竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习

竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习（一）

复习内容：高中数学第三章-数列

编写时间：2005-5

修订时间：总计第一次2005-5

（-）数列常见题型形式.

一、以极限为微体，考察等比数列中当同>i时，等比数列极限不存在.当引<1时，等比数列极限存在.若等比数列和的极限存在,

则肯定有141Vl.当数列MJ的极限存在是！叫4,,=A,则照图+产4.

I.设｛%｝为等差数列，仇｝为等比数列，且仇=。汕2=。论=〃；（«1<«2>»又lim（〃1+〃2+―+〃“）=0+2，试求｛明｝的首项及公差.

2.数列卜，山下列条件确定：玉=，>0,七+|=」乙+2,〃£%.若数列次.｝的极限存在，且大于零，求lin】x“的值.

2x„"~»8

二、以对数为载体，充分考虑比例分数的合比及分比定理.

例：等比数列«+log,3,a+log43,a+log83的公比是.

三、求参数最值通常考虑判别式法.

1.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方及其余各项之和不超过1。0,这样的数列至多有项.

四、若以集合形式出现，常常题目要患藏其集合的包含及被包含关系.

1.若4“和以分别表示数列｛明｝和瓦｝前〃项和，对随意正整数〃，〃”二-青史,48」12A“=13〃.设集合

乂=｛巾=2储，〃67+｝,丫=｛巾，=4却〃6%+｝.若等差数列｛。“｝的任一项。/*0丫6是*2中的最大数，且—265vGo<

-125,求£“｝的通项公式.

（-）求常见数列的方法.

一、求数列的通项.

.一1

i.形如册+］=。“+/（〃）的一阶递归式，其通项求法为4“=%+>2（〃£.［一。］）=%+12/伏）.

上=1*=i

II.形如。”+产/（〃）。〃的递归式，其通项求法为=勺力1）/（2）…/（〃一1）（〃22）.

留意：①形如〃”+产/（〃）〃”+〃当数字椅别时可考虑转化为a”+x=r（〃）3i+x）的形式，再叠乘可求出通项.②形如

a“.i=/（〃）4“+g（〃）a”-i常须要转化为。”+|-%=虱〃）（%-q-1）或以〃+1）1=%（〃）%+「.例如：a»2=（〃+3）a“.L（〃+2）a”有

b*—力同=（〃+1）（4〃—a,E）=（〃+l）b”

有bn=nbn_x=n（n-］）bn_2=---=nibt有.

I.数列卜/力4片口册+产区上册+,确定，求通项a”.

nn

4〃-23

2.在数列｛〃“｝中,仆=1，且a〃+］-----a”+求a”.

6n+3----2〃+1

IIL形如。“.1=〃。“+r（〃工1）的递归式，有方法-a”+i=pa“+r,a“=pa,i+r，两式相减得“一a”［），故是

首项为a2-a1,且公比为〃的等比数列，先求出an+l-an,再求出心.有方法二转化等比：

a„+|+x=P(a„+x)=>a„+1=Pan+Px-x=>x=----有才迭代法

P-I

nlR2

«„=Pa^+r=P(Pan_2+r)+r=•..=Pa1+P--r+---+Pr+rn有公式ajQ+QP'T,门12由11，。2确定.有方法四：挣征根方法.

IV形加a向=〃a“+g（〃）（〃工1）的递推式，有方法一两边同除以〃田，得，令，则，仿2求得幻，再求a”.有方法二递推法.例如:

当g(〃)为一次函数时“”+[=Pa“+kn+b及4“=尸a“_]+A(〃-1)+力相减有an+l-\P+\)an=kIII.可求出an.

I.已知数列｛〃“｝,瓦｝中，q=p,，=q且(〃之2»户>>。)

(1)求〃“：(2)求.

V.形如40+]=p"(p>()0.>0)或。"：=尸4>。〃_；...的递推式，方法一两边取对数有lgq“+I=glga“+lgp,令Z?“二lga”，则

b»i=qbn+lgp,仿4求得力“，再求明.方法二有

I.在数列｛〃“｝中，«1=10.且4m=2/7，求4〃

2.数列｛〃”｝满意“1=10。”+|=10向，求通项

VI.高阶等差数列：形如随意两项之差成等差数列不如比等差数列为｛%｝,财我们可用构造新数列也”｝使〃e-瓦尸见尸4+(〃一1”，

最终〃”一d=7+%+…？-•

高阶等差数列：给定一个数列｛%｝,令〃产明.一。“，则称数列8｝为｛册｝的一阶差数列，而瓦｝的一阶差数列称为｛2｝的二阶差

数列，递推地，可以定义｛aJ的P阶差数列.假如数列卜“｝的〃阶差数列是一非零常数列，则称数列｛a,J是〃阶等差数列.〃=1时，

数列｛%｝就是我们通常所说的等差数列，pN2时，数列｛〃“｝称为高阶等差数列.数列｛4”｝是〃阶等差数列的充要条件是：数列｛〃“｝

的通项是关于〃的〃次多项式.例如：数列2、4、7、11、16……经视察发觉比,「明｝成等差，故令也”｝二｛。”「。”｝.

b,=b｝+(«—!)-1=1+〃进而有(in+i-an=/,+!=〃“一勺=^^——+/»-1=>«ZI=—/r+—/»+1.

222

1.求数列｛a“｝：1,3,8,20,43,81,...的一个通项表达式.

VII.不动点法：设数列｛”“｝满意a]=m=0""+"(aK0,bewad).

aa„+b

①若/'(x)=£td■有两个不相等的不动点a,/7,则数列是等比数列，可用来求.②若/(1)=三士”有两个相等的不动点

ax+bax+b

a=P，则数列是等差数列，公差d可用，来求.注：形如亦可用不动点法.

证明：令，即CX?+(d-4卜一方=0,令此方程的两个根为XI,X2,若X1=X2,则有

其中k可以用特定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

注：假如有实力，可以将p的表达式记住，P=.

若X#X2则有其中k可以用特定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

注：假如有实力，可以将q的表达式记住，q=.

1.设满意求通项4“.

2.数列｛a〃｝满意a]=2,a〃+[a„+an+i-2an-5=0求a〃.

vin,裂项法：常见的有Y—二代，!_)箸.

n+nn〃+1

I.数列｛〃“｝满意勺=1,且，求

IX.取倒法：常用于对困难分式转化为或等等常见数列形式.

I.在数列｛%“｝中，%|=3,4=2，，求X”.

X.换元法：数列中的通常把将数列通过换元构造位熟识的等差、等比、或线性递推数列.最重要的是三角换元法的应用.

1.已知数列｛册｝的前〃项和S,及明之间满意2S；=2a“S”-%5»2),且叫=2,求a”.

2.已知数列｛a/U」，，求通项a〃.

3.数列｛%J满意为=。2=1，且求通项七,

4.设正数列〃0必....〃〃满意〃0=%=1,且Ja”a”_2-击”_|。”_2=2。“_](〃之2),求

5.已知数列｛〃“｝满意。|=1,a“+[+a”=f2,求a”.

二、求教列的和.

I.求导法：导数方法用于数列常是以求和彩式出现，常常要及二项式定理联络(可以用错住相消法求和的数列问题，都可以用求导方

法去做).

I.已知%0,工工1),求数列｛〃”｝的前〃项和S“.

2.已知〃小〃2”,求数列｛〃“｝的前〃项和S”.

3.求和S.=l+22x+32『+...〃2fl

II.形如〃“=尸1)。时，则求和变为5“=。]+&]+/>〃2+…+&?”一厂+厂一厂+•当〃为偶，•厂及+，,恰好抵消完；当〃为奇数

时，剩一个-r,故S产尸("[+々2+…+%)或尸(”|+。2+…/J一九

I.已知｛%｝是由非负整数组成的数列，满意。产0,〃2=3,%+*V=(。,“+2)(%_2+2),〃=3,4,5一・

①求如：

②证明a”=an_2+2,n=3,4,5,…；

③求｛〃，｝的通项公式及其前〃项和S”.

三、周期数列.

I.设数列｛“”｝定义求a2cos•

2.设数列a”。2,…满意%=。2=1，%=2，且对随意自然数%都有工L又4”4"+14»24“+3=。〃+4”+1+。“.2+40+3，则

〃]+。2---1"々]00的值是.

[2005高中数学联赛预料1

I.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方及其余各项之和不超过100,这样的数列至多有项.

2,设数列｛〃,，满意a4+|=a：-〃aa+1,n=1,2,3,….

(i)当。]=2时，求g，%，。」并由此猜测出的一个通项公式：

(2)当外23时，证明对全部的〃21,有①a>n+2；②一!一+」一4…+」一W'

1+〃]l+a2[+an2

3.数列｛a“｝满意：，求40。的整数局部.

4.3个数列｛册｝,瓦｝,上“｝存在下列关系：。产1,々=；，瓦,=%+1—=6向血=3"Tf〃S=l,2,3一・)，这里p为正常数.

(1)求44：

<2)证明：若c,20,必有Sr>0：

(3)若数列也“｝的最小项为〃4,求〃的取值范围.

5.两个数列｛%｝,也“｝满意卬=2,仇=1,(〃=1,2,3,…)试求通项〃“和3

6.数列｛%｝，也”｝满意OY%V。,一!一=1-+—!—,4'+]=L“+〃“5=123「・・)，证明下列命题：

«“讨明2bli2

(1)a2<b2</?]：

(2)对任何正整数〃，有3>4+]：

<3)对随意整数〃之2,有"V仇.

7.(不等式夹击法找数列范围)设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不小于3,且各项和为97?,则这样的数列共有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

《雷氏笔录》数学组编写

2005年5月18R

竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习(二)

发习内容：高中数学第七、八章-解析几何

编写时间：2005-5

修订时间：总计第一次2005-5

二A解析几何专题

一、关于定值的证明.平面解析几何有方法一：先取特别位置，求出这个定值，再证明一般状况下也等于这个定值.有方法二：干脆

证明法.

1.已知圆(l-3/+()，—4)2=]6,直线/1：米一)，一女=0.若P,Q连线的中点为M,。及/2：x+2)，+4=0的交点为N,求证|4必・|4M

为定值.

2.如图，M是圆C：-6x-8y=0上的动点，O是坐标原点，N是射线OM上的点，

|O/W|-1^1=150,求N点的轨迹方程.

二、共线问题常常转化为斜率相等这一重要条件，当然也可以用构造法一大胆设参构造.

1.已知抛物线寸=2〃工及定点A(a,8),8(-a,O)("wO,〃H2pq).M是抛物线上的点，设直线AM、BM及抛物线的另一个交点为Mi、

M2.

求证：当M点在抛物线上变动时(只要Mi、M2存在且直线Mi、恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.

三、看到有长度大小关系的直线方程时，又有动点(乂)，)及定点(%o，y0)要考虑直线的参数方程.

1.过不在椭圆上随意一点P作两条直线6和右，分别交椭圆于A、B、C、D四点，若，2的倾斜角为。，尸且。+尸=乃•求证：A、

B,C,D四点共圆.

四、曲线系方程.

1.已知MN是圆O的一条弦，R是弦MN的中点，过R任作两条相交弦AB刃CD.过A,B,C,D四点的二次曲线T交MN于P,Q

两点.求证：R是PQ的中点.

五、涉及整数点问题的最值问题用余数法.

32

I.直角坐标平面内横坐标及纵坐标都为整数的点称为格点，则平面内格点到直线)，的间隔的最小值为.

六、移坐标法，我们可把坐标轴平移，可使某个点成为新原点，这样可以削减运算.

I.已知椭圆C：上存在关于直线/:y=2x+相对称的两点，试求m的取值范围.

[2005高中数学联赛预料】

I.死,尸2是椭圆《+〉2=1的两个焦点，P是椭网上随意一点，则|PFj.|P%|的最小值是.

2.设双曲线w=l的两支为如图，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上.

(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；

(2)设P(-1,・1)在。2上，Q、R在求顶点Q、R的坐标.

3.已知椭圆小动圆一炉十炉;即，其中力

若4是椭圆？上的动点，B是动圆〃上的动点，且使直线AB及椭圆£和动圆厂均相切，求A、4两点的间隔*8|的最大值.

(2004年四川初赛试题)

解：设A(xi,>,1)>8(X2，”)，直线/1B的方程为:y=心:

卜尸心1+机(1)

因为4既在椭网上，又在直线A8上，从而有(咛+¥=](2)

将(1)代入(2)得：3~2+〃2以2+2妨心入+标(加一反)=。

由于直线及椭圆相切，故△—(2%一尸一4(标A*十b2)a2(m2—b2)—0

从而可得：52=炉+*3，月=一詈(3)

同理，由8既在圆上又在直线A8上，

LD2

可得：，/=&1+太)，X2=--(4)

、、…„心一〃Ha1一呼)

由(3)(4)得：.=“2_催，-V2-ri=---

:.|AB|2=3一3讲+⑴一)，1)2=([+产)3—Xl)2

nrk(a2-R2)(a2~R2)心一一

~R2mR?a2—R2

(a2-R2)(R2-b2)a2b2

=a2-\-b-R-

=(a-b)2-(R—^)2<(a—b)2.

即—〃，当且仅当时取等号.

所以，4、3两点的间隔IA3I的最大值为。一。

《雷氏笔录》数学组编写2005年5月18日

竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习（三）

变习内容：高中数学第三、七、八章

编写时间：2005-5

修订时间：总计第一次2005-5

三、数列、解析几何热点专题

4媪数列

一、奇偶数列.

b—bh~h

若｛4｝为奇数项的数列，若｛4｝为偶数项的数列，则有一+一

22

二、特征方程.

形如。>2=〃为+1+”〃（〃、9为二阶常数）方法一用特征根方法求解.

详细步骤：①写出特征方程式2=PE+4（对应“〃+2,X对应*什1）,并设二根X],X2②若可工.丫2可设"".N'lM+C'zX；，若X]=12

可设a”=（C]+C2〃）X；:③由初始值的,。2确定542•

有方法二册+2-刈,田=〃（，”+「人（），.有方法三迭代法，迭代法是解决一切数列问题的通法.

三、求和.

主要方法।倒序相加.错位相减.数学归纳法.

⑴等差数列的前〃项和为S”，在d<0时，有最大值.如何确定使S〃取最大值时的〃值，有两种方法：

一是求使勺A0,a〃+iV0,成立的〃值；二是由S”=4〃2十（％一日）〃利用二次函数的性质求〃的值

⑵假如数列可以看作是一个等差数列及一个等比数列的对应项乘积，求此数列前〃项和可按照等比数列前〃项和的推倒导方法：错位相

减求和.例如:

③1'+2^+3^…“3=

四、等差、等比数列.

若｛“”｝，历/均是等差数列，则｛ca”+d〃,｝也是等差数列（GdwR）.两个等差数列的一样项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的

首项就是原两个数列的第一个一样项，公差是两个数列公差4,〃2的最小公倍数.

々如解析几何

一、几种常见的圆锥曲线问题.

I典型示例一]若椭圆的左右焦点分别是F｝,F2,过F1

且倾斜角为6的直线交椭圆为AB两点,若正同=2|F]B|

则椭圆的离心率为e=.

IslMl

解.c0,"Mq」3H阿丁一丁/Isl-Ml

■刖Isi-MI|4F||+|BFJeIAF.I+IBF.I

注：本超变为求直线AB的方程，解法如上，将cos。转为求tan®.则K.可确定，又过尸…故直线AB方程可确定.假如采纳定比分

点，则运算量大，但是若A、B不在椭圆上或者有一个点不在椭圆上，则只有用定比分点了.

I题型示封二旧知抛物线y2=2P.v,当一条过焦点的直线及抛物线交于A,B两点，求货.“，）'1）'2的值.

解（一）：当左存在时，y=代入『=2Px贝I］k2x2-（k2P+2P）x+

4

）彳）¥=4〃-132=〃4•'•）'|丫2=-〃2，当火不存在时，A（§p）,,成立.故成立.

解（二）：K.=K=>tit->=_■-->2pt-»-2pt|=4p2—-=-p2=y|Vi.X|X->=4p2-ti;tz2=-

FBE44

I题型示例三］如图，一条过焦点F的直线及抛物线交于A,B.A,M,0三点共线，

MN是抛物线的准线.求证：MB〃x轴.

证：AM为过。点直线，&AO=所以.

一生

综上：，y2=2〃%2.—=-•,•,'2=为・

访_p2/?X2

一5

故MB为平行x轴直线.

变题：若证AOM共线呢？提示：要证AOM共线，即证ho=fa）M，下面就如二法炮制了.

［题型示例B］如下图，抛物线/=2小的焦点为F,CD为准线，P为AB的中点.

求证：AMB共圆，NCFD为直角.

证（1）：因为y2=2Px,故AF=AC,DF=DB.又因为PM为梯形CABD

的中位线，故PM=-（AC+BD）=-AB，故MP=AP=BP,所以AMB共％

22

且P为三角形AMB外心.

证（2）：Zl=Z2,N3=/4,Zl=Z6,Z5=Z3=>Z4+Z2+Z5+Z6=180°/.Z5+Z6=90°.

注：［题型示例四］拓展1：依据上述证明，可以推导以双曲线焦点弦，为直径为回及准线是相交关系；以椭圆焦点弦为直径的圆及准线

是相离关系.

拓展2:AABM中N,W最大角为90。，这时是的临界条件，这条准线上其它的点及A、B构成的三角形是锐角△,故若要使AABM

为钝角，只需NA或NZ?为锐角•过A作垂直于AB的直线交L于E,则在E上方（不包括E）的点及A、B构成三角形为钝角，但是由

于AB这条直线及准线要相交（这里要检验，是否在所求危国内）,同理过B作垂直于AB的直线交L于F,则在F下方（不包括F）及

A、B柱成的三角形都是钝角.

［题型示例五］如下图，抛物线尸=2打,始终线交抛物线于-A,B.且AOJ.BO.求证：直线AB过肯定点

证：设A。］）、）伏心心），令10A：产依

令IOB：y=--x，故

・"-LnB(2Pk\-2Pk),故1AB可求得恒过(2P0).

y2=2kx

I题型市网六］已知抛物线尸=2打,焦点为F,始终线交抛物线于A,B,求证：.

证：•.•|叫=勺+匕|叫=工2+么——上吗——=’.

22£但+心）+?~+8小枭、2+/+〃）「

242

二、区域问题：当求整点个数常用数列靠近法.

1.直角坐标平面上，求满意不等式组的整点的个数.

2.一张泯上画有半径为R的圆O及圆O内肯定点A,且OA=a,折叠纸片，使圆周上，某一点A'刚好及A点重合，这样的每一种折法,

都留下一条直线折痕.当4’取遍圆周上全部点时，求全部折痕所在直线上点的集合.(2003全国高中联赛)

三、圆的惠及根轴.过定点A任作直线交定圆于B、C两点，则筋刀为定，直，该定值称为定点A对定圆的事

1.向以原是为圆心，半径为1的忱IA和另•圆B所引切线长相等的点在直线2犬-3)，-6二()上，求圆心B的轨迹方程.

四、及数论结合.若g是质数，P是正整数，若I0g+l3〃=〃gu>(〃-l0)(g-l3)=l3()构造出了10g+13p奇妙的解出p=11,g=143或

p=23时g=23.

I.一次函I数/(x)=ar+力的图象经过点(10,13),它及x轴的交点为(p,0),及y轴的交点为(0,q),其中P是质数，q是正整数，

则满意条件的全部一次函数为.

[2005高中数学联赛预料】

1.(数形结合)已知两点A(-2,0).B(0.2).点C是圆/+)，2_2*=0上的随意一点，则AABC的面积最小值是()

A.3QB.3I>/2C.D.

2.(立体几何及余弦定理综合)设A,B,C,D是空间四个点，满意AB_LAC,AB_LAD,AC_LAD,则ABCD是()

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定

《雷氏笔录》数学组编写2005年5月24日

竞赛复习科目：数学高中数学竞赛总复习(四)

熨习内容：高中数学第二章-函数

编写时间:2005-5

修订时间：总计第一次2005-5

四、函数专题

一、函数及方程.

I.发觉和利用函数的奇偶性，函数的奇偶性常常及函数方程结合.

1.求,=(3<-1)(，9/-6.1+5+1)+(2大一3)・(>/4\2-12<+13+1)的图象及，轴的交点坐标.

II.三元二个方程肯定不能求出解，若要求出解肯定是A(a/+b1)2+B(a2y+b2)2+C(a3Z+b3)2=0(无穿插项时)或

222

A(a1x-bIy)+B(a2x+b2z)+C(aJy+b,z)=O(有穿插项时)或者是以x为主元，其判别式△=-k%0只有k=0故可求出其一变

■的值.

2.已知且则cos(x+2)，)=.

3.求三个实数x,y,z,使得它们同时满意下列方程：

IH.求选对偶式解方程题或者利用不等式来凑，即凑出原方程小于某一常数，但此方程又等于这一常数.则等号成立条件即为方程的解.

例如：】=*+)，+2=冬+工+―