2026年考研数学常微分方程与偏微分方程习题

2026年考研数学常微分方程与偏微分方程习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.已知微分方程y''-4y'+4y=0，则其通解为（）A.y=(C1+C2x)e^2xB.y=C1e^2x+C2e^-2xC.y=(C1+C2x)e^-2xD.y=C1e^2x+C2xe^2x解析：本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解结构。特征方程为r^2-4r+4=0，解得r1=r2=2，故通解为y=(C1+C2x)e^2x。选项A正确，选项B对应特征根为实数且不等，选项C特征根为-2，选项D含有非齐次项形式错误。2.微分方程x^2y''-xy'+y=0在x>0时的通解为（）A.y=C1x+C2xlnxB.y=C1x^2+C2x^-1C.y=C1x+C2x^2D.y=C1lnx+C2xlnx解析：本题考查欧拉方程的解法。令x=e^t，原方程变为y''-y'=0，特征方程为r(r-1)-r=0，解得r1=1,r2=0，故通解为y=C1e^t+C2，代回x=e^t得y=C1x+C2lnx。选项A正确，选项B对应特征根为1和-1，选项C为多项式解，选项D形式错误。3.设y1(x)和y2(x)是微分方程y''+py'+qy=0的两个线性无关解，则该方程的通解为（）A.y=C1y1(x)+C2y2(x)B.y=y1(x)+y2(x)C.y=(C1+C2)x(y1(x)-y2(x))D.y=y1(x)lny2(x)解析：本题考查二阶线性齐次微分方程解的结构。根据解的叠加原理，两个线性无关解的线性组合构成通解。选项A正确，选项B缺少任意常数，选项C形式错误，选项D含有对数函数不符合通解结构。4.微分方程y''-2y'+y=x^2e^x的特解形式为（）A.y=(Ax^2+Bx+C)e^xB.y=(Ax^2+Bx)e^xC.y=(Ax^3+Bx^2)e^xD.y=(Ax^2+B)e^x解析：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。齐次方程y''-2y'+y=0的特征根为r1=r2=1，非齐次项x^2e^x中e^x与特征根重合，故特解形式应为x(Ax^2+Bx+C)e^x。选项A正确，选项B缺少常数项，选项C幂次错误，选项D形式错误。5.设u(x,y)满足方程∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则u(x,y)可能是（）A.u=ln(x^2+y^2)B.u=arctan(x/y)C.u=xyD.u=exy解析：本题考查拉普拉斯方程的解。选项A，∂^2/∂x^2[ln(x^2+y^2)]=2/(x^2+y^2)-4x^2/(x^2+y^2)^2，同理∂^2/∂y^2=2/(x^2+y^2)-4y^2/(x^2+y^2)^2，相加不为0。选项B，∂^2/∂x^2[arctan(x/y)]=-2xy/(x^2+y^2)^2，同理∂^2/∂y^2=2xy/(x^2+y^2)^2，相加为0。选项C，∂^2(xy)/∂x^2=0，∂^2(xy)/∂y^2=0，相加为0。选项D，∂^2(exy)/∂x^2=exy，∂^2(exy)/∂y^2=exy，相加不为0。故选项B和C正确。6.微分方程y'''-3y''+3y'-y=0的通解为（）A.y=(C1+C2x+C3x^2)e^xB.y=C1e^x+C2xe^x+C3e^-xC.y=C1+C2x+C3e^xD.y=C1e^x+C2e^2x+C3e^-x解析：本题考查三阶常系数齐次线性微分方程的解法。特征方程为r^3-3r^2+3r-1=0，即(r-1)^3=0，解得r1=r2=r3=1，故通解为y=(C1+C2x+C3x^2)e^x。选项A正确，选项B含有指数为-1的解，选项C为一次多项式解，选项D含有不同指数的解。7.设y1(x)和y2(x)是微分方程y''-4y'+3y=0的两个解，且y1(0)=1,y1'(0)=1,y2(0)=1,y2'(0)=-1，则y1(x)和y2(x)的关系为（）A.y1(x)=y2(x)B.y1(x)+y2(x)=0C.y1(x)-y2(x)=0D.y1(x)•y2(x)=0解析：本题考查线性无关解的性质。特征方程为r^2-4r+3=0，解得r1=1,r2=3。通解为y=C1e^x+C2e^3x。由初始条件可解得y1(x)=e^x+e^3x，y2(x)=e^x-e^3x，故y1(x)+y2(x)=2e^x不为0，但y1(x)-y2(x)=2e^3x，选项C正确。8.微分方程y''+4y=sin(2x)的特解形式为（）A.y=Asin(2x)B.y=Axsin(2x)C.y=Ax^2sin(2x)D.y=Acos(2x)解析：本题考查非齐次线性微分方程特解的求法。齐次方程y''+4y=0的特征根为r1=2i,r2=-2i，非齐次项sin(2x)对应复数2i，且2i为特征根，故特解形式应为x(Acos(2x)+Bsin(2x))。选项B正确，选项A缺少x，选项C幂次错误，选项D不含sin(2x)。9.设u(x,y)满足方程∂u/∂x=∂u/∂y，且u(0,0)=1，则u(x,y)可能为（）A.u=1+x+yB.u=ln(x+y)C.u=xe^yD.u=ex+e^-y解析：本题考查一阶偏微分方程的解。选项A，∂/∂x(1+x+y)=1，∂/∂y(1+x+y)=1，满足条件。选项B，∂/∂x[ln(x+y)]=1/(x+y)，∂/∂y[ln(x+y)]=1/(x+y)，满足条件。选项C，∂/∂x(xe^y)=e^y，∂/∂y(xe^y)=xe^y，不满足条件。选项D，∂/∂x(ex+e^-y)=e^x，∂/∂y(ex+e^-y)=-e^-y，不满足条件。故选项A和B正确。10.微分方程y''-y=0的积分曲线族中，通过点(1,1)且在x=1处与直线y=2x-1相切的曲线为（）A.y=e^xB.y=2e^x-e^(-x)C.y=e^x+e^(-x)D.y=3e^x-2e^(-x)解析：本题考查二阶齐次线性微分方程的几何应用。通解为y=C1e^x+C2e^-x。由y(1)=1得C1+C2=1。由y'(x)=C1e^x-C2e^-x，y'(1)=2得C1-C2=2。解得C1=3/2,C2=-1/2，故y=3e^x-e^(-x)。选项D正确，选项A不含e^-x，选项B系数错误，选项C不含3e^x。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.微分方程y'=(y^2+x^2)/(2xy)的通解为__________。参考答案：y=ln(x^2+y^2)+C解析：原方程可改写为y'/y=(y/x)^2+1，令u=y/x，则y=ux，dy/dx=udx/dx+u^2x，代入得u+u^3x=1+x，分离变量得dx/(1+x)=du/(1/u^3)，积分得ln(1+x)=-1/(2u^2)+C，代回u=y/x得通解。2.微分方程y''-2y'+2y=0的通解为__________。参考答案：y=e^x(C1cosx+C2sinx)解析：特征方程为r^2-2r+2=0，解得r1=1+i,r2=1-i，故通解为y=e^x(C1cosx+C2sinx)。3.微分方程x^2y''-xy'+y=0在x>0时的通解为__________。参考答案：y=C1x+C2xlnx解析：令x=e^t，原方程变为y''-y'=0，特征方程为r(r-1)-r=0，解得r1=1,r2=0，故y=C1e^t+C2，代回x=e^t得y=C1x+C2lnx。4.微分方程y''+4y=sin(2x)的一个特解为__________。参考答案：y=-x/4cos(2x)解析：齐次方程y''+4y=0的特征根为r1=2i,r2=-2i，非齐次项sin(2x)对应复数2i，且2i为特征根，故特解形式为y=x(Acos(2x)+Bsin(2x))。代入方程得A=0,B=-1/4，故特解为y=-x/4sin(2x)=-x/4cos(2x)。5.微分方程y'''-3y''+3y'-y=0的通解为__________。参考答案：y=(C1+C2x+C3x^2)e^x解析：特征方程为r^3-3r^2+3r-1=0，即(r-1)^3=0，解得r1=r2=r3=1，故通解为y=(C1+C2x+C3x^2)e^x。6.微分方程y''-4y'+3y=0的通解为__________。参考答案：y=C1e^x+C2e^3x解析：特征方程为r^2-4r+3=0，解得r1=1,r2=3，故通解为y=C1e^x+C2e^3x。7.微分方程y''+y'-2y=0的通解为__________。参考答案：y=C1e^2x+C2e^-x解析：特征方程为r^2+r-2=0，解得r1=1,r2=-2，故通解为y=C1e^x+C2e^-2x。8.微分方程y''-2y'-3y=0的通解为__________。参考答案：y=C1e^3x+C2e^-x解析：特征方程为r^2-2r-3=0，解得r1=3,r2=-1，故通解为y=C1e^3x+C2e^-x。9.微分方程y''+4y=0的通解为__________。参考答案：y=C1cos(2x)+C2sin(2x)解析：特征方程为r^2+4=0，解得r1=2i,r2=-2i，故通解为y=C1cos(2x)+C2sin(2x)。10.微分方程y''-9y=0的通解为__________。参考答案：y=C1e^3x+C2e^-3x解析：特征方程为r^2-9=0，解得r1=3,r2=-3，故通解为y=C1e^3x+C2e^-3x。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列各题是否正确，正确的填"√"，错误的填"×"。）1.若y1(x)和y2(x)是微分方程y''+py'+qy=0的两个解，则它们的线性组合y=C1y1(x)+C2y2(x)一定是该方程的解。（）参考答案：√解析：根据线性齐次微分方程的解的结构定理，两个解的线性组合仍是解。2.微分方程y''-4y'+4y=0的通解是y=(C1+C2x)e^2x。（）参考答案：√解析：特征方程为r^2-4r+4=0，解得r1=r2=2，故通解为y=(C1+C2x)e^2x。3.若y1(x)是微分方程y''+py'+qy=f(x)的解，y2(x)是y''+py'+qy=0的解，则y=y1(x)+y2(x)是y''+py'+qy=f(x)的解。（）参考答案：√解析：根据线性非齐次微分方程的解的结构定理，特解与通解之和仍是特解。4.微分方程y''-2y'+y=x^2的特解形式为y=(Ax^2+Bx)e^x。（）参考答案：×解析：齐次方程y''-2y'+y=0的特征根为r1=1,r2=1，非齐次项x^2e^x中e^x与特征根重合，故特解形式应为x^2(Ax^2+Bx)e^x。5.若u(x,y)满足方程∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则u(x,y)一定是调和函数。（）参考答案：√解析：满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。6.微分方程y''-4y=0的通解是y=C1e^2x+C2e^-2x。（）参考答案：×解析：特征方程为r^2-4=0，解得r1=2,r2=-2，故通解为y=C1e^2x+C2e^-2x。7.若y1(x)和y2(x)是微分方程y''+py'+qy=0的两个线性无关解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)是该方程的通解。（）参考答案：√解析：根据线性齐次微分方程的通解结构定理，两个线性无关解的线性组合构成通解。8.微分方程y''+4y=sin(2x)的通解是y=C1cos(2x)+C2sin(2x)。（）参考答案：×解析：y=C1cos(2x)+C2sin(2x)是齐次方程y''+4y=0的通解，非齐次方程的通解应为y=C1cos(2x)+C2sin(2x)+特解。9.若y1(x)是微分方程y''+py'+qy=0的解，则y1(x)的任意阶导数也是该方程的解。（）参考答案：√解析：线性齐次微分方程的解及其导数仍是解。10.微分方程y''-2y'+2y=0的通解是y=e^x(C1cosx+C2sinx)。（）参考答案：√解析：特征方程为r^2-2r+2=0，解得r1=1+i,r2=1-i，故通解为y=e^x(C1cosx+C2sinx)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请简要回答下列问题。）1.简述二阶常系数齐次线性微分方程的解法步骤。答：步骤如下：（1）写出对应的特征方程；（2）求出特征根；（3）根据特征根的情况写出通解：-当r1≠r2为实数时，通解为y=C1e^r1x+C2e^r2x；-当r1=r2为实数时，通解为y=(C1+C2x)e^r1x；-当r1=r2=α+βi为复数时，通解为y=e^αx(C1cosβx+C2sinβx)。2.什么是欧拉方程？其通解形式是什么？答：形如x^2y''+axy'+by=f(x)的微分方程称为欧拉方程。解法是令x=e^t，原方程变为y''+p(t)y'+q(t)y=f(e^t)，求解后代回x=e^t得到通解。通解形式取决于齐次方程y''+p(t)y'+q(t)y=0的特征根。3.微分方程y''+py'+qy=f(x)的通解由哪两部分组成？答：通解由齐次方程y''+py'+qy=0的通解y_h和原非齐次方程的一个特解y_p组成，即y=y_h+y_p。4.什么是线性无关解？如何判断两个解是否线性无关？答：若两个解y1(x)和y2(x)的比值不恒为常数，则称它们线性无关。在二阶方程中，可通过计算朗斯基行列式W(y1,y2)=y1y2'-y1'y2是否恒不为零来判断。5.微分方程y''-4y=0的通解是什么？并求满足初始条件y(0)=1,y'(0)=-2的特解。答：通解为y=C1e^2x+C2e^-2x。由y(0)=1得C1+C2=1。由y'(x)=2C1e^2x-2C2e^-2x，y'(0)=-2得2C1-2C2=-2。解得C1=0,C2=1，故特解为y=e^-2x。6.什么是拉普拉斯方程？其解有什么性质？答：形如∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0的方程称为拉普拉斯方程。其解称为调和函数，具有以下性质：-梯度场保守；-曲面积分与边界有关；-在圆域内调和函数由其在边界上的值唯一确定。7.微分方程y''+4y=sin(2x)的特解形式是什么？为什么？答：特解形式为y=x(Acos(2x)+Bsin(2x))。因为齐次方程y''+4y=0的特征根为r1=2i,r2=-2i，非齐次项sin(2x)对应复数2i，且2i为特征根，根据叠加原理和微分方程的解的定理，特解形式需乘以x。8.微分方程y''-2y'+y=0的通解是什么？并求满足初始条件y(0)=1,y'(0)=1的特解。答：通解为y=C1e^x+C2e^x。由y(0)=1得C1+C2=1。由y'(x)=C1e^x+C2xe^x，y'(0)=1得C1+C2=1。解得C1=1/2,C2=1/2，故特解为y=(1/2)e^x+(1/2)e^x。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请结合所学知识解决下列问题。）1.一质量为m的物体挂在弹簧下端，弹簧的弹性系数为k，不计空气阻力，求物体受扰动后的运动方程。解：取平衡位置为原点，向下为正方向，设t时刻位移为y(t)。根据牛顿第二定律：my''=mg-k(y-L)，其中L为弹簧原长。令y=y(t)-L，则y''=0时y=L，即y(t)以L为平衡位置。令y=y(t)，则y''=-g/k•y，即y''+ω^2y=0，其中ω^2=g/k。通解为y(t)=C1cosωt+C2sinωt，即y(t)=Acos(ωt+φ)。周期T=2π/ω=2π√(k/m)，角频率ω=√(k/m)。2.求解微分方程y''-3y'+2y=xe^2x。解：齐次方程y''-3y'+2y=0的特征方程为r^2-3r+2=0，解得r1=1,r2=2，齐次通解为y_h=C1e^x+C2e^2x。非齐次项xe^2x中e^2x对应特征根r=2，故特解形式为y_p=x(Ax+B)e^2x。代入方程得(Ax^2+(2A+2B)x+2B)e^2x-3(Ax^2+(A+2B)x+B)e^2x+2(Ax^2+2Bx)e^2x=xe^2x，比较系数得A=1/2,B=-1/2，故特解为y_p=x(x/2-1/2)e^2x。通解为y=C1e^x+C2e^2x+(x^2/2-x/2)e^2x。3.求解微分方程y''+4y=8sinx。解：齐次方程y''+4y=0的特征方程为r^2+4=0，解得r1=2i,r2=-2i，齐次通解为y_h=C1cos2x+C2sin2x。非齐次项8sinx中sinx对应复数i，故特解形式为y_p=Acosx+Bsinx。代入方程得-Acosx-Bsinx+4(Acosx+Bsinx)=8sinx，比较系数得A=0,B=8/3，故特解为y_p=8/3sinx。通解为y=C1cos2x+C2sin2x+8/3sinx。4.求解微分方程y''-4y=4x。解：齐次方程y''-4y=0的特征方程为r^2-4=0，解得r1=2,r2=-2，齐次通解为y_h=C1e^2x+C2e^-2x。非齐次项4x为多项式，故特解形式为y_p=Ax^2+Bx。代入方程得-4Ax^2-4Bx-4y_p=4x，即-4Ax^2-4Bx=4x，比较系数得A=-1,B=0，故特解为y_p=-x^2。通解为y=C1e^2x+C2e^-2x-x^2。5.求解微分方程y''-2y'+2y=xe^x。解：齐次方程y''-2y'+2y=0的特征方程为r^2-2r+2=0，解得r1=1+i,r2=1-i，齐次通解为y_h=e^x(C1cosx+C2sinx)。非齐次项xe^x中e^x对应特征根r=1，故特解形式为y_p=x(Ax+B)e^x。代入方程得(Ax^2+(2A+2B)x+2B)e^x-2(Ax^2+(A+2B)x+B)e^x+2(Ax^2+2Bx)e^x=xe^x，比较系数得A=1/2,B=-1/2，故特解为y_p=x(x/2-1/2)e^x。通解为y=e^x(C1cosx+C2sinx)+(x^2/2-x/2)e^x。6.求解微分方程y''-y=sin^2x。解：sin^2x=(1-cos2x)/2，故方程为y''-y=(1/2)-(1/2)cos2x。齐次方程y''-y=0的特征方程为r^2-1=0，解得r1=1,r2=-1，齐次通解为y_h=C1e^x+C2e^-x。对于y''-y=1/2，特解为y_p1=1/2。对于y''-y=-1/2cos2x，特解形式为y_p2=Acos2x+Bsin2x。代入方程得-Acos2x-Bsin2x-Acos2x-Bsin2x+2(Acos2x+Bsin2x)=-1/2cos2x，比较系数得A=1/6,B=1/6，故y_p2=1/6cos2x+1/6sin2x。通解为y=C1e^x+C2e^-x+1/2+(1/6cos2x+1/6sin2x)。7.求解微分方程y''-4y=8cos2x。解：齐次方程y''-4y=0的特征方程为r^2-4=0，解得r1=2,r2=-2，齐次通解为y_h=C1e^2x+C2e^-2x。非齐次项8cos2x中cos2x对应复数2i，故特解形式为y_p=Acos2x+Bsin2x。代入方程得-4(Acos2x+Bsin2x)-4(Acos2x+Bsin2x)=8cos2x，比较系数得A=-2,B=0，故特解为y_p=-2cos2x。通解为y=C1e^2x+C2e^-2x-2cos2x。8.求解微分方程y''-2y'+y=xe^x。解：齐次方程y''-2y'+y=0的特征方程为r^2-2r+1=0，解得r1=r2=1，齐次通解为y_h=(C1+C2x)e^x。非齐次项xe^x中e^x对应特征根r=1，故特解形式为y_p=x^2(Ax+B)e^x。代入方程得(Ax^4+4Ax^3+3Ax^2+2Bx^2+2Bx)e^x-2(Ax^3+3Ax^2+2Bx)e^x+x^2(Ax^2+2Bx)e^x=xe^x，比较系数得A=1/6,B=-1/2，故特解为y_p=x^2(x/6-1/2)e^x。通解为y=(C1+C2x)e^x+(x^3/6-x^2/2)e^x。【标准答案及解析】一、单项选择题答案1.A2.A3.A4.A5.B6.A7.C8.B9.A10.D二、填空题答案1.y=ln(x^2+y^2)+C12.y=e^x(C1cosx+C2sinx)13.y=C1x+C2xlnx2.y=-x/4cos(2x)15.y=(C1+C2x+C3x^2)e^x16.y=C1e^x+C2e^3x3.y=C1e^2x+C2e^-x18.y=C1e^3x+C2e^-x19.y=C1cos(2x)+C2sin(2x)4.y=C1e^3x+C2e^-3x三、判断题答案1.√22.√23.√24.×25.√26.×27.√28.×29.√30.√四、简答题解析1.解析：步骤如下：（1）写出对应的特征方程；（2）求出特征根；（3）根据特征根的情况写出通解：-当r1≠r2为实数时，通解为y=C1e^r1x+C2e^r2x；-当r1=r2为实数时，通解为y=(C1+C2x)e^r1x；-当r1=r2=α+βi为复数时，通解为y=e^αx(C1cosβx+C2sinβx)。2.解析：形如x^2y''+axy'+by=f(x)的微分方程称为欧拉方程。解法是令x=e^t，原方程变为y''+p(t)y'+q(t)y=f(e^t)，求解后代回x=e^t得到通解。通解形式取决于齐次方程y''+p(t)y'+q(t)y=0的特征根。3.解析：微分方程y''+py'+qy=f(x)的通解由齐次方程y''+py'+qy=0的通解y_h和原非齐次方程的一个特解y_p组成，即y=y_h+y_p。4.解析：若两个解y1(x)和y2(x)的比值不恒为常数，则称它们线性无关。在二阶方程中，可通过计算朗斯基行列式W(y1,y2)=y1y2'-y1'y2是否恒不为零来判断。5.解析：通解为y=C1e^2x+C2e^-2x。由y(0)=1得C1+C2=1。由y'(x)=2C1e^2x-2C2e^-2x，y'(0)=-2得2C1-2C2=-2。解得C1=0,C2=1，故特解为y=e^-2x。6.解析：形如∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0的方程称为拉普拉斯方程。其解称为调和函数，具有以下性质：-梯度场保守；-曲面积分与边界有关；-在圆域内调和函数由其在边界上的值唯一确定。7.解析：特解形式为y=x(Acos(2x)+Bsin(2x))。因为齐次方程y''+4y=0的特征根为r1=2i,r2=-2i，非齐次项sin(2x)对应复数2i，且2i为特征根，根据叠加原理和微分方程的解的定理，特解形式需乘以x。8.解析：通解为y=C1e^x+C2e^x。由y(0)=1得C1+C2=1。由y'(x)=C1e^x+C2xe^x，y'(0)=1得C1+C2=1。解得C1=1/2,C2=1/2，故特解为y=(1/2)e^x+(1/2)e^x。五、应用题解析1.解析：取平衡位置为原点，向下为正方向，设t时刻位移为y(t)。根据牛顿第二定律：my''=mg-k(y-L)，其中L为弹簧原长。令y=y(t)-L，则y''=0时y=L，即y(t)以L为平衡位置。令y=y(t)，则y''=-g/k•y，即y''+ω^2y=0，其中ω^2=g/k。通解为y(t)=C1cosωt+C2sinωt，即y(t)=Acos(ωt+φ)。周期T=2π/ω=2π√(k/m)，角频率ω=√(k/m)。2.解析：齐次方程y''-3y'+2y=0的特征方程为r^2-3r+2=0，解得r1=1,r2=2，齐次通解为y_h=C1e^x+C2e^2x。非齐次项xe^2x中e^2x对应特征根r=2，故特解形式为y_p=x(Ax+B)e^2x。代入方程得(Ax^2+(2A+2B)x+2B)e^2x-3(Ax^2+(A+2B)x+B)e^2x+2(Ax^2+2Bx)e^2x=xe^2x，比较系数得A=1/2,B=-1/2，故特解为y_p=x(x/2-1/2)e^2x。通解为y=C1e^x+C2e^2x+(x^2/2-x/2)e^2x。3.解析：齐次方程y''+4y=0的特征方程为r^2+4=0，解得r1=2i,r2=-2i，齐次通解为y_h=C1cos2x+C2sin2x。非齐次项8sinx中sinx对应复数i，故特解形式为y_p=Acosx+Bsinx。代入方程得-Acosx-Bsinx+4(Acosx+Bsinx)=8sinx，比较系数得A=0,B=8/3，故特解为y_p=8/3sinx。通解为y=C1cos2x+C2sin2x+8/3sinx。4.解析：齐次方程y''-4y=0的特征方程为r^2-4=0，解得r1=2,r2=-2，齐次通解为y_h=C1e^2x+C2e^-2x。非齐次项