考研数学二模拟416

考研数学二模拟416

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.下列无穷小中阶数最高的是_____.

A.e-etunx

f*»n2x

口ln(l+2Q市

D.J0

C.ln(l+x)-sinx

D.vcosx-1

正确答案：B

［解析］ex-etan=etanx(ex-tanx-l)-x-tanx,

因为

lim=lim=_巳所以d_e皿一;

x-oi3J

由岬J=吧—步曲&=i,^lnd+2D市〜工，；

由Ind+N)=x——+oCx3),sinz=7一1+oC?),得ln(l+x)—sinr•〜一y;

L63!4

，cos%-1=:。s”L〜—，选B・

A/COSZ+1

2.口列命题正确的是______.

A.若f(x)在X。处可导，则一定存在6>0,在|x-Xo|<8内f(x)可导

B.若f(x)在X。处连续，则一定存在6>0,在|x-x0|V3内f(x)连续

C.若舌h存在，则f(x)在X。处可导

lim/7(x)

D.若f(x)在X。的去心邻域内可导，£6)在、。处连续，且一〜存

f(Xo)=limf(x)

在，则f(x)在X。处可导，且L”

正确答案：D

［0,xGQ,

f0)={

［解析］令口，z€R\Q，由

i・〃、八〃八、]•/(x)-f(0)oCr)-f(0),

=0=f(0)Jim2--------2----=li|;m---------+-------

zzNIZ得f(x)在x=0处可导(也

连续).

对任意的aWO,因为蚓*“)不存在，所以f(x)在X=a处不连续，当然也

不可导，即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点，A,B不对；

2立=0,

/(x)=V1-f(。+fl)一—(()-—)=2

令卜,力户0,显然1。h-，因为

lim/(x)=0/(0)?所以3)在x=0处不连续，当然也不可导，C不对；

因为f(X)在X。处连续且在X。的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有

f(1)一/(了0)_F«)

f(x)-f(Xo)=f'(g)(X-Xo)或者X-X0,其中g介于X。与X之

limf(GS=lim/(e)=lim/(f)

间，两边取极限得―。工一生I"。存在，即fG)

在x。处可导，且)一工一,选D.

3.下列说法中正确的是.

A.若f'(xJVO,则f(x)在x。的邻域内单调减少

B.若f(x)在X。取极大值，则当x£(x。-5,X。)时,f(x)单调增加,当x£(x。,

Xo+S)时,f(X)单调减少

C.f(x)在X。取极值,则f(x)在X。连续

D.f(x)为偶函数f〃(0)W0,则f(x)在x=0处一定取到极值

正确答案：D

-X+J^SIDx#0,]]

x/(0)=—1<0»/(x)=-14-2xsiny—cos-

)0,x=0,，当

x-------1----

2辰+£(k£N)时，f'(x)>O=f(x)在x=。的任意邻域内都不单调减少，A

2—x2(24-sin-V工#0.

/(x)={、工)

不对；N=°,,f(x)在x=0处取得极大值，但其在

x=0的任一邻域内皆不单调，B不对；

0<x<1.

/(x)=2,n=1,

12一1，1VZV2,f(x)在奸1处取得极大值，但f(x)在x=l处不

连续；

由f〃(0)存在，得f'(0)存在，又f(x)为偶函数，所以f'(0)=0,所以x=0

一定为f(x)的极值点，选D.

4.设3>0,一乂)在(-5,6)内恒有仔(幻>0,且|f(x)|Wx2,记

/(x)ir

-s,则有

A.1=0

B.1>0

C.I<0

D.不能确定

止确答案：B

［解析］因%|f(x)|Wx2,所以f(0)=0,由|f(x)|Wx2,得

八力一八。)<ix|

N、，由迫敛定理得f'(0)=0.

由泰勒公式得

八幻=/(O)+/(O)r+曾"=华炉'箕中g介于0与X之间,

因为在(-5,5)内恒有『'6)>0,所以

/=|/(x)dx=-y|f(f)x2dx>0

选B.

5.设f有一阶连续的偏导数,且f(x+y,x-y)=4(x2-xy-y2),则xf；(x,

y)+yf'y(x,y)为.

A.2x"8xy-2y2

B.-2x2+8xy-2y2

C.2x?-8xy+2y2

D.-2x2+8xy+2y2

正确答案：D

［解析］令x+y=u,x-y二v,则"一22("

于是由f(x+y,x-y)=4(x2-xy-y2),得f(u,v)=4uv-u2+v2,

故f(x,y)=4xy-x2+y2,

J2

xfX(x,y)+yfy(x,y)=x(4y-2x)+y(4x+2y)=-2x+8xy+2y,选D.

6.设f(x)=x3-3x+k只有一个零点，则k的取值范围是.

A.|k|<l

B.|k|>l

C.|k|>2

D.k<2

正确答案：C

［解析］f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有

一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零.由f'(x)=3(x,T)=0,得驻点x-

±1,且由图形可知，x=T为极大点，x=l为极小点.故f(T)=2+kV0=>kV-

2,f(l)=-2+k>0=>k>2,所以选C.

7.设

a】】Q12a13+加】1100、10一2

=

A=如Qn<?23,B=如+2a3i,pl001R=010

+勿】

(inClt2a232010001则B

等于—

A.BP”

B,仍

C.

D.所仍

正确答案：C

a”aI3'102、

P】A=^31々32。33，因为可=010，所以

a22生3001.

41。】2。13+2a”'

PAP7=a3la32。33+2a31

［解析］、。2】。22。23+2a21

选C.

8.设A=(a”a2,aaJ为四阶方阵，且a”a2,a3,a4为非零向量

组，设AX=0的一个基础解系为(1,0,-4,0)T,则方程组A*X=0的基础解系为

A.aifQ2，a3

B.Qi+Q3，a3，a4

C.a］,a3,a4

D.ai+a2,Q2+2aa-i

正确答案：D

［解析］由r(A)=3得r(A*)=L则A*X=O的基础解系由3个线性无关的解向量构

成.

由Q［4。3=0得a”a3成比例，显然A、B、C不对，选D.

二、填空题

1.设f(x)在(-8,+8)内可导，且1皿/(")=/

X―8\JCCL/JT-*OU

贝|Ja=______

正确答案：

1

［解析］5(言)、处［(1+昌广产=/由微分中值定理得f(x)-

f(x—l)=f'(1),其中x—IV&Vx,贝I」

lim[/(x)—/(x—1)]=limf(f)=e2

*♦813于是小二了，a=l.

2.设f(x,y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为

1；回:=-------・

正确答案：

rJL

2

f(rcosO,rsin0)rdr+/(rcos^,rsin0)rdr

I；CJL

4

A={(r,0)|0<5<­,0<r<2sin5},

。=仍切于〈仁会。卜

则［u（工，y）dy

=1d"/(厂co加，rsin〃”dr+「

f(rcos^»rsinZ?)rdr

［解析］JfJc

3.xy〃-y'=x2的通解为

正确答案：

y=+c

04t

D：二♦=1(。=1W=z+G

［解析］由xy〃-y'=x2,得X2或者，则N，由

v=-^-忆3-|-+C。

y'=x2+Gx,得原方程的通解为了32T2・

匹__

F（上,z\%I

4.设Gn二°,且F（U,v）连续可偏导，贝广Mydy~

正确答案：

z

力卫_z

=0-aHH--红jF；=0

［解析］F©W)

两边对X求偏导，得二工，解得

3z_"1+vF；

血；

F（*,三）=0^p；o

2=

㈠工）两边对y求偏导，得Rxav,解得

dz=_H

力一耳，于是

小+崎二^1—晋一

5|x2>/2x-x2dx=

正确答案：

5n

T

［解析］

y/2x-x2dx=£x271-(x-l)zd(x-1)=j：(z+1/71-x2dx

=［(x2+1)Vl~x2(Lr=2(z2+1)A/1—z2dz

J-1J0

=2~x2dr+2J*。♦dx=21xzy/1—x2dx+y

•r.jinzr

2

=2；sir?,•cosfdr+--=2(/2—/4)+y=y.

6.设A为三阶矩阵，A的三个特征值为入产-2,X2=l,入3=2,A*是A的伴随

矩阵,贝(JAii+Azz+A33二・

正确答案：

-4

［解析］因为A的特征值为人尸-2,入2=1,入3=2,所以A*的特征值为口尸2,u

2=-4,P3=-2,于是A11+A22+A33=tr(A*)=u1+u2+U3=2-4-2=-4.

三、解答题

共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

-1-I------1----v1

1.证明：当xVl且xHO时，工In(l-z)•

正确答案：

［解］当xVO时,令f(x)=x+ln(l-x)-xln(l-x),显然f(0)=0,因为

，(z)=1-------ln(1—x)+—=—ln(l—x)<0

1-x1—N

所以f(x)在(-8,0)上单调减少,所以当xVO时,f(x)>f(O)=O,即

x+ln(l-x)-xln(l-x)>0,于是

--|------1----v1

当0Vx<l时，令£6)=*+111(1-*)-乂111(1-*),且f(0)=0,因为

f(工)=1一丁^----ln(l-x)+丁^—=-ln(l—x)>0,

1—n1-x

所以f(x)在(0,+8)内单调增加，于是fix)>f(0)=0,故

xln(l-n)、’•

।arctgnr

2.计算J，dj.

正确答案：

［解］令x=tant,则

「arctanr」

4•sec2rdz—rcos2zdz

JosectJo

=t(1+cos2e)df

=!［，d£H_-已tcos2fdi

2JoZJo

=--H—Y-ffd(sin2z)

644Jo

f

=.+%in2esin2td£

644o4Jo

=-K2—,—K―■1

64168

3.设f〃(x)£C［a,b］,证明：存在t）），使得

\ja、r(a+:\i(〃一a)'

/(x)dj,-(6—a)f\会广24f'M

正确答案：

［解］令F3=Jj⑺上则F，(x)=f(x),且F

（x）£C[a,b].由泰勒公式

得

其中&4,皇卜

FS)=F(竽)+《吟)2铛+隼(『明+粤(卜钓

其中&€

两式相减，得

F⑹-F(a)=(6-"(铛+普卢•八&)/(&).

因为f〃(x)£C［a,b］,所以f〃(x)£C［口，&2］，由闭区间上连续函数最

值定理，f〃(x)在区间［3，W2］上取得最小和最大值，分别记为m,M,则有

再由闭区间上连续函数的介值定理，存在一］U(a,b),使得

_1(&)+/(&)

八已2，从而有

7(x)dx=(6-a)/(^j^)+(Z>-~—/(g).

fl,0<x<1,

/(lnx)=<

4.设f(x)在R上可微且f(0)=0‘又”>】'求/

f(x)dx.

正确答案：

19"40,

f(u)=<.

［解］令u=Inx,则岛'，于是

u+G，〃&o,力+G，x<0,

/(〃)=v或/(x)={,

2e^+C21u>0,［2e^+C2»>z>0.

N40,

/(x)=<

因为f(0)=0,所以121一2,z>0.

f(x)djc=+G

当xWO时,乙当x>0时,

J/(x)dx=4e^-2x+C2

注意到f(x)连续,由C尸4+C2,得C2二C「4,故

yx2+C,IVO,

/(x)dx=v

y

4e—2x+C—4,J:20.

5.设f(x)在(0,+8)内一阶连续可微，且对VzE(0,+8)满足

x/(xz)dz=2/(r)dz+x/(x)+x3

JoJo,又f(l)=0,求f(x).

正确答案：

［解］令门3则原方程变换为jj(")d"=2jj("d，+N/Cr)+/,两边对x

求导得f(x)=2f(x)+f(x)+xf'(X)+3X2,整理得‘(“)+『/(”)=-3Z此微分

C=2_3__3_2

方程的通解为.由f(D=o,得一彳，所以八",一衣一彳.

6.一个容器的内表面侧面由曲线z=历了(0<x<2)绕x轴旋转而成，外

表面由曲线z=JTTV■在点(2,7?)的切线位于点(2,四)与X轴交点之间的部分

绕x轴旋转而成，此容器材质的密度为U.求此容器自身的质量M及其内表面

的面积S

正确答案：

1=/⑵=72,

［解］6+子

=切线方程为、=用+四包—2),与X轴的交点坐标为(1,0).

-2JT

切线旋转后的旋转体体积为3,曲线旋转后的旋转体的体积为

7ty2dx=餐江(a-1)

J/2o

此容器的质量为

「24=冗〃(2-y5/2j

M=〃■铲I“

容器内表面积为

S=1"2贯”-22yrr

yWr)=

2展-K.

V3+2]

7.位于上半平面的上凹曲线尸y(x)过点(0,2),在该点处的切线水平，曲线

k一1

上任一点(x,y)处的曲率与6及l+y2之积成反比，比例系数-2方'求

y=y(x).

正确答案：

［解］根据题意得

y(0)=2,y(0)=0,

4y=j_.i

(i+yi―丽・京GT77

y(0)=2,y'(0)=0,

即Js_］

八十y"-2—6

［/彩=_dy,

J八十pz2厉

令y'=P，则有］⑵=°，解得'1+-=J?+G,因为

城=2=+卜一22，y—2=士卷+―

P(2)=0,所以3=0,故,?-72,进一步解得V2,

v=—4-2

因为y(0)=2,所以C2=0,故曲线方程为84

设A是n阶矩阵，证明：

8.r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量a,8,使得A二QfV；

正确答案：

［解］若r(A)=l,则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即

，B都不是零向量且A=ci