祖暅原理与几何体的体积

J常考题型目录

题型1柱体的体积.......................................................................................2

题型2锥体的体积.......................................................................................3

题型3台体的体积.......................................................................................9

题型4球体的体枳......................................................................................15

题型5组合体的体积....................................................................................18

题型6祖咂原理的应用.................................................................................23

Q知识梳理

学问点一.祖原理的含义及应用

1.内容：幕势既同，那么积不容异.

2.含义：夹在两个平行平面间的陵个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，假如截得的两个截面的

面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

3.应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.

学问点二.柱、锥、台和球的外表积和体积

名称

外表积体积

几何体

柱体（棱柱和圆柱）S外表积=5侧+2S底V^Sh

1

锥体（棱锥和圆锥）S外表积=5相］+5底V=~Sh

1

3（s上+S下+

台体（棱台和圆台）S外表积二5侧+S上+S下

）力

4

球S=4口不匕三¥

Q题型分类

题型1柱体的体积

【方法总结】柱体分类和柱体的体积公式。

1.柱体分类：柱体可分为棱柱和圆柱。圆柱和棱柱统称为柱体。

2.柱体体积的计算公式：柱体的体积都等于柱体的底面积与柱体高的乘积，即“柱体体积二柱体底面积

x柱体高"。

【例题11]底面边长为2,高为1的正三棱柱的体积是〔〕

A.>/3B.1C.BD.-

【答案】A

【解析】底面边长为2,高为1的正三棱柱的体积是（@x22）xl=6应选：A

【变式11]（2022秋•安徽芜湖高一芜湖一中校考期末〕在棱长为3的正方体A1B1C1D1ABCD中，M

是棱B1C1上靠近B1的三等分点，过A、DLM作正方体的截面，那么这个截面将正方体分成两局部的

体积之比〔体积较小的与体积较大的之比〕为〔〕

【答案】D

【分析】作出截面图形，利用割补法求两局部体积即可.

【详解】如下图，正方体的截面为〃1〃〃〃，将体积较小的局部补成一个三棱推,

没口1口=口,由，!=△，〃=,，

OL/TO/

131

X1XTXX-13

-—---2

较小局部体积为％X3X3X（3+》X!223

较大局部体积为功=3x3x3*=$齐合

叫:D

【例题12】假如轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4n,那么圆柱的体积等于（）

A.TTB.2nC.4TTD.8TT

6

-

【解析】由于侧面积为4n,/.2Tir/7=4Ti，且力二2乙2

【变式12］（多项选择）圆柱的侧面绽开图是长12cm，宽8cm的矩形，那么这个圆柱的体积可能是（）

288192

A.-----cm3B.-----cm3C.288ncm3D.192TTcm3

TTn

（12、288（8

【解析】当圆柱的高为时，^-（）当圆柱的高为时，

8cm-hx8=Vcm3,12cm-2x12

192

=----(cm3).

TT

题型2锥体的体积

【方法总结】锥体分类和锥体的体积公式。

1.锥体分类：锥体可分为棱锥和圆锥。圆锥和棱锥统称为锥体。

11

2.锥体体积的计算公式：锥体的体积都等于遵体的底面积与锥体高的乘积，即“锥体体积二谓体底面

JJ

积X锥体高〃。

【例题21】如图，高为3的棱柱ABC-4BC的底面是边长为1的正三角形，那么三棱锥ABC的体

_L_L走正

积为〔〕A.4B.2c.4D.6

【答案】C

【解析】三棱推耳一A8C的体积为：Ls〃=_Lx」xlxlx走、3=且应选：C

3△°3224

【变式21】1.正四棱推的底面边长和高都等于2,那么该四棱锥的体积为〔〕

A.空B.述”D.8

333

11Q

【答案】C【解析】•••正四棱锥的底面边长和高都等于2，.该四棱推的体积V=4S力工X22X2.应选:

JJJ

C.

【变式21】2.12023•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考阶段练习)如图，大正方形的中心与小正方形的中心

重合，且大正方形边长为3夜，小正方形边长为2,截去图中阴影局部后，翻折得到正四棱锥〃-Z7Z7Z7Z7(A,

B,C,D四点重合于点P),那么此四棱锥的体积为〔)

DC

D.衅

【答案】c

【分析】取藻中点〃，连接的,连接送〃吁。，依据题意可求出如，进而求出正四棱锥的高，代入棱推

体积公式求出体积.

【详解】如图：取〃曲）中点〃，连接〃〃，连接限〃吁〃，如图.

由题意知〃〃!•00,设NZ7〃Z7=贝0<〃<》，在直角三角形中，00=尚总

在直角三角形，位中调=sin（卜©,即2=sinG-,

所以蓝cos/7=sinQ—Z7^=cosZ7-sinZ7，化简得isn/7=gcos/7,

结合sin2〃+COS2Z7=1,0<Z7<^,解得cos”^x/W,

所以Z7Z7=芈；=V5,Z7Z7=xW-Z7岸=2.

2COSZ7

过点P作Z7Z7,平面a7Z7Z7,连接ON,

如图

那么正四棱锥，一〃/7/7加勺高£7/7=7□/一口足=4口足一口足=风,

所以正四棱锥〃一仇7磷体积27=7m•£7/7=；♦2?•百=

1JJ

Ji£i^:C

【变式21】3.〔2023•浙江嘉兴•统考模拟猜测〕？九章算术•商功?中记载："斜解立方，得两堑堵.斜解堑

堵，其一为阳马，一为鳖月需，不易之率也.〃我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，

称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三

棱桂称为鳖臊.现某个鳖脑的体积是1,那么原长方体的体积是〔〕

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】依据柱体和锥体体积公式求得正确答案.

【详解】如下图，原长方体Z7/MZ7-01小口101I

设矩形区7〃1〃1的面积为〃，口1口1=八，

鳖腕t-的体积为1,

即gxC@x〃=1，所以成=6,

即原长方体的体积是6.

【变式21]4.〔2023•陕西咸阳•校考模拟猜测〕在正四棱锥。一口口口晓,妫磔勺中点，过期乍截面将该

四棱锥分成上、下两局部，记上、下两局部的体积分别为〃1，2，那么多的最大值是

【答案】2

【分析】依据给定条件，作出过四勺正四棱锥，-。〃砥勺截面，再求出与的表达式并结合均值不等式求解作

答.

【详解】记正四棱锥”加曲体积为〃，卷的最大值，由功+仿=妫定值知,只需求碘最小值,

设过也的截面分别交〃/和。吁0〃，平面与平面〃%的交线为阳与区相交于〃，如图，

那么如强犯令会吗=〃,那么加=g丽+为=点赤必死即有小玄=1,

0Don

01-0-000+0-000-0-000+0-000-而a0-000+而，0-000

=%如胸十吗生■加=式。+0=汽，+0或十命=备(2十，今工,

当且仅当"0=|时取等号，此时点=誉=(

所以多的最大值是2.

故答案为：2

【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几

何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点

中至少有两个点在几何体的同一平面上.

【例题22］圆锥的母线长为5,底面周长为64,那么它的体积为〔〕

A.10万B.3C.157D.36〃

【答案】B

【解析】设圆锥的底面半径为（高为力，由于底面周长为6%，所以2勿•=6不，解得r=3,

又由于母线长为5,所以0二4,所以圆锥的体积是V=g乃/〃=12万应选：B

2

【变式22】1.〔2023春・上海宝山•高一统考阶段练习〕一个圆锥的底面半径为1cm，侧面积为2ncm,那

么该圆锥的体积为cm3.

【答案】9

【分析】利用侧面积求母线长，然后求高即可.

【详解】底面半径为1cm

侧面积：TTZ7庄2TT

所以0=2

所以高：力=/加一加=V3；

所以体积：/7=卜&=枭.

故答案为：苧TI

【变式22】2.圆锥的外表积为94,它的侧面绽开图是一个半圆，那么此圆锥的体积为〔）

A.3B.3"C.9D.9万

【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为广，高为〃，那么母线长为/=J产+加,

那么圆柱的侧面积为g〃/=3加/+〃2）,故外表积为31（r+〃2）十储=9万，得|/+/2=9①，

又底面圆周长等于侧面绽开半圆的弧长，故24=乃尸",即2r=7777^,得力2=3/②，

联立①②得：r=V3,〃=3.故该圆锥的体积为V==乃*（右）、3=3"应选：B.

JJ

【变式22]3.假设一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是（）

A.1B.1:2C.y/i:2D.3:4

11

【解析】设圆柱、圆锥的高都为①底面半径分别为r,R,那么有]2/?/7=2由，所以R=2r,1/圆椎二针

4

心力二三户万，P圆柱二IT/26，故V圆住：1/圆锥=3:4.

【变式22]4.〔2023•全国•高一专题练习〕如图，一倒立的圆推和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高

H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为矩形，〃=73〃，圆锥内液体体积为VI,圆

【分析】由题意可得。=得到圆锥的水面圆的直径，进一步得到半径，再由圆锥与圆柱体积公式求解.

【详解】由于圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且〃=V3Z7,

那么圆锥的水面圆的直径为2〃=275。，

由4=1XTIx(V3Z7)2xV3Z7=V3TIZ75,=TTZ^xV3Z7=V5TIZ?,

J

所以V1=V2,艮噜=1.

故答案为：1

题型3台体的体积

【方法总结】柱体、台体、锥体的体积公式之间的关系〃柱=%—>%=((〃+晒+

0'=01

功〃—+口锥=3口九

【例题31】〔2023春湖南岳阳•高一校联考阶段练习〕某正四棱台容器两个底面边长分别为20cm和30cm,

容积为19升，那么它的高为〔〕

A.20cmB.24cmC.28cmD.30cm

【答案】D

【分析】设正四棱台的高为力cm,依据棱台的体积公式计算即可求得答案.

【详解】设正四棱台的高为方cm,那么27=；(400+900+600”=19000,

h—30cm,

逊:D

【变式31]1.正三棱台ABCAiBiCi中,0i,0分别是上底面AiBiJ、下在而空厂的出

心,AiBi=OiO=何AB=2傀

(1)求正三棱台ABCAiBiCi的体积；

【解析】由题意得，正三棱台ABCAiBiCi的上底面面积为苧x(B)2=孥，下底面面积为圣(2通)<3点所以

正三棱台ABCAiBiCi的体积为

永伴+悟嬴+3处V3号

(2)设AIBLAB的中点分别为MLM,

那么0iM1=l,0M=l/

所以正三棱台ABCAiBiCi的斜高MIM=J(V3)2+Q)2二苧，

所以正三棱台ABCAiBiCi的侧面积为

3噜x(V3+2V3)x用二季

【变式31】2.我国古代名著?张邱建算经?中记载："今有方锥，下广二丈,高一丈.欲斩末为方亭,令上方六尺.

问:斩高几何?〃大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正

四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，那么截去的正四棱锥的高是多少?假如我们把求截去的正四棱推的

高改为求剩下的正四棱台的体积，那么该正四棱台的体积是(注：1丈二10尺)()

A.1946立方尺B.3892立方尺

D.11676立方尺

【解析】B如下图，正四棱推SABCD的底面边长为2丈，即AB=20尺高3丈，即SO=30尺.

截去一段后相正四棱台ABCDAiBiQDi,且上底面边长AiBi=6尺，

••・鬻宅，解得。。尸21,

2八「丫

..该正四棱台的体秒璃><21x(202+20x6+62)=3892(立方尺).应选B.

【变式31]3.如下图,三棱台ABCAiBiG的体积为V,AB=2AIBL截去三棱锥AiABC后，剩余局部的体积为

A.：VB.|VC.2VD.|V

【答案】C设三棱台的高为h,上底面AiBiCi的面积为S上,下底面ABC的面积为S下.

由于AB=2AiBi,所以S下二4S上所以三棱台的体积V=g（S上+S下+降，h=«5S上+J^）h二茅上1ABC

的体积为£下h二多上h,所以剩余局部的体积为'"、

【变式31]4.（2023春•广东惠州•高一校考阶段练习〕河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星

台为原型，经艺术夸张演绎成"戴冠的金字塔〃造型，冠部为"方斗〃形，上扬下覆，取上承"甘露〃、

下纳"地气〃之意.冠部以及冠部下方均可视为正四棱台.T"方斗〃的上底面与下底面的面积之比为1：4,

高为2,体积为当，那么该"方斗〃的侧面积为〔〕

A.24B.12C.24V5D.12V5

【答案】D

【分析】依据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面积公式代入计

算即可.

【详解】由题意可知，记正四棱台为〃仞7,一口1口1501,其底面为正方形，

侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，

设幅底面如7/止造〃£的交点，蝎底面〃曲小由上〃曲与的交点

那么建正四棱推〃一a7%的高,仇为正四棱台以勿Z7-小功为功的高，

设=Z7,£7/7=Z7,那么上、下底面的面积分别为加、仔,

由题意庐〃=1:4,所以£7=2/7,

在。〃冲，鬻=誓=［所以4为PA的中点，

在AZ7Z70中号=*=：，所以Z7Z7=2,所以Z7Z7=4,

又％颇f3附=gx(加+口x口+?)x2=-y,解得〃=2,Z7=4,

所以Z7Z7=JZ7"+口后=J42+(2V2)2=2V6,

所以侧棱长明是乃，由勾股定理可得侧面的高为力=J(V6)2-12=V5,

所以侧面积为Z7=4xix(2+4)xV5=12V5.

应选：D

【变式31】5.〔2023春・全国•高一校联考阶段练习〕中国某些地方进行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，

桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红名氏糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、满意如意、

十全十美，以下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗形状是一个正四棱台，上、下底边边长分别为20cmJOcm,

侧棱长为10cm,忽视其壁厚，那么该升斗的容积为cm3.

【答案］西警

【分析】先求出四棱台的高，再依据四棱台的体积公式计算.

20>/2

【详解】

o

短.

上下底面对角线的长度分别为：20V2,10V2高卜=102_(20M)=5

上底面的面积%=202=400(cm2),下底面的面积2=102=100(cm2),

四棱台的体积〃=2+乩同M=^(400+100+V400X100)x5V2=2522x?(cm3);

JJJ

故答案为：黑史.

【例题32］某圆台的上、下底面面积分别是n,4n，侧面积是6n,那么这个圆台的体积是.

【解析】设圆台的上、下底面半径分别为，和R,母线长为/,高为力，那么S上=n"=Ji,S下=TI屋=4TE,

：.r=1,R=2,S侧=Ti(r+A)/=6TI,:J=2,V-|n(l+4+1x2)x^3=

【变式32】1.〔2023•湖南湖南师大附中校联考模拟猜测〕如下图，一个球内接圆台，圆台上、下底面的半

径分别为3和4,球的外表积为1D0TT,那么该圆台的体积为〔〕

«175n门fl厂238n>259n

A•-r-B.75TTC.-r-D•-r-

*5JJ

【答案】D

【分析】由球的外表积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积.

【详解】由于圆台外接球的外表积，==100n,所以球的半径Z7=5,

设圆台的上、下底面圆心分别为,在上、下底面圆周上分别取点

连接叫,口口1，00,00,02口，口1口,如图，

:

由于圆台上、下底面的半径分别为3和4,

所以|/7/7|=|/7/7|=4,|/7/=|%/?|=3,

所以1/7%|=J囱2一⑹印=3"股|=J囱2_|即2=4,

所以|小马|=7,

所以圆台体积〃=gx(9n+16Tl+12TI)x7=等.

应选：D.

【变式32]2.设圆台的高为3,如图，在轴截面4818/中，”“8=60°,/4_L48,那么圆台的体积

为___________.

4J]A

【解析】设上、下底面半径，母线长分别为(作42LZ5于点。，那么4。=3,=

二90。，又“力8=60。，二/。=7^;=3,：.R-/•中.

tanouvv

'.z.BAiA=90°,:.z.BAiD=6Q°,AZ>tan60°=3^3,:.R+r-

:.R=2y/i,r=yji，而/?=3.

••.V圆台二|TT/X岸+Z?r+/2)=|nx3x[(2^)2+2^3x^3+(^)2]=21TL.••圆台的为21n.

题型4球体的体积

【方法总结】球的体积公式：

4

半径是R的球的体积计算公式是卜=于¥-

公式中R为球的半径，V为球的体积。

【例题4](2023春・北京海淀•高一人大附中校考开学考试〕正方体£7比7/7-的边长为2,幅正方

体内部及外表上的点构成的集合，设集合〃={Z7e^Z7Z7<1},那么朦示的几何体的体积为〔〕

▲n-n_2n〜4r

AB.-C.—D.—

oooo

【答案】A

【分析】朦示的几何体为以妫球心，1为半径的!个球，通过球的体积公式计算即可.

【详解】由题意，可知猿示的几何体为以妫球心，1为半径的5个球，

O

那么Z7=TIx13=

ooO

血：A.

【变式41】1.〔2023秋・天津南开•高一校考阶段练习〕如图，半球内有一内接正四棱锥〃-0000,该四棱

锥的体积为殍，那么该半球的体枳为〔〕

A、立kD4企4匹K8夜-

B.—TIC.—nD.—n

【答案】C

【分析】设半球的半径为连接口交于点，，连接a7,利用四棱锥的体积公式求出半径〃，再代入球的体

积公式即可求解.

【详解】依题意，设半球的半径为〃，

连接〃〃限于点〃，连接〃"，如下图：

那么有77=00=00=0,易得Z7£7=V2/7,

所以正四棱锥〃-〃〃抽勺体积为：

瓦-况叩=\x|四2xZ7Z7=；x2〃xZ7=竽,

oo0

解得：Z7=V2,

所以半球的体积为：Z7=；x：x形=华死

应选：C.

【变式41】2.〔2023•福建厦门•统考二模〕西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款特别

有用的泡茶工具〔如图1).西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体.球缺的

2

体积〃二半竺上(R为球缺所在球的半径，h为球缺的高〕.假设一个西施壶的壶身高为8cm,壶口直

徉为6cm［如图2),那么该有壶身的容积约为〔不考虑赤壁厚度，TI取3.14］〔〕

6cm

8cm

图1图2

A.494mlB.506mlC.509mlD.516ml

【答案】A

【分析】依题意作出几何体的轴截面图,即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再依据

球的体积公式和球缺的体积求解即可.

【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示,

依题意,nn=6cm,面球心,而壶口所在圆的圆心，所以nn=3cm,

由于〃Z7=8cm,所以Z7Z7=Z7Z7=4,且Z7Z7J.DO,00=V32+42=5,

所以球的半径〃=5cm,所以球缺的高』=5-1=4cm,

22

。(3+4)1TT(3x5-1)x114n

所以球缺的体积——z—=——7-^-=丁，

JJJ

所以该壶壶身的容积约为：〃=：n53-2x^二494ml.

JJJ

逊:A.

【变式41]3.(2021春•陕西汉中•高一统考期中〕某同学在参与?通用技术?实践课时，制作了一个工艺

品，如下图，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4百的正方体的六个面所截后剩余的局部〔球心与正

方体的中心重合〕，假设其中一个截面圆的周长为4TT,那么该球的体积为.

【答案】争#竽口

【分析】依据给定条件，利用球的截面小圆性质求出球半径，再求出球的体积作答.

【详解】依题意，球被正方体的面所截小圆半径〃=2,而球心到截面小圆距离为Z7=2V3,

因此该球的半径/加+炉=4,

所以该球的体积"冷小=等.

JJ

故答案为：等

题型5组合体的体积

【方法总结】求组合体体积的方法

，求解几何体的体积时还常常用割补法.补法是指把不规则的（或简单的）几何体延长或补成规则的

（或筒洁的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的（或简单的）几何体切割

成规则的（或简洁的）几何体.

;【例题5］如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，假如冰淇淋溶化后正好盛满杯子，

那么杯子高力=cm.

【答案】8

【解析】由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径，•=4，假如冰淇淋溶化后正好盛满杯子，那么半球的体

积等于圆锥的体积所以;x"x43=；x(乃x42)/?n〃=8故答案为：8

【变式51]1.如右图，在梯形ABCD中，ADWBC,^ABC=90°,AD=a,BC=2a,乙DCB=60°,在平

面,48。内过点C作/_1C8,以/为轴旋转一周.求旋转体的外表积和体积.

【答案】如题图，在梯形相C。中，□48。=90。，ADHBC,AD=a,BC=2a,UDCB=60°.

BC-AD-i

QCD=，=2a,/4=。0§加60°=黄。.口。。'=/1/「-24。=28。・2力。=2。.口00=5。。'=。.由于以/为

v.Cz»J\J\nJo/

轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.

由上述计算知，圆柱的母线长为5。，底面半径为2a,圆锥的母线长为2a,底面半径为“

圆柱的侧面积Si=27r2aqja=46小,圆锥的侧面积S：=兀a2a=2兀/,圆柱的底面积y?=n(2a)2=4na2,

圆桂的底面积S4=nar.组合体上底面面积S5=S3-S4=3"~'.：旋转体的外表积S=Si+S2+S5=(4币+

9加2又由题意知形成的几何体的，本积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积/柱=S/?二7rg/田”他

Tra3,P推二jS'h=j-7ra2-y[3a=*冗aJ口尸二尸柱-V=4/兀/-冗/

【变式51]2.〔2023•广东湛江•统考一模〕元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，许多

地区家家户户都挂花灯.以下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱

柱组成，假设正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm,正六棱台与正六棱柱的高分别为

10cm和60cm,那么该花灯的体积为〔〕

A.46000V3cm3B.48000V3cm3

C.50000\/3cm3D.52000x/3cm3

【答案】C

【分析】依据给定的几何体，求出正六棱台两底面积，再利用台体、柱体的体积公式计算作答.

【详解】依题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，

正六棱台的两个底面积分别为％=6xx202=600V3(cm2),=6xx402=2400%/3(cm2),

所以花灯的体积Z7=60〃i+；x10x(Z7i+何历+2)=60x600\/3+；x10x(60075+

V600V3x2400V3+2400V3)

=50000V3(cm3).

应选：C

【变式51】3.如下图，在边长为4的正三角形/史中，乙尸分别是的中点，。为比■的

H.G分别是BD,。的中点，假设将正三角形ABC辕旋转180°,求阴影局部形成的几何体E；.…

积.

【答案】该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.令BD="HD=r,/,EH=h门A

=2,1,/=43.所以圆锥的外表积5i=n/?2+TT/?/=nx22+Tix2x4=12TT,圆柱的恻面积S=2

n/77=2TIX1X^3=2^y^Ti.

所以所求几何体的外表积S=S+£=12TT+2口=Q2+2下"

3

【变式51]4.假设直角悌形的一个底角为45°,下底K为上底K的5,这个梯形绕下底所在的直线旋转周

所戌的旋转体的外表积是(5+/)71,求这个旋转体的体积.

【答案】如下图，在梯形力夕。中，48"。，乙4=90°,/6=45°,绕46边所在直线旋转一周后形成由

3

一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体.过点U作CEL/8于点E,设CD=x,AB=~x,

xy/2

为B么AD=CE=BE=AB-CD=~,BC=/X.

*x

2

s罢二s圆柱底+s圆柱侧+s圆锥傀=TV/。+2wAD-CD+wCEBC-ir--+2n--x+TV

TI117Tl

,那么-^£=nxl2x2+—xVxl=—

【变式51】5.〔2023•江西南昌•统考一模〕对食道和胃粘膜有刺激性的粉末或颗粒，或口感不好、易于挥

发、在口腔中易被唾液分解，以及易吸入气管的药需要装入胶曩，既爱护了药物药性不被破坏，也爱护了

消化器官和呼吸道.在数学探究课中某同学设计一个"胶囊形〃的几何体,由一个圆柱和两个半球构成，

圆柱的高是底面半径的4倍，假设该几何体外表积为108Tl,那么它体积为〔）

A.72TTB.96TTC.108TlD.144n

【答案】D

【分析】设圆柱的底面半径为Z7,可求得该几何体外表积为12Tl/=108n,解得〃=3,进而求出该几何体

的体积.

【详解】二•设圆柱的底面半径为〃，那么球的半径为圆柱的高是4Z7,

.•周柱的侧面积为2TI〃X4Z7=8TI/，两个半球的外表积为4TT〃,

「•该几何体外表积为8TI/+4n/f=12Tl岸=108n,解得Z7=3,

..该几何体的体积为x4£7+卜炉=4nx33+^TTX33=144n.

JJ

应选：D.

【变式51]6.（2022秋河北沧州♦高一统考期末〕如图1是唐朝闻名的凤鸟花卉纹浮雕很杯,它的盛酒

局部可以近似地看作是半球与圆柱的组合体[如图2）.当这种酒环内壁的外表积为庆m2，半球的半径为庆m

时，假设要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，那么片的取值范围是〔〕

图1

A"冏

C.（侬+8）

【答案】D

【分析】设圆柱的高为N,依据圆柱的外表积公式求得力,再依据圆柱和球的体积公式求出酒杯的容积，结

合4>0及列出不等式，即可求解.

【详解】设圆柱的高为力,那么2弘+2M，…需

又4>0,Z7-2TT〃>0,即极〉2TI,.•.苧>向

酒杯的容积"剑〃+皿/+而义嘿号-1

由酒杯的容积不大于半球体积的2倍，:.胃_鼻£,

/JJ

•••小宜落即恭孰

所以亨的取值范围是向<^<

四:D

【变式51】7.〔多项选择〕（2022春・安徽芜湖•高一校考期中〕如图1,一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌

了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水.平放在水平的地面上，水面正好过圆锥的顶点P,假设将容

器倒置如图2,水面也恰过点P.以下命题正确的选项是〔〕

A.圆锥的高等于圆柱高的g

B.圆锥的高等于圆柱高的;

D

C.将容器一条母线贴地，水面也恰过点P

D.将容器任意摆放，当水面静止时都过点P

【答案】BC

【分析】依据圆柱和圆锥的体积公式和性质逐一推断即可.

【详解】设圆柱的高为h,其内部圆锥的高为hl,圆柱的底面织为S,由于无论如何摆放，水的体积保持

不变，所以见一%=艮-八),化简得々二即，故B正确；水的体积为彻，小圆锥的体积为gOh,

所以当容器一条母线贴地时，水的体积正好占内部空间的一半，故水面过点P,圆柱内部关于点P不对称，

故当斜放时，水面不过点P,

迹:BC.

题型6祖胞原理的应用

【方法总结】运用祖晅原理来证明两个儿何体的体积和等，需要三个条件，分别是:

[1]这两个几何体夹在两个平行平面之间。

(2)平行于两个平行平面的每T平面可截得两个截面。

(3)两个截面的面积总相等。

【例题6][2023春・上海徐汇・高一统考阶段练习〕早在公元5世纪，我国数学家祖咂在求球的体积时，

就制造性的提出了一个原理：“暮势既同，那么积不容异〃.如图，两个体积分别为,功的几何体夹在两

个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为小，打，那么

"4=2〃是"用=①〃的〔〕条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】依据祖唯原理,推断"用二%〃与=区之间的规律推理关系即可.

【详解】依据祖咂原理可知，当小=①时,肯定有功=功成立，

反之，当功=殳成立时,不肯定有功=%成立,

比方两个完全相同的三棱推，正置和倒置时，用，殳不肯定相等，

故"〃1=是“0i=殳〃的必要不充分条件.

逊:B.

【变式61】1.〔多项选择）2〃，高皆为。的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面£上，

用平行于平面夕且与£距离为d的平面截两个几何体得到小及S环两截面，可以证明/=S环总成立，假设

椭半球的短轴A8=6,长半轴6=5,那么以下结论正确的选项是〔〕

A.椭半球体的体积为30〃

B.椭半球体的体积为15〃

C.假如声=4"，以尸为球心的球在该椭半球内，那么当球尸体积最大时，该椭半球体挖云球产后，体

积为争

D.假如声=4"，以尸为球心的球在该半球内，那么当球尸体积最大时，该椭半球体挖去球尸后,体积

为29%

【来源】湖北省华大新高考联盟2022届高一下学期开学收心考试数学试题

【答案】AC

【解析】

【分析】

由题可得V=34球=%柱-%锥，可推断AB,利用椭圆的性质可得球尸的最大半径为1,进而可推断CD.

【详解】

由题意知，短轴A8=6,长半轴S=5的椭半球体的体积为

丫="球=%柱-嗡惟="*5-卜得.5=30〃，，A正确，B错误；

z\,乙）J\,乙）

椭球的轴截面是椭圆，它的短半轴长为3,长半轴长为5,所以半焦距为4,

由于声=4而，所以尸椭圆的焦点，因此尸。是椭圆的最小焦半径，即球尸的最大半径为1,

该椭半球体挖去球尸后，体积为30乃-枭喈），故C正确，D错误.

应选：AC.

【变式61】2.我国南北朝时期的数学家祖晒提出了一条原理："幕势既同，那么积不容异〃.意思是：夹

在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截1触口截得的两个截面的面积总相等，

那么这两个几何体的体积相等.依据祖晅原理，对于3。。打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截

面面积为S，随高度〃的变化而变化，变化的关系式为S（/?）=^（4-力2）（0</；<2）,那么该零件的体积

为〔〕

【答案】C

【解析】

【分析】

由S（〃）=/r（4-恰好与一个半径为2的半球在高为人的水平截面面积全都，由祖眶原理，该零件的体积

等于该半球的体积，从而可得答案.

【详解】

由祖眶原理，该零件在高为〃的水平截面的面积为5仅）=乃（4-方2）（o</；<2）.

而S（/?）=4（4-⑹恰好与一个半径为2的半球在高为/?的水平截面面积全都，

所以该零件的体积等于该半球的体积：/=J*学xT=萼

应选：C

【变式61]3.祖喳原理，“鬲势既同，那么积不容异〃，即高度相等的两个几何体,在任意等高处被一

个平面所截，假如截面面积总相等，那么两个几何体体积相等.祖在讨论?九章算术?中利用该原理解决了

"牟合方盖〃的体积计算问题，其中重要的思想如下：图1是一个棱长为。的正方体，以左下棱和后下棱为

轴，棱长。为半径作四分之一的圆柱面，两次分割该正方体得到牟合方盖〔如图2〕，图3也为一个棱长为

"的正方体，为倒立的四棱锥,用一个平面在任意等高处去截图1和图3这两个几何体,袒晅

通过计算，发觉阴影局部的截面面积总相等，那么由祖睢原理，牟合方盖的体积为〔〕

【来源】云南师范高校附属中学20202021学年高一下学期期中考试数学试题

【答案】C

【解析】

【分析】

由祖晅原理可知，四棱锥的体积与图〔1〕中正方体去掉"牟合方盖〃的体积相等，即可得出答

案.

【详解】

由祖晅原理可知，四棱锥G-48CD的体积与图〔1〕中正方体去掉“牟合方盖”的体积相等，所以牟合方

盖的体积1为:0日

逊C

【变式61】4.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖晅父子总结了魏晋时期闻名数学家刘微的有

关工作，提出"靠势既同，那么积不容异〃."整〃是截面积，"势〃是几何体的高，即：两个等高的几何

体假设在全部等高处的水平