统计软件在方差分析中的程序实现

HenanUniversityofUrbanConstruction

毕业论文

题目：统计软件在方差分析中的程序实现

学院：_______________数理学院___________________

专业：数学与应用数学

姓名：_________________________________________

学号：_________________________

指导老师：____________________________________

完成时间：2013年5月28日

摘要

方差分析包括单因素方差分析、双因素方差分析和协方差分析，在人类活动

的各个领域有着广泛的应用。它是从观察变量的方差入手，研究诸多控制变量中

哪些变量对观测变量有显著影响，并跟据不同需要把某变量方差分解为不同的局

部，比拟它们之间的大小并用尸检验进行显著性检验的方法。

由于所研究问题越来越复杂、变量之间关联性越来越强、数据的规模越来越

大，原有的理论计算变得更加复杂且易出现错误。本次选用功能强大的统计软件

R来解决方差分析中的相关问题。

本文以方差分析方法为根底，在简明扼要地阐述方差分析根本概念、根本思

想根底上，讲述与之相对应的R语言的程序实现，并通过具体的例子说明方差分

析问题求解的过程，最后以图形或表格的形式直观地显示出来。

关键词：方差分析，尸统计量，R语言，程序

Abstract

Varianceanalysisinvolvesone-factoranalysisofvariance,two-factoranalysisof

varianceandcovarianceanalysis,andhasawideapplicationinallareasofhuman

activity.Startingfromthevarianceoftheobservedvariable,varianceanalysisreserch

someofthecontrolvariableswhichhavesignificanteffectsontheobservedvariables

anddecomposethevarianceofavariableintodifferentpartsaccordingtothedifferent

needs,thenmakeacomparisonbetweenthemandcarryoutsignificanttestbyFtest.

Theoriginaltheoreticalcalculationbecomesmorecomplexandpronetoerror

becauseoftheresearchquestionsbecomingcomplex,relationshipsbetweenvariables

becomingstronger,thescaleofthedatabecaminglarger.Thistimeweusethepowerful

statisticalsoftwareofRtosolverelatedproblemsinanalysisofvariance.

Withthemethodofanalysisofvarianceandbasingonthesuccinctexplanations

forfundamentalconceptsandbasicideasofvarianceanalysis,thearticletellsaboutthe

correspondingprogramofRlanguage,explainstheprocessofsolvingvarianceanalysis

throughthespecificexamplesandfinallyvisuallydisplayeditingraphicalortabular

form.

Keywords:Analysisofvariance,Fstatistics,Rlanguage,program

目录

摘要

AbstractI

引言0

第一章R语言与方差分析介绍1

1.1R语言介绍1

1.1.1R语言概述1

1.1.2R语言的背景1

1.1.3R语言的开展1

1.1.4R语言的运用1

1.1.5R软件的特点2

1.2方差分析介绍3

1.2.1方差分析的相关概念3

1.2.2方差分析的根本思想和原理3

1.2.3方差分析中的根本假定3

第二章单因素方差分析5

2.1单因素方差分析概述5

5

5

5

2.2运用R软件进行单因素方差分析8

8

11

2.2.4求均值之差的同时置信区间12

第三章双因素方差分析13

3.1无交互作用的双因素方差分析13

3.1.1数学模型13

3.1.2统计分析13

3.1.3运用R软件进行无交互作用的双因素方差分析16

3.2有交互作用的双因素方差分析18

3.2.1数学模型18

3.2.2分析步骤18

第四章协方差分析24

4.1协方差分析概述24

4♦1.1i••••••«••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••24

4.1.2数学模型24

4.1.3分析步骤24

结论28

参考文献31

致谢32

引言

一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存，方差分析通过

数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用。方差分析在

人类活动的各个领域有着广泛的应用，能够解决社会、经济、工农业生产、生物

制药、航空航天、质量管理、环境资源等领域中的各种问题。由于所研究问题越

来越复杂、变量之间关联性越来越强、数据的规模越来越大，使得原有的计算方

法无法实现。面对一组数据，如果没有计算机知识，即使有丰富的统计学知识，

进行分析认识也会有很大困难。近些年出版的统计学教材根本上都新增加了一局

部内容，即如何应用计算机软件实现教材上讲授的统计学方法。大量的教学论文

也在探讨计算机和相关软件对于统计分析的辅助作用。现在，随着计算机的不断

开展与普及，特别是近20年来统计计算的突破性进展及统计软件的不断完善和成

熟，使得解决这些问题不仅成为可能，而且越来越容易、快速。常见的统计软件

有R、EXCEL、SPSS、MATLAB等,其中R高效的代码、简洁的输出和强大的帮助系

统使统计软件辅助的统计分析成为可能。由于R具有其强大的数据、图形展示和

统计分析功能，本次设计选用统计软件R来实现方差分析。但是目前在我国多数

人对R还比拟陌生，R在统计分析中的应用很少，关于R的公开出版物还很有限，

因此完本钱次设计将需要克服很多困难。怎样利用R软件完成方差分析？本次主

要介绍了多组数据比拟的单因素、双因素方差分析和协方差分析。将从R软件介

绍、方差分析的概述、理论方法、R对实例的编程、结果分析等几方面出发，每一

局部都通过具体例子重点讲述解决问题的思想、方法和在R中的实现过程。本次

设计不仅可以快速学会R的根本原理与相关内容，而且根据提供的例子与之相应

的R程序学会解决问题的统计计算方法与根本的编程技术，为解决更为复杂的统

计分析问题奠定扎实的根底。

第一章R语言与方差分析介绍

1.1R语言介绍

1.1.1R语言概述

R是一门用于统计计算和作图的语言，受S语言和Scheme语言影响开展而来。

R语言最初由新西兰奥克兰大学统计系的RobertGentleman>fllRossIhaka合作

编写。现在由R开发核心小组(RDevelopmentCoreTeam)维护，他们完全自愿、_L

作努力负责，并将全球优秀的统计应用软件打包提供应我们共享。R语言具有免费、

开源及统计模块齐全的特征，已被国外大量学术和科研机构采用，其应用范围涵

盖了数据挖掘、机器学习、计量经济学、实证金融学、统计遗传学、自然语言处

理、心理计量学和空间统计学诸多领域。

1.1.2R语言的背景

S语言是一门用于数据分析和图示的高层语言。1998年美国计算机学(ACM)

授予了“软件系统奖”，用以表彰S取得的成就。Scheme语言是R的mother,是

LISP语言的一个方言，与其他的Lisp不同的是Scheme是可以编译成机器代码的。

它诞生于1975年的MIT,对于这个有近三十年历史的编程语言来说，在国外广泛

运用，就像国内的C++、Java、C那样受到商业领域的青睐。Scheme的一个特征

是可以像操作数据一样操作函数调用。Scheme其的主要目的是训练人的机器化思

维。以其简洁的语言环境和大量的脑力思考而著称。主要的Scheme环境有：MIT、

Scheme>DrSchemeo

L1.3R语言的开展

最早的时候，Rossihaka从一本书了解到了Scheme语言，Ross对Scheme非

常感兴趣；大约与此同时，他获得了一版新S语言的源代码，此时他注意到Scheme

和S语言二者之间的异同点。后来Ross开始准备用Scheme向别人演示词法作用

域，但是由于手边没有Scheme的书，就用S演示却失败了，这让他萌生了改良S

语言的想法。相当一段时间之后，RossIhaka和RoberlGentleman在奥克兰大学成

了同事，他们对统计计算十分感兴趣，而旦试图为他们的实验室寻找一个更好的

软件。因为商业软件中找不到他们想要的，这使Ross想到当初改良S语言的想法,

于是他们决定自己开发一种语言。1993年，Ross和Robeil将R的局部二进制放到

了卡耐基・梅隆大学统计系的Statlib中，并在S语言的新闻列表上发布了一个公告。

随后有些人开始下载使用并给他们反应，其中以苏黎世理工学院的MarlinM最为

突出。Martin竭力劝说两作者公布源代码，让R成为自由软件。于是1995年6月

R的源代码正式发布到了自由软件协会的FTP上。

1.L4R语言的运用

R继承了S语言的关于享量化操作以及数据结构等诸多优势，加上它面向对

象的特点，所以R语言在统计编程和统计图形方面显得非常灵活。传统商业软件

的统计模型在R中都是以对象的形式存在，我们通常看到的大篇幅统计报告输出

对R来说只是对象的某种特定表现形式。正因为R语言如此灵活，所以有诸多相

关工程，比拟有影响的有Bioconductor（生物信息学的应用）、RForge（程序开发

者的场所）#RGraphGallery（R图库）等。

LL5R软件的特点

现在越来越多的人开始接触、学习和使用R,因为它有其显著的优点，主要

包括：

1）免费：尽管S-PLUS是非常优秀的统计分析软件，但你需要支付一笔费用，

而R是一个免费的统计分析软件（环境）；

2）浮点运算功能强大：R可以作为一台高级科学计算器，因为R同Matlab

一样不需要编译就可执行代码；

3）不依赖于操作系统：R可以在运行于UNIX,Linux,Windows>fllMacintosh

的操作系统上，它们的安装文件以及安装说明都可以在CRAN（ComprehensiveR

ArchiveNetwork）社区上下载；

4）帮助功能完善:R嵌入了一个非常实用的帮助系统随软件所附的pdf或html

帮助文件可以随时通过主菜单翻开浏览或打印。通过help命令可随时了解R所提

供的各类函数的使用方法和例子；

5）作图功能强大：其内嵌的作图函数能将产生的图片展示在一个独立的窗口

中，并能将之保存为各种形式的文件（例如jpg,png,bmp,ps,pdf,cmf,pictcx）；

6）统计分析能力尤为突出：R内嵌了许多实用的统计分析函数，统计分析的

结果也能被直接显示出来，一些中间结果（如p-值、回归系数、残差等）既可保存到

专门的文件中，也可以直接用于进一步的分析。R的局部统计功能整合在R语言

的底层，但是大多数功能那么以包的形式提供。大约有25个包和R同时发布（被

称为“标准”和“推荐”包），它们都配有完整的pdf帮助文件，且其版本会随R

新版本的发行得到更新，通过在线（或下载后）安装并加裁后就可融入原来的R中，

实现有针对性的分析；

7）可移植性强：R程序容易移植到S-PLUS程序中；反之S-PLUS的许多过

程直接或稍作修改可用于R；R与Matlab有许多相似的地方，如都可作为高级计

算器，都可不经过编译直接运行源代码，但是R侧重于统计分析，而Matlab侧重

于工程，例如信号处理，现在通过R.Matlab程序包可实现两者之间许多功能的共

享，许多常用的统计分析软件（如SPSS,SAS,Stata及Excel）的数据文件都可读入

R,这样其它软件的数据或分析的中间结果可用于R,并作出进一步的分析.

8）较强大的拓展与开发能力：R是开发新的交互式数据分析方法一个非常好

的工具。我们可以编制自己的函数来扩展现有的R语言，或制作相对独立的统计

分析包。

9）灵活而不死板：一般的软件往往会直接展示分析的结果，而R那么将这些

结果都存放在一个对象（object）里，所以常常在分析执行结束后并不显示任何结果。

使用者（特别是初学者或非专业人员）可能会对此感到困惑，其实这样的特点是非常

有用的，因为我们可以有选择地显示我们感兴趣的结果。而有的软件（如SAS和

SPSS）会同时显示几个窗口，内容太多会使使用者无从选择和解释。

1.2方差分析介绍

1.2.1方差分析的相关概念

方差分析就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型因变量是否有显

著影响。

在方差分析中，所要检验的对象称为因素或因子（factor）o每个因子水平下得

到的样本数据称为观察值。在只有一个因素的方差分析（称为单因素方差分析）

中，涉及两个变量，一个是分类型自变量，一个是数值型因变量。当方差分析中

涉及两个分类型自变量时称为双因素方差分析。方差分析乂分为单因素方差分析、

双因素方差分析和协方差分析等。

1.2.2方差分析的根本思想和原理

方差分析的根本思想是通过分析研究不同来源的变异对总变异的奉献大小，

从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。方差分析的目的是通过数据分析找

出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最

正确水平等。在可比拟的数组中，把数据间的总的变差按各指定的变差来源进行

分解的一种方法。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的

局部离差平方和，这是一个很重要的思想。经过方差分析假设拒绝了检验假设，

说明多个样本总体均数不相等或不全相等。

在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，那么说明

观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变

量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，那么说

明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，

控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机

变量因素引起的。

1.2.3方差分析中的根本假定

①每个总体都应服从正态分布。也就是说，对于因素的每一个水平，其观测

值是来自正态分布总体的简单随机样本C

②各个总体的方差"相同。也就是说，对于各组观测数据，是从具有相同方

差的正态总体中抽取的，

③观测值是独立的，

第二章单因素方差分析

2.1单因素方差分析概述

单因素方差分析是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了

显著影响。这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差

分析。例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带•来显著影响。单因素方差分析

的第一步是明确观测变量和控制变量。单因素方差分析的第二步是剖析观测变量

的方差。方差分析认为：观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影

响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和

组内离差平方和两局部，用数学形式表述为SS7=SS4+SSE。单因素方差分析的

第三步是通过比拟观测变量总离差平方和各局部所占的比例，推断控制变量是否

给观测变量带来了显著影响。方差分析是用组内平方和除以组间平方和的商与1

进行相比拟，假设产值接近1,那么说明各组均数间没有显著性差异，假设产值远

大于1,那么说明各组均数间有显著性差异。

设试验只有一个因子（又称为因素）A有攵个水平44,…在水平a下进行

哈次独立观测，得到观测数据为X,j，j=12・,q,i=12…,k,那么单因素方差

模型可表示为

Xjj=M+%,

（"=1,2,.,件"=1,2,…,左）（2.1）

£厂（0,叫

其中，与相互独立，儿为第i个总体的均值。

为检验自变量对因变量是否有显著影响，首先需要提出“两个变量在总体中

没有关系”的原假设，然后构造一个用于检验的统计量来检验这一假设是否成立。

具体来说，方差分析包括提出假设、构造检验的统计量、统计决策等步骤。

①提出假设

在方差分析中，原假设所描述的是在按照自变量的取值分成的类中，因变量

的均值相等。因此，检验因素的攵个水平（总体）的均值是否相等，需要提出如下

形式的假设：

/：〃=外=3=/4，自变量对因变量没有显著影响

乩:41=1,2,…4）不全相等，自变量对因变量有显著影响

式中，自为第，个总体的均值。

如果拒绝原假设“。，那么意味着自变量对因变量有显著影响，也就是自变量与

因

变量之间有显著关系；如果不拒绝原假设片），那么没有证据说明自变量对因变量

有显著影响，也就是说，不能认为变量与因变量之间有显著关系。

②构造检验的统计量

为检验”0是否成立，需要确定检验的统计量为：

1）计算各样本的均值

假设从第i个总体中抽取一个容量为“的简单随机样本，令耳为第i个总体样

本均值，那么有

工二一£工厂i=1,2,…,k（2.2）

n,j-i

2）计算全部观测值的总均值

它是全部观测值的总和除以观测值的总个数〃，令总均值为不，那么有

k

4G»病

=_2=12=1=

nn

3）计算各误差平方和

为构造检验的统计量，在方差分析中，需要计算三个误差平方和，它们是总

平方和、组间平方和（因素平方和）、组内平方和（误差平方和或残差平方和）。

a.总平方和，记为斗。它是全部观测值均与总平均值亍的误差平方和，其“

算公式为：

k”,

专一可（2.4）

b.组间平方和，记为5”它是各组均值可12…，k）与总均值亍的误差平

方和，反映各样本均值之间的差异程度，因此又称为因素平方和。其计算公式为:

5A二£>,（用一〒『12.5）

r=l

C.组内平方和，记为&。它是每个水平或组的各样本数据与其组均值的误差

平方和，反映了每个样本各观测值得离散状况，因此称为组内平方和。该平方和

反映了随机误差的大小，其计算公式为：

1=2£（马-吊）212.6）

1=1；=1

4）计算统计量

由于各误差平方和的大小与观测值得多少有关，为了消除观测值多少对误差

平方和大小的影响，需要将其平均，也就是用各平方和除以它们所对应的自由度，

这一结果称为均方，也称为方差。三个平方和所对应的自由度分别为：的自由

度为〃-1，其中"为全部观测值的个数。见的自由度为攵-1,其中％为全因素水平

（总体）的个数。》的自由度为〃

由于要比拟的是组间均方和组内均方之间的差异，所以通常只计算见的均方

和色的均方。S.的均方也称为组间均方或组间方差，记为例SA,其计算公

式为：

组间平方和

MSA=自由度-一口(2.7)

&的均方也称为组内均方或组内方差，记为MSE,其计算公式为:

组内平方和—S,

MSE=〔2.8〕

自由度n-k

又

q

方（2.9）

将上述MS4和MSE进行比照，即得到所需要的检验统计量尸。当名为真时,

S,与S,相互独立，且

C

8-/（攵-1）（2.10）

b

因此MSA与MSE的比值服从分子自由度为2-1,分母自由度为〃-女的尸分

布，即

(2.11)

③统计决策

如果原假设H。：4=氏==4成立，那么说明没有系统误差，组间方差MS4

与组内方差MSE的比值差异就不会太大；如果组间方差显著大于组内方差，说明

水平（总体）之间的差异显然不仅仅有随机误差，还有系统误差。将统计量的值产

与给定的显著水平。的临界值Q进行比拟，从而作出对原假设儿的决策。

根据给定的显著性水平。，在分布表中查找与分子自由度/=攵-1、分母自

由度明=相应的临界值攵-1,〃-左）。

1）假设尸〉心依-1，〃-幻，那么拒绝原假设4：从=外=…=4，说明

//,.（/=1,2,

，幻之间的差异是显著的；也就是说，所检验的因素对观测值有显著影响。假设

FvF&fn-k）,那么不拒绝原假设儿,不能说明从。=1，2,…，k）之间有显

著

差异；也就是说，这时还不能认为所检验的因素对观测值有显著影响。

2）一般作如下规定：假设在水平a=00下拒绝心，即尸之耳。小依-1,〃-女）,

那么称因素的影响高度显著，并记为“**”：假设在水平a=0.05下拒绝”。，但在

a=0.01下不拒绝"°,即耳O3（Z—1,〃—口＞尸之耳。仆伏―1,〃—幻，那么称因素的影

响显著，并记为“*”；假设在水平。=0.10时拒绝H。，但在a=0.05下不拒绝“°,

即干0.05（攵一1，〃一口＞尸之00」0（%一1，〃一口，那么称因素有一定影响，记作“（*）”；

假设在水平。=0.10时不拒绝"。，即尸〈心。」。（％-1,〃-幻，那么称因素无显著影

响。

3）统计量的分布图如下：

错误！未

找到引用源。

④方差分析表

表2.1单因素方差分析表的一般形式

误差平方和自由度均方

1误差来源尸值P值产临界值

SSdfMS

2组间（因素影响）SAk-\MSAMSA/MSE

3组内（误差）Sen-kMSE

4总和STn-\

2.2运用R软件进行单因素方差分析

例2.1为了调查15V3号干电池的寿命是否由于生产工厂的不同，在实验中

选用5家不同的工厂，每个工厂各取4个产品，即重复4次，结果如表2.2所示。

表2.2不同工厂的电池寿命

生产工厂4电池寿命/h乂5

1

2

3

4

5

前面已提到要进行方差分析，应具备以下三个条件：(1)可加性(2)独立正态

性(3)方差齐性。方差齐性检验就是检验数据在不同水平下力差是否相同。

R软件中，函数BaHett.test()提供Bartlett检验，用来检验方差齐性。其调用

格式为：

bartlett.test(x,g,...)

bartlett.test(formula,data,subset,no.action,...)

说明：x是由数据构成的向量或列表；g是由因子构成的向量，当大是列表时，此

项无效；formula是方差分析公式，data是数据框检验。

解R命令为：

>X<-c(25.6,22.2,28Q29.8,24.4,30.0,29.0,27.5,25.0,27.7,

23.0,32.2,28.8,28.().31.5,25.9,20.6,21.2,22.0,21.2)

>A<-factor(rep(l:5,each=4))

>m<-data.frame(X,A)

>bartlett.test(X-A,data=m)

运行结果为

Bartletttestofhomogeneityofvariances

data:XbyA

Bartlett'sK-squared=7.0966,df=4,p-value=0.1309

说明：上述结果中df表示自由度；p-value表示检验的产值。

从结果可知P值(0.1309,接受原假设，认为各处理组的数据是等方差的。

2.2.2单因素方差分析的程序实现

R中函数aov()提供了方差分析的计算与检验、其调用格式为：

aov(formula,data=NULL,projections=FALSE,qr=TRUE,contrasts=NULL,...)

说明：formula是方差分析的公式，在单因素方差分析中它表示为xA,data是

数据框。

继续对例2.1进行方差分析，R程序为:

>aov.gc<-aov(X-A,data=m)

>summary(aov.gc)

运行结果为：

DfSumSqMeanSqFvaluePGF)

A4132.032.994.3060.0162*

Residuals15114.97.66

Signif.codes:0，***,0.001'**''0.01'*'0.05

说明：上述结果中，Df表示自由度；sumSq表示平方和；MeanSq表示均方和；

Fvalue表示尸检验统计量的值，即/比；Pr(>F)表示检验的〃值；A就是因素A；

Residuals为残差。

可以看出，F=4.306>/^05(5-1,20-5)=3.06,或者2=0.0162<0.05,说明有

理由拒绝原假设，即认为五家生产工厂有显著差异。据上述结果可以填写下面的

方差分析表：

表2.3电池寿命的方差分析表

误差平方和自由度均方

误差来源产值P值

SSdfMS

组间(因素影响)432.994.306

组内(误差)157.66

总和19

再通过函数plot()绘图可直观描述5家工厂电池寿命之间的差异。R程序代码

为：

>plot(X-A)

A

图2.2不同工厂电池寿命的差异

从图形上也可以看出，5家工厂生产的电池寿命有显著差异，特别第5家与前

面的4家，而工厂1与3,工厂2与4的差异不明显。

R软件中函数pairwise.t.test()可以得到多重比拟的P值，其调用格式为：

pairwise.t.test(x,g,p.adjust.method=p.adjust.methods,pooLsd=TRUE,...)

说明：x是响应变量构成的向量，g产值的方法，"p.adjusl.method=none”表示不

作任何调整，默认值按Holm方法调整。

对上述例子作均值的多重比拟，进一步检验

必=勺(/,;=1,2,3,4,5)

解R中程序为：

>pairwise.t.test(X,A,p.adjust.method="none")

运行结果为：

PairwisecomparisonsusingttestswithpooledSD

data:XandA

1234

20.5087

30.77290.7069--

40.28930.67930.4335

Pvalueadjustmentmethod:none

从上面结果可知0.0189、0.0048、0.0104、0.0020均小于0.05,检验的

结果与图2.2一致，即自与其它4个差异明显，后者差异不明显。

2.2.4求均值之差的同时置信区间

函数TukeyHSD()用于计算同时置信区间，其调用格式为：

TukeyHSD(x,which,ordered二FALSE,conf.level=0.95...)

说明：尤为方差分析的对象，which是给出需要计算比拟区间的因子向量，。rdered

是逻辑值，如果为“rue”，那么因子的水平先递增排序，从而使得因子间差异均以

正值出现，conf.level是置信水平。

R命令为：

>TukeyHSD(aov(X-A,m))

运行结果为：

Tukeymultiplecomparisonsofmeans

95%family-wiseconfidencelevel

Fit:aov(formula=X〜A,data=m)

$A

diffIwrupr

2-11.325-4.7185827.3685818

3-10.575-5.4685826.6185818

4-12.150-3.893582

5-1-5.150-11.1935820.8935818

3-2-0.750-6.7935825.2935818

4-20.825-5.2185826.8685818

5-2-6.475-12.518582-0.4314182

4-31.575-4.468582

-11.768582I0.3185818

5-4-7.300-13.343582-1.2564182

可以看出，共有10个两两比拟的结果，只有在5-2中padj=<0.05,

5-4中padj=<0.()5。故除了52,5-4间夕卜,其他之间的差异是不显著的。

第三章双因素方差分析

双因素方差分析法是一种统计分析方法，这种分析方法可以用来分析两个因

素的不同水平对结果是否有显著影响，以及两因素之间是否存在交互效应。因为

在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因

素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。一般运

用双因素方差分析法，先对两个因素的不同水平的组合进行设计试验，要求每个

组合下所得到的样本的含量都是相同的。

在方差分析中，有两个影响因素，如果它们的影响是相互独立的，这时的双

因素方差分析是无交互作用的双因素方差分析，或称为无重复双因素分析。假设

各因素不仅单独对实验结果有影响，而且因素之间还会联合起来对结果产生影响,

这时的双因素方差分析为有交互作用的双因素方差分析，或为重复双因素分析。

3.1无交互作用的双因素方差分析

3.1.1数学模型

设因素A有攵个不同水平A，因素B有，,个不同水平牛巴…田.。

在A与鸟的搭配下均作了，〃（〃〉1）次重复试验。无交互作用的双因素方差分析模

型为

Xq=〃+令+&+%,

为~(0,/),各与相互独立,

(3.1)

Z《=o，Z4=o,

>1

(i=l,2,…次;/=1,2,•••,，•).

］女r

其中〃4为总平均，《为因素A的第，个水平的效应，％为因素B的第J

个水平的效应。

3.1.2统计分析

与单因素方差分析类似，双因素方差分析也包拈提出假设、构造检验的统U

量、统计决策等步骤。

①提出假设

为了检验两个因素的影响，需要对两个因素分别提出如下假设。

对因素A提出的假设为：

"。：内=%==氏，因素A对指标没有显著影响

乩：从«=1,2,㈤不全相等,因素A对指标有显著影响

式中，M为因素A的第，个水平的均值。

对因素B提出的假设为：

Ho：N\=%=：丹=~=L，因素B对指标没有显著影【

M：/0=1,2,/）不全相等因素B对指标有显著影响

式中，（为因素B的第/个水平的均值。

②构造检验的统计量

片为A因素的第，・个水平下各观察值的平均值，其计算公式为：

(3.2)

&=上」,i=12,k

r

亏为B因素的第/个水平下各观察值的平均值，其计算公式为：

次看

(3.3)

K

手是全部奸个样本数据的总平均值，其计算公式为：

kr

zz/

=_(3.4)

为检验H。是否成立，需要分别确定检验A因素和B因素的统计量。与单因素

方差分析构成统计量的方法一样，也需要从平方和的分解入于。总平方和是全部

样本观察值勺（i=L2,,%；/=1,2,…/）与总的样本平均值G的误差平方和，记为

S「即

；=|>1

=（豆•-可+z£（弓一可+z£（/-石一马+司之（3.5）

1=1>1/=l>1r=l；=1

其中，分解后的等式右边的第一项为哪一项A因素所产生的误差平方和，记

为名,

即

kr

S.=2Z（%-可13.6）

r=l；=l

第二项是B因素所产生的误差平方和，记为％,即

L=Z力仅「可(3.7)

/=ij=\

第三项是除A因素和B因素之外的剩余因素影响产生的误差平方和，称为随

机误差平方和，记为，，即

&=Zf(冏-4-可+司2(3.8)

/-Iy-i

上述各平方和的关系为：

(3.9)

ST=S八+SB+Se

在上述误差平方和的根底上，计算均方，也就是将各平方和除以相应的自由

度，即为均方。与各误差平方和相对应的自由度分别是：

总平方和心的自由度为Q-1；

A因素的误差平方和丛的自由度为k-1：

B因素的误差平方和&的自由度为r-1；

随机误差平方和反的自由度为(攵-1)(一1)。

为构造检验统计量，需要计算以下各均方：

A因素的均方，记为MSA,即

MSA=-^-(3.10)

K-\

B因素的均方，记为MSB,即

MSB=(3.11)

r-1

随机误差项的均方，记为MSe,即

5

MSe=~n(3.12)

(1)(—1)

可以证明：

对于A因素，当成立时

以(3.13)

对于B因素，当名成立时

金=蟋〜尸((l),(ZT)(I))(3.14)

IVloC

③统计决策

假设乃之心((攵那么拒绝原假设名，表示从(，=1,2，…㈤

之间

的差异是显著的；也就是说，所检验的A因素对观测值有显著影响。

假设Fw>^_a((r-l),(Z:-l)(r-l)),那么拒绝原假设

"()：M=〃2=••〃/=•,•=〃/，

说明勺(/=1,2,♦・/)之间的差异是显著的；也就是说，所检验的B因素对观测值

有显著影响。

④无交互作用的双因素方差分析表

表3.1无交互作用的双因素方差分析表

误差平方和自由度均方

1误差来源产值产值产临界值

SSdfMS

2A因素SAk-\MSA居

3B因素SBr-1MSB

4误差Se")(1)MSe

5总和kr-\

3.1.3运用R软件进行无交互作用的双因素方差分析

在R软件中，方差分析函数aov()既适合于单因素方差分析，也同样适用于双

因素方差分析，其中方差模型公式为x~A+8,加号表示两个因素具有可加性，

下面用一个例子来说明，

对木材进行抗压强度的实验，选择三种不同比重(单位：g/切？)的木材

A:0.34〜0.47,A:0.48~0.52,$:0.53〜0.56

及三种不同的加荷速度［单位：lO-iN/c/.min)

丹:6(X),B2:24(X),B3:42(X)

取得木材的抗压强度(lO-'TV/c/w2)如下

A

验证木材比重及加荷速度对木材的抗压强度是否有显著影响？

①解首先建立数据框：

程序代码为

>m<-dala.frame(

X=c(3.72,3.90,4.02,5.22,5.24,5.08,5.28,5.74,5.54),

A=gl(3,3),

B=gl(3,1,9)

)

注：这里函数gl()用来给出因子水平，其调用格式为

gl(n,k,length=n*k,labels=l:n,ordered=FALSA)

说明：〃是水平数，攵是每一水平上的重复次数，length是总观测值数，。rdered指

明各水平是否先排序。

②下面作双因素方差分析，R程序为：

>m.aov<-aov(X-A+B,data=m)

>summary(m.aov)

运行结果：

DfSumSqMeanSqFvaluePr(>F)

A24.4952.247696.8790.000409***

B20.0740.03721.6030.308052

Residuals40.0930.0232

Signif.codes:0'***'0.001'**'0.010.05'0.1''1

查表得九xoi(2,4)=18，­,4)=6.94,大』。(2,4)=4.32。因一>18,所

以因素A对指标影响高度显著；而E<4.32,所以因素B对指标没有显著影响。

即不同比重的木材抗压强度明显不同，而不同加荷速度对抗压强度无显著影响。

③用函数bartlett.test()分别对例3.1中因素A和因素B作方差的齐性检验：

>bartlett.test(X-A,data=m)#对因素A检验

运行结果：

Bartletttestofhomogeneityofvariances

data:XbyA

>bartiett.test(X-B,data=m)#对因素B检验

运行结果：

Bartletttestofhomogeneityofvariances

data:XbyB

可知对因素A,〃值（0.4975）远大于0.05,接受原假设，认为因素A的各水

平下的数据是等方差的；对因素B,〃值（0.9679）远大于0.05,接受原假设，即认

为因素B也满足方差齐性要求。

3.2有交互作用的双因素方差分析

3.2.1数学模型

设因素A有左个不同水平4,…，4,因素B有「个不同水平稣鸟,…，耳.。

在4与用的搭配下均作了〃2（加＞1）次重复试验。在许多情况下，两因素A与B之

间存在着一程度的交互作用。为了考察因素间的交互作用，要求在两个因素的每

一水平组合下进行重复试验。记第/次的观测值为“。那么有交互作用的双因素方

差分析模型可表示为

%〜（0"）,各为相互独立，

*krkr（3.15）

Z-=o，Z：=o，E%=o，z%=0,

1=1j=l1=1j=1

（i=l,2,==…,〃z）.

4为因素A的第i个水平的效应，鸟为因素B的第八个水平的效应，与为因素

A和因素B的交互作用，//=—XSA/O

",=]j=i

3.2.2分析步骤

①对模型检验假设：

:at=a2==ar=0,（因素A对指标％没有影响）

“02：4=:=…=2=0,（因素B对指标一没有影响）

/3：%=0（'=1，2,…，女;j=l,2「"），（因素A和B没有联合作用）

②构造检验的统计量

设：芍为对应于A因素的第i个水平和B因素的第j个水平的第/次的观察值;

%为A因素的第i个水平的样本均值；

亏为B因素第j个水平的样本均值；

可为对应与A因素的第i个水平和B因素的第，个水平组合的样本均值；

x为全部〃个观测值的总均值。

1)各平方和的计算公式如下：

总平方和ST：

(3.16)

i=\j=\/=l

A变量平方和邑：

S尸〃〃Z优-司2(3.17)

1=1

B变量平方和Sp：

S/,=A〃这(马-町

(3.18)

j=i

交互作用平方和$：

S/=〃，Zf(马-耳-马+可

(3.19)

1=1j=\

误差平方和工：

(3.20)

Se=ST-SA-SB-S,

2)可以证明：

儿।成立时，

FA=MS「F(k1，斤(机9)(3.21)

“02成立时，

片一邓「“(13('"1))(3.22)

C.当“03成立时,

5=黑~歹((&-1)(一1)，"(〃2-1))

(3.23)

③统计决策：

当乙N忆伏-1&(〃?-1)),那么拒绝为♦FR—6—a(r-Ur(W-l)),那么

拒绝外；当5之丘“(化-l)(一1),卧(〃2-1)),那么拒绝”03,否那么接受“3。

④有交互作用的双因素方差分析表

A变量中每一个水平的行数为〃?，观察数据的总数为〃。其方差分析表的一般

形式为:

有交互作用的双因素方差分析表

误差平方和自由度均方

1产值P值尸临界值

来源SSdfMS

MSA='厂MSA

2A因素SAk-\F.=

k-\AMSe

MSB="「MSB

3B因素SBr-\rR=