考研数学三（线性代数）模拟试卷113

考研数学三(线性代数)模拟试卷113

一、选择题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

1、设A,B为n阶矩阵，则下列结论正确的是().

A、若A,B可逆，则A+B可逆

B、若A,B可逆，则AB可逆

C、若A+B可逆，则A-B可逆

D、若A+B可逆，则A,B都可逆

标准答案：B

知识点解析：若A,B可逆，贝IJ|AI翔，IBI和，又IABI=IAIIBI,

所以IABI#0,于是AB可逆，选(B).

2、设A,B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O,则().

A、r(B)=n

B、r(B)<n

C>A2-B2=(A+B)(A-B)

D、IAI=0

标准答案：D

知识点解析：因为AB=0,所以r(A)+r(B)Sn,又因为B是非零矩阵，所以

r(B)>l,从而r(A)<n,于是IAI=0,选(D).

3、设向量组(X|,。2，…，Ctm线性无关，”可由。1，。2，…，dm线性表示，但彷

不可由ai,ai,...»am线性表示，则().

A、aj,aj,...»am-i，由线性相关

B、ai,a2，...»am-i，pi»例线性相关

C、ai，012，…，am，01+。2线性相关

D、ai，ai，...»am，仇十的线性无关

标准答案：D

知识点解析：(A)不对，因为由可由向量组外，a2,…，am线性表示，但不一定

能被ai，a2，…，am-l线性表示，所以a],(X2，…，am，am-l不一定线性相

关；(B)不对，因为a1，(X2，…，am1，由不一定线性相关，02不一定可由四，

a2，…，am-i，线性表示，所以川，(12，…，a门-1，01，俄不一定线性相关；

(C)不对，因为能不可由cq,。2，…，am线性表示，而01可由a],a2，…，小线

性表示，所以01+。2不可由外，a?,…，am线性表示，于是四，(12，…，anvPi

+。2线性无关,选(D).

4、设A是mxn阶矩阵，下列命题正确的是().

A、若方程组AX=O只有零解，则方程组人*=1)有唯一解

B、若方程组AX=O有非零解，则方程组AX=b有无穷多个解

C、若方程组AX=b无解，则方程组AX=O一定有非零解

D、若方程组人*=6有无穷多个解，则方程组AX=O一定有非零解

标准答案：D

知识点解析：

71+x2=0,产1+5=1，

方程组——0»只有零解，而"工IXi=2,无解，故(A)不对；

12为+21r2=02xj+2x2=3

j7]T-79=0.|

方程组,有非零解•而i-无解，故(B)不对:

125卜一0(2.Z?1+24=3

产I+.七=1,fX|+4=0，

方程组产及=2,无解叫1]~=0,只有零解，故(C)不对；

2xi+2.n=3、2*i+2七=0若

八*=1^有无穷多个解，则r(A)=r(A)<n,从而r(A)〈n,故方程组AX=O一定有

非零解，选(D).

5、n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是().

A、A无负特征值

B、A是满秩矩阵

C、A的每个特征值都是单值

D、A)是正定矩阵

标准答案：D

知识点解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正

定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常

数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件乂不是必要条件；显然(D)

既是充分条件义是必要条件.

6、设A,B为三阶矩阵，且特征值均为-2,1,1,以下命题：(1)A〜B；(2)A,

B合同：(3)A,B等价：(4)IAI=IBI中正确的命题个数为().

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：B

知识点解析：因为A,B的特征值为一2,1,1,所以IAI=IBI=—2,又因

为r(A)=r(B)=3,所以A,B等价，但A,B不一定相似或合同，选(B).

二、填空题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

7、设三阶方阵A=[Ai，A2,A3],其中Ai(i=l,2,3)为三维列向量,且A的行

列式IAI=-2,则行列式I—AL2A2，2A2+3A3，—3As+2AiI=.

标准答案：12

知识点解析：由(-A1—2A2,2A2+3A3,—3A3+2AI)=(A|,A?»Aj)

一102

—220

03-3)得

I-Ai—2A2，2A2+3A3,—3A3+2A1I

-1002

=IAi.A?>A3I•-222-4=12.

033-3

=4,则l("=

8、设A是三阶矩阵，且IA

标准答案：2

知识点解析：'u24/r=2A-1I=23IA-1I=2.

300

140

°3),则(A—2E)R=

9、设A=°

100

2

标准答案：001]

知识点解析:

10O'

A2E120

001

100001001001

而（A—2E：E）=120010020110

[001001[001001

‘100100

01020

~2~2

、001001

100

则（A—2E）1=220

12

001J

10000、

00100

10、010-201则p/OO9P2-1=

P2

11、设A为n阶矩阵，且IAAk#O,则AX=0的通解为.

标准答案：C(Aki，Ak2…，Aki，..,Akn)T(C为任意常数)

知识点解析：因为|A1=O,所以r(A)Vn.又因为AgO.所以r(A*巨1.从而

r(A)=n—1.AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=IAIE=

0.所以A*的列向量为方程组AX=0的解向量，故AX=0的通解为C(Aki，

Ak2…,Akn)T(C为任意常数).

12、设A为n阶可逆矩阵，若A有特征值X，则(A*)2+3A*+2E有特征值

…(?)+3用+2

标准合案：\儿,Ao

IAI

知识点解析：因为A可逆，所以前翔，A“对应的特征值为Ao,于是(A')2+3A，

(1A1\2+3LA」+2

+2E对应的特征值为'Ao/Ao

13>二次型f(X|,X2，X3)=(X1—2X2)?+4X2X3的矩阵为.

1-20

一242

标准答案：A=l。2oj

知识点解析：因为f(xi，X2，X3)=X12+4X22—4X1X2+4X2X3，所以A=

1-20

一242

020

14、设三阶矩阵A的特征值为人|=一1,入2=0,入3=1，则下列结论不正确的是

().

A、矩阵A不可逆

B、矩阵A的迹为零

C、特征值一1,1对应的特征向量正交

D、方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量

标准答案：C

知识点解析：由Q=—1,入2=0，九3=1得IAI=0,则r(A)V3,即A不可逆，

(A)正确；又入i+12+入3=tr(A)=0,所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单

值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2,从而AX=0的

基础解系仅含有一个线性无关的解向量，①)是正确的；(C)不对，因为只有实对称

矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C).

三、解答题(本题共72题，每题1.0分，共72分。)

423,

110

15、设AX=A+2X,其中A=-123J求x.

223

1一10

标准答案：由AX=A+2X得(A—2E)X=A,其中A—2E=121

为IA—2EI=­1#),所以X=(A—2E)「A,

2234231一10110

由（人A)=1—10110f223423

-121-12321-123

1101101-10110

-A043203-011033

011033043203

11011。；1003一8-6

0110331—>010w—96

0012-12-9,001—J?129

3―8-6

得/=2-9—6

-2129

知识点解析•：暂无解析

16、设A为n阶矩阵，且Ak=O,求(E-A「L

标准答案：Ek-Ak=(E-A)(E+A+A2-|-...+Ak-,),又Ek-Ak=E,所以(E-A)

।=E+A+A?+…+A及1.

知识点解析：暂无解析

17、设a],…，am为m+1个n维向量，p=ai+...+am(m>1).证明：若

ai，...»am线性无关，则。一囚，…，。一am线性无关.

标准答案:令ki(p—ai)+...+km(0—am)=O,即k|(a2+a3+…+am)+...+km(ai

+a2+…+叫”一])=0或*2+k3+…+km)ai+(k।+k3+…+km)a2+…+(k]+k2

+…+km-i)am=0,因为ai，…，am线性无关，所以

龊+卜3----=0、01-1

自+上3—・•■十&«,=0,10…1

■■•■•■

•■*•■

皆+&+…+心7=0，因为11…0=(-1)m[m—1)川，所

以k]=~=km=0，故p—Cl],…，0—dm线性无关.

知识点解析：暂无解析

18、设四，a”…，anPpi，。2，…，am，Y线性无关，而向量组囚，（12，…，

am,丫线性相关.证明：向量了可由向量组al，012，…，am,pi,能，…，诙线性

表示.

标准答案：因为向量组ai，（X2,…，am，pH02,…，Bn线性无关，所以向量组

ai，a2，…，am也线性无关，又向量组四，。2，…，am，y线性相关，所以向量丫

可由向量组四，（12，…，am线性表示，从而丫可由向量组ai，a2，...»ain,pi，

02，…，Pn线性表示.

知识点解析：暂无解析

21

1I

ai=

5

19、10,求极大线

性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出.

标准答案：

103121031240312]

-130-21033-13033-13

令A=A

17250110101101

4214010J000-40.0001oJ

10312)(10302）

0110101101

今

00010J0000ai，（X2，04为一个极大线性无

关组,03=3。1+〃2,。5=2。1

知识点解析：暂无解析

20、设n阶矩阵A=（ai，a2,即）的前n-1个列向量线性相关，后n—l个列

向量线性无关，且ai+2a2…+（n—l）ctnT=Ob=ai+012+…+an.（1）证明方程

组AX=b有无穷多个解；（2）求方程组AX=b的通解.

标准答楚⑴因为r（A）=n—1,又b=ai+a2+...+an，所以乂A）=n—1,即

r（A）=r（A）=n—1Vn,所以方程组人*=1）有无穷多个解.（2）因为aj+2a2+...+

（n-l）an-i—0,所以ai+2a2…+（n-1）an-i+0an—0,即齐次线性方程组AX=0

有基础解系4=（1,2,...»n-1,0）T,又因为b=ai+a2…+an，所以方程组AX

=b有特解r|=（l,1,…，19，故方程组AX=b的通解为k《+r|=k（l,2,n

—1,0）丁+（1,1,…，l）T（k为任意常数）.

知识点解析：暂无解析

200,

111

21、设A=h-13,求A的特征值，并证明A不可以对角化.

A-200

—1A-1-1

标准答案：由I入E—Al=-11入一3=（九一2）3=o得九=2（三重），

因为r（2E—A）=l,所以入=2只有两个线性无关的特征向量，故A不可以对角

化.

知识点解析：暂无解析

1

0

22、设a=-1,A=aa*,求I6E—AnI.

10-r

000

11

标准答案：由An=(aaT)...(aaT)=2n-,101J得I6E—A|=6?(6-

2n).

知识点解析：暂无解析

23、设三阶实对称矩阵,了勺特征值为入]=8,入2=入3=2,矩阵A的「二；征值均

1

1j0,

=8的特征向量为备=属于特征值入2=入3=2的特征向量为42=,求属

于12=九3=2的另一个特征向量.

标准答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有备&2=一।

,.[xl

+k=0=出=1=心=8对应的特征向量为a=.令入2=入