2026届高中数学（人教A版2019）2.2 直线的方程 例题、课后习题及变式题【附答案】

/2.2直线的方程第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程例1直线l经过点P0(−2,3)且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线解：直线l经过点P0(−2,3)，斜率y−3=x+2.画图时，只需再找出直线l上的另一点P1x1,y1，例如，取x1=−1，则y1=4例2已知直线l1:y=k1x+b1，l2:y=分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行､垂直的结论，可以发现l1//l2或l1⊥l2时，k解：（1）若l1//l2，则k1=k2，此时l1，l2与（2）若l1⊥l2，则k1由例2我们得到，对于直线l1:y=kl1//ll1练习1．写出下列直线的点斜式方程.（1）经过点A3,−1，斜率是2（2）经过点B−2,2（3）经过点C0,3，倾斜角是0°（4）经过点D−4,−2倾斜角是2π【答案】（1）y+1=2(x−3)；（2）y−2=33(x+【分析】根据直线的点斜式方程解题即可.【详解】（1）因为直线经过点A3,−1，斜率是2所以直线的点斜式方程为y+1=2（2）因为直线经过点B−2,2，倾斜角是所以直线的点斜式方程为y−2=3（3）经过点C0,3，倾斜角是0°，所以斜率为所以直线的点斜式方程为y−3=0(x−0)；（4）经过点D−4,−2，倾斜角是2π3所以直线的点斜式方程为y+2=−32．（1）已知直线的点斜式方程是y−2=x−1，那么此直线的斜率是_________，倾斜角是_________；（2）已知直线的点斜式方程是y+2=3x+1，那么此直线的斜率是_________，倾斜角是_________【答案】

1

45∘##π4

3【分析】（1）根据直线的点斜式方程可得出直线的斜率以及倾斜角；（2）根据直线的点斜式方程可得出直线的斜率以及倾斜角.【详解】（1）已知直线的点斜式方程是y−2=x−1，则该直线的斜率为1，倾斜角为45∘（2）已知直线的点斜式方程是y+2=3x+1，则该直线的斜率为3，倾斜角为arctan故答案为：（1）1；45∘；（2）3；arctan3．写出下列直线的斜截式方程.（1）斜率是32，在y轴上的截距是−2（2）斜率是−2，在y轴上的截距是4．【答案】（1）y=32x−2【分析】由直线的斜截式方程求解即可.【详解】(1)因为直线斜率是32，在y轴上的截距是−2所以直线的斜截式方程为y=3（2）因为直线斜率是−2，在y轴上的截距是4，所以直线的斜截式方程为y=−2x+4；4．判断下列各对直线是否平行或垂直.（1）l1:y=12（2）l1:y=5【答案】（1）l1//【分析】根据两直线（斜率都存在）平行则斜率相等且纵截距不相等，两直线（斜率都存在）垂直则斜率互为负倒数，判断即可；【详解】解：（1）因为l1:y=1所以k1=12，b1=3，k2=1（2）因为l1:y=53x，l因为k1⋅k2.2.2直线的两点式方程例3如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0，b≠0.求直线l的方程.解：将两点A(a,0)，B(0,b)的坐标代入两点式，得y−0b−0即xa例4已知△ABC的三个顶点A(−5,0)，B(3,−3)，C(0.2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程.解：如图，过B(3,−3)，C(0,2)的两点式方程为y−2−3−2整理得5x+3y−6=0.这就是边BC所在直线的方程.边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为3+02即32过A(−5,0)，M3y−0−整理可得x+13y+5=0.这就是边BC上中线AM所在直线的方程.练习5．求经过下列两点的直线的两点式方程.（1）P12,1，P（2）A0,5，B【答案】（1）y−1−3−1=x−2【分析】根据直线的两点式方程求解即可.【详解】因为直线的两点式方程为：y−y因为P12,1，所以直线P1P2因为A0,5，B所以直线AB的两点式方程：y−50−56．根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形.（1）在x轴、y轴上的截距分别是2，3；（2）在x轴、y轴上的截距分别是−5，6．【答案】（1）x2+y【分析】由截距式xa【详解】（1）由截距式得：x2（2）由截距式得：x−57．根据下列条件，求直线的方程.（1）过点0,5，且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点5,0，且在两坐标轴上的截距之差为2．【答案】（1）5x−3y+15=0（2）3x+5y−15=0【分析】（1）根据题意求出直线在x轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.（2）根据题意求出直线在y轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.【详解】（1）因为直线在y轴上的截距为5，则在x轴上的截距为2−5=−3.则直线为x−3（2）因为直线在x轴上的截距为5，则在y轴上的截距为5−2=3或5+2=7.则直线为x5+y所以直线为3x+5y−15=0或7x+5y−35=02.2.3直线的一般式方程例5已知直线经过点A(6,−4)，斜率为−43解：经过点A(6,−4)，斜率为−4y+4=−4化为一般式，得4x+3y−12=0.例6把直线l的一般式方程x−2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.分析：求直线l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令y=0即可得x的值.解：把直线l的一般式方程化为斜截式y=1因此，直线l的斜率k=12，它在y在直线l的方程x−2y+6=0中，令y=0，得x=−6，即直线l在x轴上的截距是−6.由上面可得直线l与x轴､y轴的交点分别为A(−6,0)，B(0,3)，过A，B两点作直线，就得直线l练习8．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.（1）经过点A8,−2，斜率是−1（2）经过点B4,2，平行于x（3）经过点P13,−2，P（4）在x轴、y轴上的截距分别是32，−3【答案】（1）x+2y−4=0；（2）y−2=0；（3）x+y−1=0；（4）2x−y−3=0【分析】（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式；【详解】（1）由点斜式写出直线方程y=−1其一般式为x+2y−4=0；（2）由点斜式写出直线方程y=0×(x−4)+2=2，其一般式为y−2=0；（3）由两点式写出直线方程y−(−2)−2−(−4)其一般式为x+y−1=0；（4）由截距写出直线方程x3其一般式为2x−y−3=0；9．求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.（1）3x+y−5=0；

（2）x4（3）x+2y=0；

（4）7x−6y+4=0．【答案】（1）-3,5；（2）54，−5；（3）−12，0；（4）7【分析】直线y=kx+b的斜率为k，在y轴上的截距为b，故将直线的一般式变为斜截式，即可得到斜率和在y轴上的截距.【详解】（1）3x+y−5=0即y=−3x+5，斜率为−3，在y轴上的截距为5；（2）x4−y5=1，即y=54（3）x+2y=0，即y=−12x，斜率为−（4）7x−6y+4=0，即y=76x+23，斜率为710．已知直线l的方程是Ax+By+C=0．（1）当B≠0时，直线l的斜率是多少？当B=0时呢？（2）系数A，B，C取什么值时，方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线？【答案】（1）B≠0时，斜率k=−AB；当B=0时，直线l的斜率不存在；（2）C=0且【分析】（1）当B≠0时，直接由直线方程求出斜率；当B=0时，直线l的斜率不存在；（2）由直线过原点可得C=0，再由A,B不同时为0即可得解.【详解】（1）当B≠0时，直线l的斜率是k=−AB；当B=0时，直线（2）因为直线Ax+By+C=0过原点，所以C=0，所以当C=0且A,B不同时为0时，方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线.习题2.2复习巩固11．写出满足下列条件的直线的方程.（1）经过点A(8,−2)，斜率是33（2）经过点B(−2,0)，且与x轴垂直；（3）斜率是−4，在y轴上的截距是7；（4）经过A(−1,8)，B(4,−2)两点；（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，−3．【答案】（1）3x−3y−83−6=0（2）x=−2（3）4x+y−7=0（4）2x+y−6=0（5）【分析】（1）利用点斜式求出直线方程；（2）依题意直接得到直线方程为x=−2；（3）利用斜截式求出直线方程；（4）首先求出斜率，再利用点斜式求出直线方程；（5）依题意可知斜率为0，即可得到直线方程；（6）利用截距式求出直线方程；【详解】解：（1）经过点A(8,−2)，斜率是33；则直线方程为y+2=3（2）经过点B(−2,0)，且与x轴垂直；则直线方程为x=−2（3）斜率是−4，在y轴上的截距是7；则直线方程为y=−4x+7，即4x+y−7=0（4）经过A(−1,8)，B(4,−2)两点；则斜率k=−2−84−−1=−2（5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行；则直线方程为y=2（6）在x轴、y轴上的截距分别是4，−3．则直线方程为x4+12．判断A1,3，B5,7，【答案】A，B，C三点共线；理由见解析【分析】根据向量共线定理判断即可.【详解】因为A1,3，B5,7，所以AB→因为AB→所以A，B，C三点共线.13．已知两点A7,−4，B−5,6，求线段【答案】6x−5y−1=0【分析】根据中点坐标公式求得线段AB中点坐标，再求直线AB的斜率，进而确定垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可.【详解】因为两点A7,−4，B所以线段AB中点坐标为(1,1)，kAB所以线段AB的垂直平分线的斜率为65由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：y−1=6整理得：6x−5y−1=0.14．已知△ABC的三个顶点A8,5，B4,−2，C−6,3，求经过两边AB【答案】x+2y-9=0【分析】首先求得中点坐标，再根据直线的两点式方程求解即可.【详解】设AB和AC的中点分别为D,E，因为A8,5，B4,−2，所以D(6,所以直线DE的方程为：y−4x−1整理得：x+2y−9=0，经过两边AB和AC的中点的直线的方程为x+2y−9=0.15．一根弹簧，挂4N的物体时，长20cm．在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长1.5cm．试写出弹簧的长度l（单位：cm）与所挂物体重量G（单位：N）之间关系的方程．【答案】l=14+1.5G【分析】根据题意先求出弹簧的原长，再由条件列出弹簧的长度l（单位：cm）与所挂物体重量G（单位：N）的关系方程.【详解】设弹簧的原长是Lcm，∵挂4N的物体时，长20cm．在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长1.5cm．∴20=L+4×1.5，解得L=14cm．∴在弹性限度内，弹簧的长度l（单位：cm）与所挂物体重量G（单位：N）之间关系的方程：l=14+1.5G.16．菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程．【答案】3x+4y−12=0；3x−4y+12=0；3x+4y+12=0；3x−4y−12=0【分析】根据菱形的结构特征可确定直线经过点，再由点斜式即可求解.【详解】由题意作出菱形图形，如图，直线AB的方程：y=−34x−4直线BC的方程：y=34x+4直线CD的方程：y=−34x+4直线AD的方程：y=3417．求经过点P2,3【答案】3x−2y=0或x+y−5=0【分析】讨论截距为不为0,分别求出直线即可.【详解】（1）当截距为0时：直线为3x−2y=0。（2）当截距不为0时，设截距为a,则直线为x+y=a，将P2,3代入解得a=5所以直线为x+y−5=0.综上所述：直线为3x−2y=0或x+y−5=0.18．求满足下列条件的直线的方程.（1）经过点A3,2，且与直线4x+y−2=0（2）经过点C2,−3，且平行于过M1,2和（3）经过点B3,0，且与直线2x+y−5=0【答案】（1）y=−4x+14；（2）y=−32【分析】（1）两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；（2）求过两点的直线斜率，然后根据两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；（3）两直线垂直，斜率乘积等于-1，求得斜率，从而写出方程；【详解】（1）与直线4x+y−2=0平行的直线斜率为-4，且经过点A则直线为y=−4(x−3)+2=−4x+14；（2）过M1,2和N−1,5两点的直线斜率为则与MN平行且过点C2,−3的直线方程为：y=−（3）直线2x+y−5=0的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为12则经过点B3,0，且与直线2x+y−5=0垂直的直线方程为y=综合运用19．△ABC的三个顶点是A4,0，B6,7，（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高所在直线的方程；（3）边BC的垂直平分线的方程．【答案】（1）y=−5x+20；（2）y=−32【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过A4,0（3）由（1）知BC的中点坐标(3,5)，由（2）知高的斜率为−3【详解】（1）BC的中点坐标为(则边BC上的中线所在直线的方程为y=5（2）边BC的斜率为7−36−0=23，则其上的高的斜率为则边BC上的高所在直线的方程为y=−3（3）由（1）知BC的中点坐标(3,5)，由（2）知高的斜率为−3则边BC的垂直平分线的方程为y=−320．求直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：（1）与两条坐标轴都相交；

（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；

（4）是x轴所在的直线；（5）是y轴所在的直线．【答案】（1）A≠0，B≠0；（2）A≠0，B=0；（3）A=0，B≠0；（4）A=0，B≠0，C=0；（5）A≠0，B=0，C=0；【分析】（1）根据直线与坐标轴相交的性质可得；（2）根据直线只与x轴相交的性质可得；（3）根据直线只与y轴相交的性质可得；（4）由x轴所在的直线方程即可得解；（5）由y轴所在的直线方程即可得解.【详解】（1）直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）与x轴相交时，方程组{Ax+By+C=0y=0有唯一解，所以同理直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）与y轴相交时，方程组{Ax+By+C=0x=0有唯一解，所以所以当A≠0，B≠0时，直线Ax+By+C=0与两条坐标轴都相交；（2）已知直线只与x轴相交，所以直线Ax+By+C=0与y轴平行或重合，所以当A≠0，B=0时，直线x=−CA只与（3）已知直线只与y轴相交，所以直线Ax+By+C=0与x轴平行或重合，所以当A=0，B≠0时，直线y=−CB只与（4）当A=0，B≠0，C=0时，直线y=0是x轴所在的直线；（5）当A≠0，B=0，C=0时，直线x=0是y轴所在的直线；21．设点P0x0,y【答案】证明见解析.【分析】将点P0x0,y【详解】因为点P0x0,y所以Ax0+B整理可得：Ax−22．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置．试求直线l的斜率．【答案】−【分析】设直线l的方程为y=kx+b，平移后的方程为y=k(x+3)+b+1=kx+3k+b+1，根据截距相同，求得k.【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为y=kx+b，则根据平移过程知，平移后的方程为y=k(x+3)+b+1=kx+3k+b+1，该直线与原直线相同，则3k+b+1=b.则k=−123．一条光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(2,0)【答案】入射光线的直线方程为y=x−2,反射光线的直线的方