考研数学三（微积分）模拟试卷87

考研数学三（微积分）模拟试卷87

一、选择题（本题共〃题，每题1.0分，共“分。）

1、设J-0时，（1+smx）_1是比xtanx11低阶的无穷小，而xtanx11是比/山|）瓜

（1+x）低阶的无穷小，则正整数n等于（）

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：B

知识点解析：当时，

x—O(1+sinx)X—[〜]时(l+sinx)x—l+l]=xln(1+sinx)〜

xsmx〜x2,（。乩-l）ln

n+l

(1+x)—sln~x而xlanx"〜x.x=xo因此2Vn+lV

4,则正整数n=2,故选B。

2、设f（x）在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f（0）=0。

夕⑴⑴市，“0.

X一"则（p（x）在x=0处（）

A、不连续

B、连续但不可导

C、可导但㈠（x）在x=0不连续

D、可导且（p，（x）在x=O连续

标准答案：D

知识点解析：因为

o

lim^>(x)=lim嬴金亍呵噗9°)=°=。(°)，

所以Mx)在#=o连续，

%六0时，

z7（x）-2X[tf（t）dtf）2伽）dt

（pf（x）=----------=—-----------；-----

1

d（0）=lim=li痣=犷（0）,

■7X-0

则有*3

=广(0)-2lim

i3x

2I

=广(。)-fr(o)=fr(o)。

因

此8(x)在x=0连续。故选D。

3、设y=f(x)在(a,b)可微，则下列结论中正确的个数是()①xoE(a,

b),若f(xo)rO,则Ax—►()时dy|x=xO与Ax是同阶无穷小。②df(x)只与xE

(a,b)有关。③ay=f(x+Ax)—f(x),则dy%y。④ax—时，dy一AyMAX

的高阶无穷小。

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：B

..广c

lim—-----=Jim----；-----

知识点解析：逐一分析。①正确。因为I&XA*=F(X0)#)，

因此―一。时dy|x=xO与Ax是同阶无穷小。②错误。df(x)=f(x)Ax,df(x)

与x6(a,b)及Ax有关。③错误。当)，=f(x)为一次函数，f(X)=ax+b,则

dy=aAx=Ayo④正确。由可微概念知f(x+z\x)—f(x)=f(x)Ax+o(Ax)

(Ax-*0),即Zky—dy=o(Ax)(Ax—>0)。故选B。

(A)/(0)是极大值,f(个)是极小值的是，)

(B)f(O)是极小值,/瞪)是极大值

(C)/(0)是极大值J瞪)也是极大值

(D)/(0)是极小值,/号)也是极小值

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

广(0)=0./,(v)=0，

知识点解析：f(x)=slnx+xcosx—slnx=xcosx,因此工又

f(x)=cosx-xsinx,日/⑼=।瞪)=-六°'故f(。)是极小

值，八2,是极大值。应选B。

1-^—()

5、曲线y=l—x+73+x

A、既有垂直又有水平与斜渐近线

B、仅有垂直渐近线

C、只有垂直与水平渐近线

D、只有垂直与斜渐近线

标准答案：A

知识点解析：由偏导数定义，有

/；(0,0)=-/(°?°)=lim=^=0,

A»-OAx旗-0Ax

由对称性知/；(0,0)=0,而

]./(Ax,Ay)-/(0,0)-[/；(0,0)A%4-/；(0,0)Ay]

lim—・■・・....................’---------------

贪；八)'—

=lim丝”―

口2

ay-(Ax)+(Ay)

上式极限不存在。

事实上，

1-AxAy=1.M_________k

比2(堤)2+(Ay)2(AX)2+*(AX)2-1+必

故f(x,y)在(0,0)点不可微。应选Bo

8、设f（x,y）与＜p（x,y）均为可微函数，且物（x,y）和。已知（x（）,yj）

是f（x,y）在约束条件（p（x,y）=0下的一个极值点，下列选项正确的是（）

A、若fx（xo，yo）=0，则fy（xo，yo）=0

B、若fx（xo,yo）=0,则fy（x（）,yo）#0

C、若fx'（xo,yo）翔，则fy（xo,yo）=0

D、若fx（xo，yo）和，则fy（xo，yo）翔

标准答案：D

知识点解析：令F=f（x,y）+入（p（x,y）,

产=f'G,y）+人武（7）=o,(1)

卜;=/；（“）+43；（7）=0,

(2)

।匕二6（叫外=0o

若fx(xo，yo)

=0,由（1）得九=0或（px（xo，yo）=0o当入=0时，由（2）得fy（xo，yo）=0,

但杼0时，由（2）及q（xo，yo）翔得fy（xo，yo）翔。因而A、B错误。若fx

（xo，yo）彳0，由（1）,则¥0,再由（2）及（py'（xo，yo）户0,则fy'（x。，

yo)¥0。

X

9、累次积分IfoCOS0f(rcosG,

rsinG)rdr可以写成()

''/(4,夕)山。(B)1d“"(”)dx。

…/(力,。

(C)(dx1/(%,y)dy。(D)(dx/oy)dy

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

[dj[/(rcos^,rsin^)rdr

知识点解析：由累次积分为为可知，积分区域D为

D=\(r,0)|0/rWcos^.OW6W

12J由r=cosf)为圆心在x轴上，直径为I

的圆可作出D的图形如图1—所示。该圆的直角坐标方程为("一万)+y2=

不，故用直角坐标表示区域D为

D={(4,y)|0WyW7x-x2,0这4W11,

2

w欠这»J卜y,。w”/

图1-4-6

可见A、B、C均不正确，故选D。

£心

10、级数"I"(a>0,p>0)的敛散性()

A、仅与0取值有关

B、仅与a取值有关

C、与a和|3的取值都有关

D、与a和0的取值都无关

标准答案：C

lim^7=l>m——=-o

知识点解析：由于ii"(4)aP(1)当ovpvi时，级数发

散。(2)当B>1时，级数收敛。(3)当0=1时，原级数为G当a>l时收

敛，当aS时发散，故选C。

11、微分方程y”+y=x2+l+sinx的特解形式可设为()

A、y+=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)

B、y=x(ax-+bx+c+Asinx+Bcosx)

C、y=ax-+bx+c+Asinx

D、y=ax~+bx+c+Acosx

标准答案：A

知识点解析：对应齐次方程y”+y=O的特征方程为产+i=o.特征根为入=±i,对于

方程y”+y=x2+"e°(x2+l),0不是特征根，从而其特解形式可设为

yi+=ax2+bx+c,对于方程y"+y=sinx,i为特征根，从而其特解形式可.设为y2*=x

(Asinx+Bcosx),因此yFyf2+l+sinx的特解形式可设为y*=ax?+bx+c+x

(Asinx+Bcosx)。

二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)

2

limxsin-=0

12、—人

标准答案：0

知识点解析：因为x—0时，

limx2=0。且sin上•为有界函数，即sin-W1,所以limxln上二0。

7xxx

ylimx(1+3，)十.

13、设f(x)=T，贝i[r(x)=o

标准答案：(l+3x)e^x

.、门.,e、」/(*)=+3。：=xlim(14九eu七一，、

知识点解析r：因为i…=xe,因此有f(x)

=e3x+x.e3x.3=(l+3x)e3\

lim

14、设有界函数f(x)在(c,+co)内可导，且*一•『(x)=b,则b=o

标准答案：0

知识点解析：因f(X)在(C,+00)可导，则f(x)在(C,+00)内有界，故

:•四=0。limf'(x)

X又因—“*-**x所以b=0c

farctane1.

—=---------o

15、」e

1

标准答案：2(e—2xarctanex+e—x+arctanex)+C

知识点解析：

J^=-yfarctane^e-21二一扑"arctane，-//(*/)]

e^arctane1+e-t+arclane")+C

ie；厚+/缶)V(o

标准答案：2

知识点解析：利用凑微分法和牛顿―莱布尼茨公式求解。

上「。式13_■上♦=0+!=《

222

2Jo(1+x)2(1+x)o22

17、设函数f(u,u)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可

=

微，且g(y)和,则加加

_毕).

标准答案：—)

/(U,v)=*+g(v),所以，

g⑺

亚_立一组

知识点解析：令u=xg(y),v=y,则加g2(v)°

/J来一9_.dcr=___________

18、D是圆周x?+y2=Rx所围成的闭区域，则幺

标准答案：3123/

知识点解析：圆周x?+y2=Rx所围成的闭区域用极坐标表示为

D=I（6,p）I-，W8Wy-,0WpWRcos0\,

因此JJ央-金-/da

D

=[严广VR2-pp4p=---），I7M

=-yj_x（Isin）[-1）此=等修-y）o

y-_2__

19、暴级数2”+(-3)”的收敛半径R=o

标准答案：

(I)^x2f(x)Ax=yjf/(x)dx3=yx3/(%)°-x3df(x)

=-/-七乜==?%-,[：-j■卜"

十十IV

(II)令。⑴=]/(y)dy,则中'⑴=-/(4)，于是

[dx]/(%)/(，)dy=][]/(y)dyj/(%)d%=-[0(x)d0(x)

=-J/(%)=y^?o

Lo，

知识点解析：首先设an二

丁长大了2nT,则当满足条件lim牛邛=;/<1时，即IS<6

2+(-3)1。1%|3

时，该塞级数是收敛的。因此，此累级数的收敛半径是

齐犷:(父,，)北(廿=1dy^xyf^(x,y)dxQ

20、已知yi=e3x-xe2x,y2=ex-xe2x,y3=_xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分

方程的3个解，则该方程的通解为y=o

3xx2x

标准答案：y=Cie+C2e-xe,Ci，C2为任意常数

知识点解析：显然yi—y3=。3*和y2—y3=eX是对应的二阶常系数线性齐次微分方程

的两个线性无关的解，且y*=-xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定

理，该方程的通解为尸Ci/x+czex-x/x,其中Ci，C2为任意常数。

三、解答题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

21、设数列｛Xn｝满足ovX]V兀，xn+l=smxn（11=1,2,…）。

（）证明乙存在,并求该极限；

Ial—im••

£

（U）计算lim（加1）*。

标准答案：（I）因为OVxiV兀，则OVX2=sinx]Wl〈兀。可推得OVxn+i=sinxngl

/“=sinx”

<n,n=l,2,…，则数列｛xn｝有界。于是怎VI（因当x>0时，sinx

<X）,则有Xn+lVXn，可见数列｛Xn｝单调减少，故由单调减少有下界数列必有极

1

限知，极限1。”存在。

设lim与=I,在x„,=sinx,两边令八一8,得，=sin/,解得I=0,即lim%.=O

f+l-■一B0

（口）因1而（左邛=lim（皿尸，由（1）知该极限为「型。

〃一.\/—\/

令，二4，则八T8而

unt।

闻-叱的+萼-炉=闻（1产-沪『与

知识点解析：暂无解析

22、设f(x)为［—a,a］上的连续偶函数且f(x)>0,令F(x)=f-aa|x—t|f(t)

dto(I)证明P(x)单调增加；(口)当x取何值时，F(x)取最小值；

(ID)当F(x)的最小值为f(a)-a2—1Ihj,求函数f(x)。

：1X

标准答案：(I)F(x)=f_a|x—t|f(t)dt=tj_a(X—t)f(t)dt十Jx"(1—X)f

xxaax

(t)dt=xf_af(t)dt-*f_atf(t)dt+fxtf(t)dt-xfxf(t)dt=xf_af(t)dt一

XXx

f—atf(t)dt—fatf(t)dt+xJa'f(t)dt,F'(x)=［_af(t)dt+xf(x)-xf(x)

—xf(x)+faxf(t)dt+xf(x)=f-axf⑴dt—k那(t)dt.所以F"(x)=2f(x)

>0,因此P(x)为单调增加的函数。(n)因为F"(0)=J_a°f(x)dx-foaf

(x)dx,且f(x)为偶函数，所以F"(0)=0,又因为F，(0)>0,所以x=0为

F(x)的唯一极小值点，也为最小值点。(ID)由2j(Af(x)dt=f(A)-a2—

1,两边求导得2af(A)=f(A)—2a,于是『(x)—2xf(x)=2x,解得f

(x)=［j2xe-f2xdxdx+C］e-f-2xdx=Cc11—1«在2j(Af⑴dt=f(a)—a2—1中令

a=0得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=2』一1o

知识点解析：暂无解析

23、假设函数f(x)和g(x)在［a,b］上存在二阶导数，并且g”(x)加，f(a)

=f(b)=g(A)=g(b)=0,试证：(I)在开区间(a,b)内g(x)，0：

(D)在开区间(a,b)内至少存在一点。使4%)

标准答案：(I)利用反证法。假设存在c€(a,b),使得g(c)=0,则对g

(x)在［a,c］和［c,b］上分别应用罗尔定理，可知存在&E(a,c)和126(c,

b),使得g，(白)=g，(及)=0成立。接着再对g，(x)在区间［&,及］上应用罗

尔定理，可知存在436(&，々)，使得g”(&3)=0成立，这与题设条件g”(x)

翔矛盾，因此在开区间(a,b)内g(x)翔。(口)构造函数F(x)=f(x)g5

(x)一g(x)f(x),由题设条件得，函数F(X)在区间［a,b］上是连续的，在

区间(a,b)上是可导的，且满足F@(A)@=F(b)=0。根据罗尔定理可知，存

在点乐(a,b),使得F4)=0o即f(《)g”鳍)—f(^)g(［)=0,因此可

得g(f)-g"(E)°

知识点解析：暂无解析

24、设f(x)=f_ixt|t|dt(x>—1),求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面

积。

标准答案：因为UU为奇函数，可知其原函数f(x)=J_r川dt=［_］°UHdt+HUUdi为偶

函数，因此由f(―1)=0,得f(1)=0,即y=f(x)与X轴有交点(一1,0),

(1,0)o又由S(x)=x|x|,可知xVO时，，f(x)<0,故f(x)单调减少，从

而f(x)<f(—1)=0(―1<x<0)；当x>0时，f(x)=x|x|>0,故x>0时f

(x)单调增加，且y=f(x)与x轴有唯一交点(1,0)。因此y=f(x)与x轴交

点仅有两个。所以封闭曲线所围面积

1

>4=jj|/(x)dx=2^|/(x)|dxo

当4<0时)(X)=。|“山=j-Pdi=-y(l+/),故

4+/)dx=jo

知识点解析：暂无解析

Z=/(0,一)+g(±),

25、设/zyX其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导

前。

数，求

标准答案：根据复合函数的求导公式，有

于是

悬=/；+y佃餐和/7)-"-麓

=/；-1/2+力琢4以-1"一%”。

yyxx

知识点解析：暂无解析

(X2+9/-2z2=0,

26、求忆|在约束条件Ix+3y+3z=5下的最大值与最小值。

标准答案：|z|的最值点与z2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作F(x,y,z,

X,p)=z2+X(x2+9y2—2z2)+g(x+3y+3z—5)。令

=2入％+ju=0,

dF一=18Ay+3/x=0,

力

亚

加=2z-4Az+3/i=0,

二/+9/q=0,

OA

—=x+3y+3z-5=0

dp.o

解得

(叫"z)i=](*")2=(-5,-y,5)o

所以当x=],y=g•时，|z，=1最小；当欠=-5,y=—"I"时，Iz；=5最大。

知识点解析：暂无解析

\xI+lyIW1,

/(%y)=

1<lx|+|y|W2,

27、设二元函数f(x,y)do,其

中D={(x,y)||x|+|y|<2}o

标准答案：因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称，

=fl/(x,y)da

所以°5，其中Di为D在第一象限内的部分。

而“(4,%)do=Jx2da+1rjdo

D]lCs4yc2,x»0,y>0VX+J

=/?/?dy+(伊£4于dy+jdx广元岳dy)

=工+皿(1+&)。

所以可得J7(x,y)da=；+4&n(l+衣)。

知识点解析：暂无解析

28、设方程xknx—1=0,其中n为正整数。证明此方程存在唯一正实根x.并证

2

明当a>l时,级数"，工收敛。

n

标准答案：记fn(x)=x+nx-1,由fn(0)=—*1<0,fn(1)=n>0,结合连续

函数的零点定理知，方程x/nx—1=0存在正实数根Xn£(0，1)o当x>0时，f；

(x)=nxn-1+n>0,可见%(x)在[0,+oo)上单调增加，故方程xhnx—1=0存

1-X：]

0<%„=-----<一,

在唯一正实数根Xn。由x，nx—1=0与Xn>0知nnxj收

(工「。而正项级数£上i

敛。以nundefined"s,

知识点解析：暂无解析

29、设an为曲线与y=x"l(n=l,2,...)所围成区域的面积，记S尸

BB

2。3=2

"b1"B1a2n_1»求Si与S2的值。

标准答案：由题意，y=”与yr"】在点x=0和x=l处相交，所以

4==