.某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每

张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至

少摸到•个红球则中奖.

(1)求一次抽奖中奖的概率；

(2)若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖

金额之和M元)的概率分布.

【分析】(1)是超几何分布问题，(2)是二项分布，这两间极易混淆，解题时要十分注意.

【解】⑴设"一次抽奖中奖”为事件儿则/(冷=宜鲁二焉=*

Ue□

(2)X可取()，1(),20,

p(/=o)=2=,P(X=IO)=C；Xx=,p(y=2())=2=.

X的概率分布列为

X01020

P

【点评】利用二项分布概率公式时要看他是否满足三个条件：(1)在一次实验中事件

A发生的概率是一个常数P；(2)〃次实验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，

而且各次结果是相互独立的；(3)公式产(1=4)=4//7表示n次试验中事件/!恰好发生

4次的概率.

【练习】5.设随机变量f〜8(2,p),〃〜8(4,p),若P(£21)=3，则P(〃22)

的值为()

6.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里

装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸

出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)

(1)求在1次游戏中，

(i)摸出3个白球的概率;

(ii)获奖的概率；

(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列.

【配套练习参考答案】

1.提示：“第一次闭合后出现红灯”记为事件A,“第二次闭合后出现红灯”记

O

[16]

为事件B,则P(A)=w，P(AB)=-AP(B|A)=T=-

2

r2-j-c?4c2i

2.B.提示：9)=%二=e，汽阴=消=而由条件概率计算公式，得P(例用=

1

PABW1

pA-=T=?

To

3.提示：设事件4甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零

9一

件为一等品，则pa)=予p(⑼=;所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：(B)

*54PA

———93935

+P(A&=P(QP(B)+P(