备战高考数学专题：抛物线的定值问题

专题28：抛物线的定值问题一、单选题1．如图，已知抛物线的焦点为F，过点的直线交抛物线两点，直线分别与抛物线交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A．1 B．2 C．3 D．4二、解答题2．在直角坐标系中，曲线的点均在外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．（1）求曲线的方程；（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点、和、．证明：当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值．3．已知抛物线：的焦点是F，若过焦点的直线与相交于P，Q两点，所得弦长的最小值为4.（1）求抛物线的方程；（2）设A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，若，，M为垂足，证明：存在定点N，使得为定值.4．如图，已知过拋物线的焦点的直线交抛物线于点点在第一象限)，线段的中点为拋物线在点处的切线与以为直径的圆交于另一点.（1）若，求直线的方程；（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值.5．动圆过定点，且与直线相切，其中，设圆心的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）设直线交轨迹于不同的两个点、，当时，直线过定点，请求出定点坐标；（3）设轨迹上的两个定点、，分别过点、作倾斜角互补的两条直线、分别与轨迹交于、两点，求证：直线的斜率为定值．6．已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，.（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；（3）求的最小值.7．如图，已知是抛物线上一点，直线，的斜率互为相反数，与抛物线分别交于，两点，且均在点的下方．（1）证明：直线的斜率为定值；（2）求面积的最大值．8．己知过点的直线l与抛物线交于A，B两点．（1）分别以A，B为切点作抛物线的两条切线PA，PB，交点为P，当时，求点P的轨迹方程；（2）若为定值，求m的值．9．如图，抛物线的焦点为，为过点的弦，设直线的斜率为（）.的中垂线与轴交于点，抛物线在，两点处切线交于点Q.（1）当时，求的面积；（2）判断是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由.10．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于不同的两点，.（1）求抛物线的方程；（2）是否存在与的取值无关的定点，使得直线，的斜率之和恒为定值？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.11．已知抛物线，过点作直线与抛物线交于两点，点是抛物线上异于两点的一动点，直线与直线交于两点.（1）证明：两点的纵坐标之积为定值；（2）求面积的最小值.12．如图，已知抛物线，在轴正半轴上有一点，过点作直线，分别交抛物线于点，过点作垂直于轴分别交于点.当，直线的斜率为1时，.（1）求抛物线的方程；（2）判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.13．在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足，过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为.（1）求：的值；（2）证明：为定值.14．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于点，直线交轴于点．（1）求直线的斜率的取值范围；（2）设为原点，，求证:为定值．15．设F是抛物线y2＝4x的焦点，M，P，Q是抛物线上三个不同的动点，直线PM过点F，MQ∥OP，直线QP与MO交于点N．记点M，P，Q的纵坐标分别为y0，y1，y2．（1）证明：y0＝y1﹣y2；（2）证明：点N的横坐标为定值．参考答案1．D【分析】设出的坐标，求得直线的方程，由此求得两点的坐标，由此求得.【解析】依题意，设，所以的方程是，设，则，与抛物线方程联立可得，所以，，所以，即，同理可得，由于，所以，所以.故选：D【点评】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.2．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）分析可知，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，进而可求得曲线的方程；（2）设的坐标为，设过且与圆相切的直线的斜率存在且不为，分析可知切线、的斜率、为关于的二次方程的两根，可得出，设四点、、、的纵坐标分别为、、、，联立直线与抛物线的方程，可得出的表达式，进一步可得出的表达式，由此可计算得出结果.【解析】（1）由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的方程为；（2）当点在直线上运动时，的坐标为，又，则过且与圆相切的直线的斜率存在且不为，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即，于是，整理得，①设过所作的两条切线、的斜率分别为、，则、是关于的方程的两个实根，故②，由，得③，设四点、、、的纵坐标分别为、、、，则、是方程③的两个实根，所以④，同理可得⑤，于是由②④⑤三式得．所以当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值．【点评】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，求得弦长，得到取最小值时参数的值，得到抛物线方程；（2）直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，，.将直线方程与抛物线方程联立，根据垂直，得到坐标之间的关系，求得参数的值，进而求得结果，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到定值，证得结果.【解析】（1）显然直线的斜率不为0，故可设置的方程为，，所以，.所以.，所以当时，最小，所以，故所求抛物线的方程为.（2）直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，，.，所以，..因为，所以，所以，即解得或.若，则直线过点，不符合题意.则有，此时直线的方程为，所以直线过定点.又，所以，所以点在以为直径的圆上，所以.此时.【点评】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，解题方法如下：（1）根据题意，设出直线方程，与抛物线的方程联立，求弦长，得到取最小值时参数的值，得到抛物线的方程；也可以利用抛物线的焦点弦长最短是通径，得到结果；（2）根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，根据垂直关系，得到坐标之间的关系，从而求得参数的值，再根据直角三角形的外心为斜边中点，得到结果.4．（1）；（2）是定值，定值为.【分析】（1）设直线的方程为，，联立直线与抛物线，结合韦达定理，再由，可得的值；（2）设过点的切线的方程为：，代入由得所以的方程为：，进而确定点，，，，再由，可得.【解析】解：（1）设由得则因为所以从而所以直线的方程为；（2）设过点的切线的方程为：，代入由得所以的方程为：.设直线与轴交点为令得，,,,.【点评】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．5．（1）；（2）；（3），证明见解析．【分析】（1）利用抛物线的定义可知轨迹为抛物线，确定该抛物线的焦点和准线方程，即可得出轨迹的方程；（2）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；（3）设点、，根据可得出，再利用直线的斜率公式可证得结论成立.【解析】（1）由题意可知，圆心到点的距离等于圆心到直线的距离，所以，点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，因此，轨迹的方程为；（2）若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，联立，消去可得，由韦达定理可得，，解得，所以，直线的方程为，因此，直线过定点；（3）设点、，则，同理可得，，由于直线、的倾斜角互补，则，可得，所以，，因此，直线的斜率为（定值）.【点评】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.6．（1）；（2）证明见解析；（3）4.【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设的坐标，设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得：，利用判别式等于零可得结论；（3）设，的坐标，由（2）可得参数，的关系，代入过的切线方程与抛物线的方程中，可得，用参数，表示的坐标，代入弦长公式中求的表达式，由参数的范围求出的最小值．【解析】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为抛物线的焦点为，，所以抛物线的标准方程：．（2）抛物线的准线方程为．设，设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得：．其判别式△，令△，得：．由韦达定理知，，故（定值）．（3）设，，，，由，得，故，所以，代入抛物线方程得，所以，，，，因为，，所以，当且仅当时取等号．当且仅时取等号．故的最小值为4．【点评】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.7．（1）证明见解析，（2）【分析】（1）先把点的坐标代入抛物线中求出的值，设直线的方程为，联立，得，结合已知可得，，然后利用斜公式化简可得结果；（2）设直线的方程为，和抛物线方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，再利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，则，然后令，构造函数可求出面积的最大值【解析】（1）证明：因为是抛物线上一点，所以，得，所以抛物线方程为，设直线的方程为，由，得，所以，所以，因为直线，的斜率互为相反数，所以直线的方程为，同理可得，所以，所以直线的斜率为定值，（2）解：由（1）设直线的方程为，由，得，因为直线与抛物线有两个交点，所以，得，，所以，点到直线的距离为，所以的面积为，令，则，所以，令，则，令，得或（舍去），当时，，当时，，所以在递增，在上递减，所以当时，取最大值，即，所以的面积的最大值为，此时直线为【点评】此题考查了直线与抛物线位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，弦长公式，考查计算能力，考查转化思想，属于较难题.8．（1）；（2）．【分析】（1）设直线l的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，结合抛物线的方程，求得分别以点为切点的切线方程，联立方程组，求得交点坐标，即可求解；（2）设直线l的方程为与抛物线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，分别求得，得到，根据为定值，列出方程组，即可求解.【解析】（1）设点，，直线l的方程为，联立方程组，整理得，则，，由抛物线方程，可得，则，所以以点A为切点的切线方程是，即，同理，以点B为切点的切线方程是．联立方程组，解得，∴点P的坐标为，即，∴点P的轨迹方程是．（2）设直线l的方程为代入，化简得，又设，，则，，所以，同理可得：，所以，因为为定值，令（C为常数），则，可得，解得．【点评】本题主要考查抛物线方程、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．9．（1）；（2）1.【分析】（1）设AB所在直线方程为，，由，得，然后根据，利用，求得斜率k，得到直线AB的中垂线方程，进而得到点P坐标，求得点P到直线AB的距离d，由求解.（2）由（1）方法：得到，由，得，求导，得到直线的方程；直线的方程，联立求得，进而得到点Q到直线AB的距离为：，得到，再代入求解.【解析】（1）设AB所在直线方程为，，由，得，由韦达定理得：，因为，所以，解得，因为，所以，则，所以，则直线AB的中垂线方程为：，令得，所以点，所以点P到直线AB的距离为：，所以.（2）由（1）知：，则直线AB的中垂线方程为：，令得，所以点，所以点P到直线AB的距离为：，所以.由，得，所以，则直线的方程为：，即；直线的方程为，即；由，解得，由，得：，解得，，所以，所以，所以，所以点Q到直线AB的距离为：，所以.为定值，【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，点到直线的距离以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.10．（1）；（2）存在，.【分析】（1）本题可根据题意得出焦点坐标以及准线方程，然后根据焦点到准线的距离为2即可求出，最后根据即可求出抛物线方程；（2）本题首先可设出、、，然后联立方程并通过韦达定理得出，再然后对进行化简并根据为与无关的常数得出，最后通过计算即可得出结果.【解析】（1）由题意得，准线方程：，所以，抛物线方程为.（2）假设存在定点满足题意，设，，，联立方程，消去得，由韦达定理得，因为直线、的斜率为、，所以.要使为与无关的常数，只能，解得，，此时为常数，综上所述，存在定点，使得直线、的斜率之和恒为定值0.【点评】本题考查抛物线的方程的求法以及抛物线中的定值问题，考查直线与抛物线相交的相关问题，考查韦达定理的灵活应用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.11．（1）证明见解析（2）【分析】(1)设直线,联立直线与抛物线:,根据韦达定理求得,再根据直线的方程求出的纵坐标,然后相乘可证;(2)利用面积公式求得面积的表达式,再用基本不等式求得最值即可.【解析】（1）证明:设直线，设，由消去并整理得：∴，∵直线分别与直线分别交于两点，∴，∴，直线，令，同理：，∴,所以两点的纵坐标之积为定值-8.（2）设直线与轴交于点，∵，∴，当且仅当时取等号，∴的面积的最小值为.【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系,直线方程,斜率公式,面积公式,基本不等式,字母运算求解能力,本题属于中档题.12．（1）（2）是，定值1【分析】（1），得为焦点，所以，再由直线与抛物线联立，利用根与系数的关系代入求解；（2）设，，，，直线，，分别联立抛物线方程可得，，，.设，，由，，三点共线，通过计算可得，即，关于轴对称，从而使问题得到解决.【解析】（1）设，，将直线与抛物线联立，得，所以.由，得即为焦点，所以，即，所以抛物线的方程为.（2）由题意可知，，斜率存在且不为0.设，，，设直线，，与抛物线联立得，，，所以，，，.设，，由，，三点共线，又，，得.同理，.所以.即，关于轴对称.所以，为定值.【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，做此类题时，一般要由直线与抛物线方程联立并利用根与系数的关系解题.考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.13．（1）（2）证明见解析【分析】（1）设，，将向量分别用坐标表示出来，再进行向量数量积的坐标运算，即可得答案；（2）求出两切线交点的坐标为，再代入进行坐标运算，即可得到定值【解析】（1）设，，∵焦点，∴，，∵，∴消得，化简整理得，∵，∴，∴.∴（定值）.（2）抛物线方程为，∴，∴过抛物线、两点的切线方程分别为和，即和，联立解出两切线交点的坐标为，∴（定值）.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标法思想的应用.14．（1）（2）求证见解析【分析】（1）先求出抛物线方程，设出直线的方程，由直线与抛物线有两个交点得斜率的范围，还要考虑直线与轴相交可得，最终可得所求范围；（2）设，由韦达定理得，写出直线方程，求出点横坐标，表示出，同理得，然后计算可得．【