2026届高中数学（人教A版2019）10. 3频率与概率 例题、课后习题及变式题【附答案】

/10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性例1新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.（1）分别估计我国2014年和2015年男婴出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）；（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生率.解：（1）2014年男婴出生的频率为，2015年男婴出生的频率为.由此估计，我国2014年男婴出生率约0.537，2015年男婴出生率约为0.532.（2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度.因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.例2一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两次硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；（2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；（3）当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率；（4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5.【答案】（1）错误，理由见解析；（2）错误，理由见解析；（3）正确，理由见解析；（4）错误，理由见解析.【解析】【分析】（1）随机事件的发生具有偶然性，所以说法错误；（2）频率不等于概率，所以说法错误；（3）正确；（4）发生与不发生的概率不一定相等，所以说法错误.【详解】解：（1）错误，理由：抛掷一枚硬币是随机试验，在一次试验中出现某种结果也是随机的，所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上.（2）错误，理由：事件“正面朝上”的频率是0.4，而不是概率是0.4.（3）正确，理由：这是频率的稳定性.（4）错误，理由：随机事件发生的概率不一定是0.5.【点睛】此题考查对频率和概率的理解辨析.2.用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？【答案】公平，理由见解析【解析】【分析】分别计算出甲胜和以胜的概率即可得解.【详解】解：这个游发是公平的，理由：抛掷两枚硬币共有4种等可能结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），所以甲、乙获胜的概率都是.【点睛】此题考查求事件发生的概率，利用概率解决实际问题，通过概率的计算决策游戏的公平性，关键在于准确求出概率.3.据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下：血型ABOAB人数/人77041076589703049频率（1）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）；（2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？【答案】（1）见解析；（2）0.294.【解析】【分析】（1）每一种血型的人数除以总人数就是该组频率；（2）H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约等于该种血型的频率.【详解】解：（1）总人数：7704+10765+8970+3049=30488，，，，如表：血型ABOAB人数/人77041076589703049频率0.2530.3530.2940.100（2）由（1）知H省O型血的频率为0.294，所以相应概率大约是0.294.【点睛】此题考查根据已知数据计算频率，并用频率估计概率.4.分别举出一个生活中概率很小和很大的例子.【答案】见解析【解析】【分析】答案不唯一，以买彩票为例子.【详解】解：概率很小的例子：买了一张彩票，中了特等奖.概率很大的例子：买了一张彩票，没有中奖.【点睛】此题考查对生活中的事例进行概率辨析.10.3.2随机模拟例3从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月……十二月是等可能的.设事件“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.解：方法1根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装人编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率.方法2利用电子表格软件模拟试验.在，，，，，单元格分别输入“”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验.选中，，，，，单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验.统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.表10.3-4是20次模拟试验的结果.事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70，与事件A的概率（约0.78）相差不大.例4在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.分析：奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是或.显然，甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得第3局的概率，与打满3局，甲胜2局或3局的概率相同.每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能出现的，因此不是古典概型，可以用计算机模拟比赛结果.解：设事件“甲获得冠军”，事件“单局比赛甲胜”，则.用计算器或计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组.例如，产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354相当于做了20次重复试验.其中事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率的近似为.练习5.将一枚质地均匀的硬币连掷次,设事件“恰好两次正面朝上”,（1）直接计算事件的概率;（2）利用计算器或计算机模拟试验80次,计算事件发生的频率.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】(1)依据题意列出所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率,即可求得答案.(2)利用计算器或计算机生成随机数表,即可求得事件发生的频率.【详解】(1)随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次,出现的情况如下,(正,正,正,正),(正,正,正,反),(正,正,反,正),(正,反,正,正),(反,正,正,正),(反,反,正,正),(反,正,反,正),(反,正,正,反),(正,反,反,正),(正,反,正,反),(正,正,反,反),(正,反,反,反),(反,正,反,反),(反,反,正,反),(反,反,反,正),(反,反,反,反).共有种等可能的结果其中恰好两次正面朝上情况共有:种则事件的概率为:(2)利用计算机生成随机数表,如下:88941305945592991890761920767048702280412892771190753766405259791374955348333330759463711849974213518025397884105836308141125590855533761550123994416182634870983841753682733350686598011870486326809120735962305705607543093813902977657137712261171963480271823442784865668963107323396003896258231921917359649676121618796356数表中共有80组数据,每组数据有4个随机数,规定:数据是奇数代表硬币的反面,数据的偶数代表硬币的正面由数表可得恰好两次正面朝上的组数有:26事件发生的频率:【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6.盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球.（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率.【答案】(1)答案见解析.(2)答案见解析.(3)答案见解析.(4)答案见解析.【解析】【分析】(1)"袋中没有黄球,故摸出的球是黄球"是不可能事件;(2)"摸出的球是白球"是不确定事件,根据概率公式即可求解;(3)"摸出的球是白球或黑球"是必然事件,故它的概率为;(4)利用计算机生成随机数表,即可估计估计“取出的球是白球”的概率.【详解】(1)从中任意取出一个球,“取出的球是黄球”是不可能事件,它的概率为.(2)“取出的球是白球”是随机事件事件,它的概率是.(3)“取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是(4)用计算机产生1-9的随机数,规定1-4代表白球,5-9代表黑球.7684138164868488462151552283659435797953344344849249211645527843496984675899486873713832664317722495从表中可以查1-4数据有46个,5-9数据有54个.“取出的球是白球”的概率为:【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表估计事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.7.（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；（3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析【解析】【分析】(1)写出基本事件,根据概率的计算公式,即可求得答案;(2)利用计算机生成随机数表,即可计算出现点数和为7的频率;(3)分析(1)和(2)所得数据,即可求得答案.【详解】(1)抛掷两枚骰子,向上的点数有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6);(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6);(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6);(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6);(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)、(5,6);(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6).共36种情况,其中点数和为7的有6种情况,概率.(2)635135664254664264224636422655535112322462523212636131122264641251235246253265413131154313524215522622616542251442112542266236416234313116246434224562541634226412235441545221453566136511144151543236445242155226226165422553521632246252321263规定每个表格中的第一个数字代表第一个骰子出现的数字,第二个数字代表第二个骰子出现的数字从表格中可以查出点数和为7等于23个数据点数和为7的频率为:(3)由(1)中点数和为7的概率为由(2)点数和为7的频率为:一般来说频率与概率有一定的差距,因为模拟的次数不多,不一定能反映真实情况.【点睛】本题考查了计算事件的概率和用随机数表计算事件的频率,掌握概率的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.习题10.3复习巩固8.在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内，被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染，根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率；（1）圆形细胞；（2）椭圆形细胞；（3）不规则形状细胞.【答案】（1）0；（2）；（3）1.【解析】【分析】（1）有圆形细胞的豚鼠中：被感染个数除以150；（2）有椭圆形细胞的豚鼠中：被感染个数除以250；（3）有不规则细胞的豚鼠中：被感染个数除以100.【详解】解：（1）有圆形细胞的豚鼠中没有被感染的，故概率的估计值为0；（2）有椭圆形细胞的脈鼠有250只，被感染的有50只，概率的估计值为.（3）有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染，其概率估计值为1.【点睛】此题考查频率与概率的关系，利用频率估计概率.9.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4.重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数（如下表）.如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率.四面体的面1234频数22182139【答案】0.21【解析】【分析】根据频数计算出频率即可估计概率.【详解】解：标记3的面落在桌面上的频率为，故其概率的估计100值为0.21.【点睛】此题考查频率与概率的关系，用频率估计概率.10.在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示：元音字母AEIOU频率7.88%12.68%7.07%7.76%2.80%（1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率；（2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么.【答案】（1）答案见解析；（2）不大接近，原因见解析.【解析】【分析】（1）元音字母出现的频率即AEIOU五个字母出现频数分别除以所有字母出现次数；（2）不完全接近，随机选一页，其频率往往偏差可能会很大.【详解】（1）选取英文书籍任意一页，一共637个字母，其中元音字母出现频数和频率如下表，A出现38次，频率为：5.97%E出现96次，频率为：15.07%I出现47次，频率为：7.38%O出现52次，频率为：8.16%U出现12次，频率为：1.88%（2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为统计数据较小，有很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.【点睛】此题考查频率与概率的关系，试验次数越多，频率越接近概率.11.人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表：父母血型的基因类型组合子女血型的概率OABAB【答案】见解析【解析】【分析】根据题意将子女所有血型列举出来，求出样本容量及各种血型的频数，再根据频率与概率的关系即可得解.【详解】解：当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，填入表中，如表所示：父母血型的基因类型组合子女血型的概率OABAB所以一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则他们的子女的血型基因类型的可能结果如下：，，，共16个，则他们的子女的血型是型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为.综合运用5．“用事件A发生的频率f（A）估计概率P（A），重复试验次数n越大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明．12.在一个袋子中放6个白球，4个红球，揺匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件“第i次摸到红球”，i=1，2，3.（1）在两种摸球方式下分别猜想事件发生的概率的大小关系；（2）重复做10次试验，求事件发生的频率，并填入下表.放回摸球不放回摸球（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率差别大吗？在不放回摸球方式下，事件的频率差别大吗？请说明原因.【答案】（1）相等；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）每种摸球方式概率都相等；（2）进行试验，统计频率；（3）根据统计结果进行分析.【详解】（1）有放回摸球，每次试验，摸到红球的概率相等，无放回摸球，可以看成对十个球进行排序，红球在任何一个位置都是等可能的，所以概率相等；（2）通过试验统计得：（结果不唯一）放回摸球不放回摸球（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率差别不大，两种摸球方式频率：的频率差别很小，无论放回不放回，不影响的概率略有影响，因为试验次数较少，频率相比概率有一定偏差.【点睛】此题考查频率与概率的关系辨析，有放回与无放回摸球频率差异.变式练习题13.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)2[15.5,19.5)4[19.5，23．5)9[23.5,27.5)18[27.5，31.5)1l[31.5，35.5)12[35.5．39.5)7[39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】数据落在[31.5，43.5)的频数为12+7+3=22,所以,应选C.14.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：分组[500,900)[900,1100)[1100,1300)[1300,1500)频数48121208223频率分组[1500,1700)[1700,1900)[1900，＋∞)频数19316542频率（1）求各组的频率；（2）根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的频率.【答案】（1）见解析；（2）0.6.【解析】【分析】（1）由频率，可得出各组的频率；（2）要计算灯管使用寿命不足1500小时的频率，即计算前四个小组的频率之和.【详解】解：（1）解：分组，，，，，，，频数4812120822319316542频率0.0480.1210.2080.2230.1930.1650.042（2）解：由（1）可得，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6．15.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，如果前9个病人都没有治愈，那么第10个病人就一定能治愈吗？【答案】不一定.【解析】【分析】由独立事件的概念直接判断.【详解】不一定，因为每个病人都是独立的，治愈率为10%，与他人是否治愈无关.16.某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．