统计概率解答题新考点答案

统计概率解答题新考点答案

【例19】(2024.浙江宁波高三期末)某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需

要花费10元现有以下两种方案方案一没有保底机制每次抽卡抽中新皮肤的概率为小；

方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为P2,若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤.已

知0VP2VV1，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X,

卜(元).

⑴求X,y的分布列；

(2)求E(X)；

⑶若小=2P2=0.02,根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案.(参考数据：

O.99100«0.37.)

【答案】⑴P(X=fc)=(1-Pl)*%T€N*,P(y=幻=

(1_p2)'-"2，,£N*,k3990

(1-p2)",/c=1000

⑵E(X)喂

(3)选择方案二

【分析】(1)根据独立事件和对立事件的概率公式求出P(X=k),

(2)结合错位相减法可求期望，

(3)由已知条件依次求得E(X),E(Y)，根据数学期望即可给出选择方案.

【详解】(1)X可取值10,20,30,…,，y可取值10,20,…,1000,

当X=k时，摸球次数为4,没有抽中新皮肤的概率为1-P1，

故P(X=幻=(1-4WN1

p(y=k)=|(l_p2)Ep2,3N»W990

(l-p2)",/c=1000

(2)令4=£之i£(1一小)，一】，

则(1-pi)4=2?=it(l-Pi(，故Pi/=1+(1-Pi)+(1-Pi)2+(1-Pi)"T

n

n(l-P1),

整理得到PM=若些-几(1一Plr.

Pl

所以一旦空，

PiP.

若玩家按方案一抽卡，花费〃元时抽到皮肤，则抽取次数为卷，

而P(X=S)=P1(1-Pl)五T,其中裔WN*,swk.

则£(X)=域s(l-p」Tpi=10p]£/外(i-内向】

ll-(l-pi)io上_

=10^---------k(l—pt)io,

因为玩家按方案一抽卡次数无限制，

且当"->+8时,k(l-pl茄->0,(1-pl石->0,

所以E(X)=R

Pi

(3)Pi=2P2=0.02,即Pi=0.02,p2=0.01,

由(2)可得故E(X)=^=500；

若玩家按方案二抽卡，贝W可取值10,20,…,1000,

且P(y=0=0.01x0.99.1,其中:10,20,-,990,

P(Y=1000)=0.99",

故E(y)=1000X0.99"+10£氏1(kx0.01x0.99%】)，

99

=1000x0.99"+0.1x](kx0.99k-1)

k=l

/I-0.99"99x0.99"\

=0.1x\0.0120^01)+1000x0.99"

=1000(1-0.99")-990x0.99"+1000x0.99"

=1000-990x0.99"

0.37

X1000-990630

因为E(X)<E(y),故选择方案二.

【变式19-1](2024.高三期末)设离散型随机变量X和y有相同的可能取值，它们的分布

列分别为P(X=(2k)=xk•PW=Qk)="，>0，为>0，k=1,2，…，几£2=14=

2k1枚=1.指标。(XL]y)可用来刻画X和y的相似程度,其定义为。(x匚丫)=

£2=18如1.设X〜8(〃,p),0<p<1.

⑴若y~B(7i,q),0<q<l,求D(X匚丫)；

(2)若71=2,P(y=k-1)=：#=1,2,3,求。(XDQ的最小值；

⑶对任意与X有相同可能取值的随机变量L证明：D(xn>0,并指出取等号的充要条件

【答案】⑴印]口黜+而三

q(l-p)1-q

(2)ln3-|ln2

(3)证明见解析

【分析】(1)利用定义，结合二项分布的概率公式与对数的运算法则即可得解；

(2)利用定义，结合对数的运算法则得到D(X||Y)关于P的关系式，再利用导数求得其最小

值，从而得解；

(3)先利用导数证得恒不等式Inx>1-i,从而结合定义即可得证.

【详解】(1)不妨设以二k,则无k=CnPk(l-=Cq"(l-q)n~k.

所以以x||y)=2'c纷(1-aFn需募

nn

=In•VkUpk(i-pyi+川“E•2dpk(l-p)…

q(-p)念i—q念

=nplnM+nlnlz£.

Q(I-P)-q

(2)当71=2时，P(X=2)=p2,P(X=1)=2P(1-p),P(X=0)=(1-p)2,

记f(P)=。('|卜)=p21n3P2+2P(1—p)ln6p(l—p)+[1—p)21n3(1—p)2

=p21np2+2p(l—p)ln2P(1—p)+(1—p)2ln(l—p)2+ln3,

则:(p)=4plnp+2p+(2—4p)[ln2p(l-p)+1]—4(1—p)ln(l-p)-2(1—p)

=2[lnp—ln(l—p)+(1-2p)ln2],

令g(p)=Inp-ln(l-p)+(l-2p)in2,则g'(p)=g+士一21n2>0,

pl-p

令*(P)=>匕一21n2,则/(p)=忐,

当0<pVg时，@<p)<0,?(p)单调递减；

当g<pV1时，d(p)>0,9(p)单调递增；

所以8(p)>9g)=4-21n2>0,则g(p)单调递增，而gQ=0,

所以f'(p)在(0，)为负数.在e，。为正数，

则f(p)在(0,以单调递减，在©,1)单调递增,

所以D(X||Y)的最小值为岳3-|ln2.

(3)令h(x)=lnx-x+1,则"(幻=§-1=?,

当0<x<1时,〃(%)>0,九(%)单调递增；

当。>1时，//(%)<o,九(%)单调递减;

所以九(x)Wh(1)=0,即Inx-x+1<0,当且仅当x=1时，等号成立，

则当”>0时,Inx<x-1,所以In乙<--1,即Inx>1--,

XXX

故D(X||Y)=>xfcln^>yxk(1-=££=1(必一”)=a=14-Eki%=o,

当且仅当对所有的乜5=”时等号成立.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义指标。3口丫)，熟练掌握对数的运算

法则即可得解.

【变式19-2](2024.安徽省.高三模拟)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方

的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋

或4袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是:，彳.设小球向左

JJ

的次数为随机变量X.

⑴求随机变量X的概率分布列；

⑵分别求出小球落入A袋和B袋中的概率.

【答案】(1)分布列见解析

⑵小球落入4袋和B袋中的概率分别为等彳

JJ

【分析】(1)易得X〜B(3,|),根据二项分布可得出答案；

(2)小球落入A袋则小球一直向左或一直向右，从而可求出小球落入A袋的概率，再利用

对立事件的概率公式可求得小球落入B袋的概率.

【详解】(1)解：由题意可知,X~B(3,|),其中将向左的概率看成成功概率,

则P(X=/)=*仔)飞户出=04,2,3)，

(2)解：小球落入A袋的概率PG4)=P(X=3)+P(X=0)=,

小球落入B袋中的概率P(8)=1-；=|,

所以小球落入A袋和8袋中的概率分别为彳和也

【变式19-3】(2024.安徽省.高三模拟)我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依

赖进口,2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产

业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展.2023年9月该公司最新发布的智能手

机零部件本土制造比例达到」90%,以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为

提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，

同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测.下面

是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分魏总分1000分，分数越高质量越好)928、

933、945、950、959、967、967、975、982、994.假设该生产线生产的零部件的质量分数

X近似服从正态分布N(〃,202),并把这10个样本质量分数的平均数R乍为〃的值.

参考数据：若X〜NO，M),则考〃-a<X<n+a)0.68.

⑴求〃的值；

⑵估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940?

⑶若从该生产线上随机抽取〃个零件中恰有6个零部件的质量分数在［940,980］内很"为何

值时，P(f=10)的值最大？

【答案】(1)4=960

(2)160

(3)n=14

【分析】(1)由均值定义计算；

(2)由已知得X〜N(960,202)，根据正态分布的概率性质计算概率；

(3)由题意f〜玖几0.68),则P(f=10)=Ci°xO.6810x0.32吁】。,记其为f(n),然后用

作商法求得最大值时的九值.

28+33+45+50+59+67+67+75+82+94

【详解】(1)元=900+=960,

所以〃=960.

(2)由(1)知,X〜N(960,202),

P(X<940)=P(XV〃-0)=IT3f=0.16.

22

该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为

0.16X1000=160.

(3)每个零部件的质量分数在［940,980］内的概率为/>0，-。工乂工〃+(7)。0.68,

由题意可知6〜8(几,0.68),

则P(f=10)=Cj0xO.6810xO.32n-10,

设f(n)=Ci0xO.6810xO.32n-10(n>10),

/(n+1)_C黑1X0.6810x0,3220.32刀+0.32

则O1n10

/(n)-C；lxO.68°xO.32-n-9

令照3>1,得几〈丝、13.7,

n-9b0.68

所以当n<13时,f(n+1)>所?i),

令"空<1,得n>急、13.7,

所以当九>14时,f(n+1)<f(h),

所以n=14时，八九)最大，故使P(f=10)最大的〃的值为14.

【变式19-4］(2024.浙江温州高三期末)现有标号依次为1,2，…，〃的〃个盒子，标号

为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒

子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到

从九-1号盒子里取出2个球放入〃号盒子为止.

⑴当n二2时，求2号盒子里有2个红球的概率；

⑵当〃=3时，求3号盒子里的红球的个数f的分布列；

⑶记〃号盒子中红球的个数为Xn,求X”的期望.

【答案】(1)|

(2)分布列见解析

⑶E(X”)=2

【分析】(1)由古典概率模型进行求解；

(2)6可取1,2,3,求出对应的概率，再列出分布列即可；

⑶记即7为第n(n>2)号盒子有三个红球和一个白球的概率，则％=,

为第n(n>2)号盒子有两个红球和两个白球的概率，则瓦=|,

则第以n>2)号盒子有一个红球和三个白球的概率为1-Qn-i-b-1，且%-1=|b-2+

\an-2+；(1-an-2~^n-2)(nN3),化解得b-i=\^n-2+7，即可求解.

ZZOZ

【详解】(1)由题可知2号盒子里有2个红球的概率为P=要="

J3

(2)由题可知何取1,2,3,

P(f=l)=£|x£|+零

j)C：C：ci以36,

P(，=3)唱x|^+罟x|喘

=2)=1-P(f=1)-=3)=,

所以3号盒子里的红球的个数自的分布列为

TFF1

TjiNZI

361836

(3)记即_i为第Mn>2)号盒子有三个红球和一个白球的概率，则臼=：,

为第九5>2)号盒子有两个红球和两个白球的概率，则