2026届高中数学（人教A版2019）5.2 导数的运算 例题、课后习题及变式题【附答案】

/5.2导数的运算第五章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5．2．1基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：（1）y=x（2）y=log解：（1）y′（2）y′例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)=p其中p0为t=0时的物价．假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01解：根据基本初等函数的导数公式表，有p′所以p′所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．练习1．求下列函数的导数：(1)y=(2)y=(3)y=(4)y=(5)y=(6)y=【答案】(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)y【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；(1)解：因为y=1x4(2)解：因为y=3x4(3)解：因为y=3x，所以(4)解：因为y=(12(5)解：因为y=log4x(6)解：因为y=log122．求下列函数在给定点的导数：（1）y=x5在（2）y=lnx在（3）y=sinx在（4）y=ex在【答案】(1)f′(3)=405；(2)f′23【分析】运用求导公式对所给函数进行求导，然后再求所求点的导数值.【详解】(1)因为y=x5，所以y′=5x(2)因为y=lnx，所以y′=1(3)因为y=sinx，所以y′=cos(4)因为y=ex，所以y′=e3．求余弦曲线y=cosx在点【答案】y=−x+【分析】求导得y=cos【详解】因为y=cosx，则可得曲线y=cosx在点(π则曲线y=cosx在点(π故答案为：y=−x+π4．求曲线y=x12【答案】y=【分析】先求导数，然后求出切线的斜率，即可得到切线方程.【详解】解：∵y∴y∴k=所以切线方程为y−2=145．2．2导数的四则运算法则例3求下列函数的导数：（1）y=x（2）y=2解：（1）y==3x（2）y==2例4求下列函数的导数：（1）y=x（2）y=2解：（1）y==3x（2）y==2x例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c(x)=5284求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%；（2）98%．解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．c===5284（1）因为c′(90)=5284(100−90)2=52.84，所以，净化到纯净度为（2）因为c′(98)=5284(100−98)2=1321，所以，净化到纯净度为函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c′(98)=25c′(90)．它表示净化到纯净度为98%练习1．运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5．1节例2．你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？5．求下列函数的导数：（1）y=2x3−3x（4）y=(x2+2x)x【答案】（1）y′=6x2−6x；（2）y′=−3sin【分析】运用导数求导法则直接求导即可得到结果.【详解】（1）y（2）y（3）y（4）y=（5）y（6）y==6．求曲线y=x2+【答案】x+y−5=0【分析】先求解出f′x，然后求解出【详解】因为y′=f′x所以切线方程为：y−4=−x−1即为x+y−5=0.5．2．3简单复合函数的导数例6求下列函数的导数：（1）y=(3x+5)（2）y=e（3）y=ln解：（1）函数y=(3x+5)3可以看作函数y=uy==3=9(3x+5)（2）函数y=e−0.05x+1可以看作函数y=ey==−0.05=−0.05e（3）函数y=ln(2x−1)可以看作函数y=lny=(=2×=2例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式y=18sin2π3t−π解：函数y=18sin2π3t−πy=(18=18=12πcos当t=3时，y′它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm练习7．求下列函数的导数：(1)y=(2)y=(3)y=(4)y=(5)y=(6)y=【答案】(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)y【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得；(1)解：因为y=23x+1(2)解：因为y=1−2x3(3)解：因为y=log2(4)解：因为y=cosx(5)解：因为y=sin((6)解：因为y=22x8．求下列函数在给定点的导数：（1）y=e−2x−1在（2）y=ln5x+2在【答案】（1）−2e−2；（2）【分析】（1）先根据复合函数的求导法则求解出y=e−2x−1的导函数y′（2）先根据复合函数的求导法则求解出y=ln5x+2的导函数y′【详解】（1）因为y=e−2x−1可以看作函数y=e所以yx所以当x=12时，（2）因为y=ln5x+2可以看作函数y=ln所以yx所以当x=1时，yx9．求曲线y=33x−1在点【答案】y=x+【分析】求出曲线y=33x−1在点【详解】设y=fx=3x−113因此，曲线y=33x−1在点23,1处的切线方程为习题：5．210．求下列函数的导数；(1)y=2(2)y=(3)y=(4)y=(5)y=(6)y=【答案】(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)y【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；(1)解：因为y=2x3−3(2)解：因为y=2x+(3)解：因为y=2x+(4)解：因为y=xne(5)解：因为y=x3(6)解：因为y=sinx11．求下列函数的导数．(1)y=(2)y=(3)y=2x−3(4)y=(5)y=(6)y=3【答案】(1)y′=99(2)y(3)y(4)y(5)y=6(6)y【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．（1）解：∵y=(x+1)99，（2）解：因为y=x2x+1（3）解：因为y=2x−3sin（4）解：因为y=cos(3x−2)（5）解：因为y=3x+12（6）解：因为y=3x12．已知函数fx=13−8x+2x2【答案】3【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得；【详解】解：因为fx=13−8x+2x2，所以f′13．已知函数y=xln（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1,0处的切线方程．【答案】（1）y′=ln【分析】（1）运用函数乘积的求导法则即可求出导数；（2）求导后计算出切线斜率，然后计算出切线方程.【详解】（1）由题意，y=x∴故函数y=xlnx（2）易知所求切线的斜率存在，设斜率为k，则k=y又当x=1时，y=0，所以切点为（1,0），则切线的方程为y−0=1×(x−1)即y=x−1，故这个函数的图象在x=1处的切线方程为y=x−1.14．求曲线y=sinxx【答案】x+πy−π=0.【分析】由题意可得y′【详解】由函数的解析式可得：y′所求切线的斜率为：k=y由于切点坐标为(π,0)，故切线方程为：即为x+πy−π=0.15．已知函数fx满足f(x)=f′(π【答案】2【分析】首先求出函数的导函数，再将x=π【详解】解：因为f(x)=f′(π4)16．设函数fx=1−ex的图象与x轴相交于点【答案】x+y=0【分析】结合导数的几何意义即可.【详解】令f(x)=1−ex=0得x=0，则点P∵f′x=−∴曲线在点P处的切线方程为y=−x，即x+y=0.17．已知函数f(x)=x22+2x−3ln【答案】f′(x)=x+2−3x；【分析】先求导函数，再解f′x>0【详解】f(x)=x22所以f′令f′x>0所以f′x18．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500g氡气，那么t天后，氡气的剩余量为At=500×0.834t(1)氡气的散发速度是多少？(2)A′【答案】(1)A(2)A′7≈−25.5，表示在第7天附近，氡气大约以25.5【分析】（1）根据基本初等函数的导数公式计算可得；（2）将t=7代入求值即可；(1)解：氡气的散发速度就是剩留量函数的导数．∵At∴A(2)解：因为A所以A′它表示在第7天附近，氡气大约以25.5克/天的速度自然散发．19．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式l(t)=2t（1）求关于t的导数，并解释它的实际意义；（2）当t=3s时，求运动员的滑雪速度；（3）当运动员的滑雪路程为38m【答案】（1）l′(t)=4t+3（2）272（m/s）；（3）35【分析】（1）求出l′（2）把t=3代入l′（3）由题意得2t2+32【详解】（1）由已知得l′(t)=4t+3（2）因为l′(t)=4t+3所以运动员的滑雪速度272（3）由题意得2t2+32因为l′(t)=4t+3当运动员的滑雪路程为38m时，此时的滑雪速度3520．设曲线y=e2ax在点0,1处的切线与直线2x−y+1=0垂直．求【答案】a=−【分析】求导后计算出在点（0,1）处的切线斜率，结合题中两直线垂直计算出结果.【详解】解：∵y=e∴y所以在点（0,1）处的切线斜率为k=y又因为切线与直线2x−y+1=0垂直，∴2a×2=−1，∴a=−121．请按步骤，完成下面的任务．（1）利用信息技术工具，分别画出h=1，0.5，0.1，0.05时，函数y=sin（2）画出函数y=cosx的图象，并与上面的四个图象比较，当（3）猜测y=sinx的导数，它与基本初等函数的导数公式表中21．某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m．假设在该海湾某一固定点，大海水深d（单位：m）与午夜后的时间t（单位：h）的关系由函数dt=10+4（1）上午6：00；

（2）上午9：00；（3）中午12：00；

（4）下午6：00．【答案】答案见解析.【分析】根据导数的几何意义求出d′