考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷8

考研数学二(一元函数积分学)模拟试

卷8

一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)

F(x)=——「/(f)市limF(x)

1、设…入，其中f(X)为连续函数，则'F等于()

A、a2.

B、a2f(a).

C、0.

D、不存在.

标准答案：B

x2f/(r)dr

limF(x)=lim-------------

X(1

知识点解析：利用洛必达法则.则=如⑵伽)市—=3

故选B.

/(«)=广/(：)力+ln2

2、若连续函数f(x)满足关系式八,人八2,则f(x)等于()

A、exln2.

B、e2xln2.

C、ex+ln2.

D、e2x+In2.

标准答案：B

f(x)=r7(^-)d/+ln2

知识点解析：在等式k2,两端对x求导得r(x尸2f(x),则

件=2dxJnf=2x+G

/即f(x尸C/x.由题设知f(0)=ln2,则C=hi2,f(x)=e2x]n2.选

B.

22

limln7(I+±)(1+Af...(1+A)

3、-7\nfVnf'n>等于()

A、fj2ln2xdx

B、2f|2lnxdx

C>2fj2ln(l+x)dx.

D、fi2ln2(l+x)dx

标准答案：B

知识点解析：结合积分的定义，分割一求和一取极限可得

!嗖］(1+印…(1

,_2.

=也必［(1+加

=limln(1)—j+ln(|+—j+…+ln(］+—jj

=lim2Vln(1+—

=2fln(1+x)ck1—f2fInfd/=2rInxdx.…“十丁—、【一

卜Ji因此正确选项为B.

4、如图3—1,曲线段的方程为y=f(x),函数f(x)在区间「0,a］上有连续的导数，则

'yV力X)

C(0/(a))-/卬⑷)

D

O5(aO)x

定积分J()axP(x)dx等于()图3-1

A、曲边梯形ABOD面积.

B、梯形ABOD面积.

C、曲边三角形ACD面积.

D、三角形ACD面积.

标准答案：C

知识点解析：首先

fv,(x)dx=pdy(x)^xf(x)-=af(a)-f/(x)d.x.

°其中af(a)是矩

形ABOC的面积，JoHfWdx为曲边梯形ABOD的面积，所以J(Ax)dx为曲边三为形

ACD的面积.

（-（1二"九

5、设m,n均是正整数，则反常积分内笈的收敛性（）

A、仅与m的取值有关.

B、仅与n的取值有关.

C、与m,n的取值都有关.

D、与m,n的取值都无关.

标准答案：D

知识点解析：显然x=0,x=l是该积分的两个瑕点，因此有

71n2(l-X)击,/：沼三击

1石石

对于（四笠出"尔的瑕点彳=0,当X—0♦时

1—X2±

、=in-(1-x)•x~a

等价于一七因为M均为正整数,有%十一成立,收敛,

故,返马兰也收敛.

对于,，吗二Ax的瑕点X=I,当％e(1-6,1)(0<5</)时

71n2(l-x)4i.、八八

--------乙<2"In"z(I-x)<2"(I-x)",

而极限L（17）匕上显然是收敛，因此极限策也是收敛的.

[f(xt)dt=+1

6、设f(x)连续，且配2则f(x)等于()

A、1+Cxex2.

B、2+Cxsinx.

C、2+Cx.

D、2+x.

标准答案：C

知识点解析:

因为当力>0时，有'tanx>x，于是有号^>1，襦^<L从而/=(号"'>(1。也=

7^2=［品卢<11,"=李可见有人>人又由，2<彳•知，应选B.

fAilaliARq

9、积分八(1+‘)，】-』二()

&

6

标准答案：B

知识点解析：这是无界函数的反常积分，x=±l为瑕点，与求定积分一样，作变量

1T

替换x=sint,其中t<2

cos/市J旦

df=2;------r=^arctan(^5tanO_

(1+sin])cow1+2tant0丁

故选B.

10、设f(x)在［a,b］连续，则f(x)在［a,b］非负且在［a,b］的任意子区间上不恒为零

是F(x)=faX(t)dt在［a,b］单调增加的()

A、充分非必要条件.

B、必要非充分条件.

C齐萝冬•件

D、既非虚分又非必要条件.

标准答案：C

知识点解析:己知g(x)在［a,b］连续，在(a,b)可导，则g(x)在［a,b］单调增加=

g'(x)N)(xE(a,b)),在(a,b)的任意子区间内g，(x)/).因此，F(x尸。开⑴出(在［a,b］

可导)在［a,0单调增加=F(x尸f(x)K)(x&a,b))且在(a,b)的任意子区间内

F,(x)=f(x)^0.故选C.

*.1),OCX<1,

小)=

11、设g(x)=Hf(u)du,其中|T八1W"W2,则g(x)在区间(0,2)

内()

A、无界.

B、递减.

C、不连续.

D、连续.

标推答案:D

知识点解析：因为f(x)在区间［0,2］上只有一个第一类间断点(x=l为f(x)的跳跃间

断点)，所以f(x)在该区间上可积，因而g(x)=J()'f(u)du在该区间内必连续，故选

D.

f*>/1++Ie-,，dr=0

12、方程为J根的个数()

A、0.

B、1.

C、2.

D、3.

标准答案：B

知识点解析：

设F(x)=［71+?dt+jy"市，则F(x)在(-8,+8)连续，又F(0)=je-油<

0,F(f)=f八+九>0,由零点定理得/(%)=0至少有一个根.

又易知

产⑴=/I+z4+e-^sinx,

且当zw(-8,+8)时，，1+/m1(等号仅当尢=0成立)，又0<e-z、Wl,-1WsinzWl

，所以有一1%-8s2XsinxSl,又F，(0)=l>0,因此F(x)>0,从而有F(x)在(一8,

+8)严格单调递增,由此,F(x)=O最多有一实根.综上,F(x)=O在(-8,+00)上有

且仅有一个实根，故选B.

13、由曲线'-"n"(°”*、宣)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体

体积为()

4

A、3

4

B、

22

c、尸

2

D、3

标准答案：B

2

知识点解析：由曲线y二f(x)绕x轴旋转所得旋转体的体积计算公式，得3故选

B.

二、填空题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)

s>fxAx

14、

标准答案：一4兀

令&=八原式为

JTxcos-/xAx=21Jcosrdf=2(/sj山

=-4(tsintdt=4((cos/|-(costdr)=

-4IT.

知识点解析:

15、已知J「(x3)dx=x3+C(C为任意常数)，则f(x)=.

言金+ac为任意常数

标准答案：5

知识点解析：

对等式&两边求导得广(工3)=3/.令c=/(#=")，则广3=3/\

故/(%)=//+C,C为任意常数•

16、LT7^t=

7T

标准答案：7

知识点解析：

令彳=；，则有

[-/2x-x2dx

17、人=?

TT

标准答案：4

知识点解析:令x—l=sint,则

f-/lx-x2dx=[-(x-1)2<ck=[cos2(d(=

,______xdx_______

18J(2-?)/f^7=.

IT

标准答案：了

知识点解析:令*=5而，则

*_xdx_______PsirUcosf市

i(2-x2)/1-x2'(2-sin2r)cos：

=-r7T^=-arctan(cos/)L=f

士"Mix

19、设a>0,则

一a”ln3

标准答案：2

知识点解析：由题干可知，原式可化为

-/ln(#++/)dx-「/a?-/】n3ck.

22

因为ln(x+八♦/)是奇函数，所以「7a-?ln(*+/1+x)dx=0.

根据定积分的

IJS--（k=-a2

几何意义可得人2（半径为a的半圆的面积）.所以

rJC-x'ln"+彳^-dn=-；ira，ln3

3।2

xdx

+£))

20、广义积分

1

标准答案：7

知识点解析：本题主要考查的是凑微分法和牛顿―莱布尼茨公

标准答案：In2

7表巾1++)=-1+++)|：=|»

知识点解析：+X

标准答案：0

令/„=Je'^sinn^dx="c'sinax♦nje'cosnxdx

="e''sinnx-ne*cosnx-n].

.ncosnx+sinnx_「

所以/=-----------；-------------ex.C.

■精+1

则

-«..../ncosnx+sinnjc11\

limf(5ninnxdx=lim(-----------：-------------e

n-«JO…17+1of

=lim(-敬售?十轲”T+)=0.

22

知识点解析：n+1n+1/

23f*上

4D、-_____________________•

标准答案：2

令十二由7e+dx=]Je'(—V卜"=J1te/df

=jjde'=/e*i(-(e'dl=

知识点解析：

24、当叱把兀时，对数嗯旋尸e0的弧长为.

标准答案：&CT)

知识点解析：利用极坐标的弧长公式：

J山二/"(6)'+/(方的=1=Ji(e-1).

y=Itanfd<(0WxW。)

25、曲线k4的弧长s=.

标准答案：1M1+&)

XX_______X

i+(/)2dx=fJ\+lan24dx=[secxdx

知识点解析：“"%

=ln(secx+taru)=ln(1+。)

Io

一)=[i，”且A>0,则「次石)(k

26、设函数I0，#WO,J”且入>0,贝亚

O0+O2xf(x)dx=.

i

标准答案：了

知识点解析：已知x4)时，函数f(x)值恒为0,因此可得

|xf(x)dx=(Axe'Atdx=.[xd(eAt)

="xeA,:

口v0v£

27、曲线p8=l相应于43的一段弧长s=

标准答案：212

由已知可得P=则

s:(G+Lp'(8)二的='"de=一(/+>

=-(守)卜。号…A浪

知识点解析:

三、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)

设产f(x)是区间［0,1］上的任一非负连续函数.

28、试证存在xoE(O,l：h使得在区间［0,xo］上以f(xo)为高的矩形面积，等于在区

间［xo，I］上以y=f(x)为曲边的梯形面积；

标准答案：本题可转化为证明xof(xo尸分f(x)dx.令(p(x)=ixNf⑴出，则(p(x)在闭

区间［0，1］上是连续的，在开区间(0,1)上是可导的，又因为(p(0尸(p(l尸0,根据罗

尔定理可知,存在xo€(0,1),使得0(xo)=O,即(p'(xo)=xof(xo)Txoif(t)dt=O.就

是xof(xo)=fxo1f(x)dx.

知识点解析：暂无解析

广⑴

29、又设f(x)在区间(0,1)内可导，且4,证明(1)中的xo是唯一

的.

标准答案：令r(x)=xf(x)Txlf(t)dt,

(2)令F(x)=#(x)

且由/'■)>-"产有

F,(x)=xf(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf(x)>0.即F(x)在(0,1)内是严格单调递增的，从而

F(x)=0的点x=xo一定唯一，因此(1)中的点是唯一的.

知识点解析：暂无解析

30、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井I：3(如图

3—5所示).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥

重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙

中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：

@lNxlm=lJ,m,N,s,J分别表示米，牛，秒，焦.②抓斗的高度及位于井口

上方的缆绳长度忽略不计.)图3-5

标准答案：作X轴如图3—13所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为

W,当抓斗运动到x处时，作用力f(x)包括抓斗的自重400N,缆绳的重力50(30—

2000-4-20(N)

x)N,污泥的重力3,即

/(x)=400+50(30-x)+2000-

于是

卬:/(3900-哈)布=3900x-

知识点解析：暂无解析

.farctane,

31、求」小

原式=-yJarctane'd(e')

2IJ/(1

=-}(Jarctan伴+/曲)

1/*2x.«.

—(earctane+e+arctane*)+C.

标准答案:4

知识点解析：暂无解析

32、证明：⑴若函数f(K)在闭区间⑶b]上连续，则至少存在一点ne[a,b],使

得If(x)dx=f(r|)(b—a)；(2)若函数(p(x)具有二阶导数，且满足(p⑵Kp⑴,5(2)>

2

f2(p(x)dx,则至少存在一点斤(1,3),使得(p''C)〈O・

标准答案：(1)设M与m是连续函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，即

mW/(%)W.必产e[a,6].

根据定积分性质，有

m(b-a)W^f(x)dxWM(b-a).

即mW-r-------WM.

b-a

根据连续函数介值定理，至少存在一点羽e[a,6],使得

/(H)=

即jf(x)dx=/(TJ)(6-a).

(2)由(1)的结论可知至少存在一点〃c[2,3],使

[砂(%)&=3(77)(3-2)=夕(加，

又由3(2)>[3(x)dx=3(可)，知2<vW3.

对*(x)在[1,2][2,由上分别应用拉格朗日中值定理，并结合3(1)<9(2)«(毛)〈夕(2)得

，&).⑴>o,।<々.

夕，国)=呼.(2)<0,2<々<…，

在[々,6]上对导函数“(“)应用拉格朗日中值定理，有.

3(6)--------.二和----<0,fw(6.^2)c(1,3).

知识点解析：暂无解析

、△/(")=f2IsimI血

33、证明f(x)是以兀为周期的周期函数；

f(x+-Jr)=r2sin/|dl

标准答案：由题设条件可得।…设1=叶兀，则有

f(x+a)=(|sin(u♦IT)|d〃=f|sinu|du=/(x)

人因此f(x)是以兀为周期的周期

函数.

知识点解析：暂无解析

34、求f(x)的值域.

标准答案:因为IsinxI周期为兀，故只需在［0,利上讨论值域.因为

J=sin(x+-y)|~|sinx|=|cosx|-|sirur।,

令/'(X)=0,得阳二学,盯"字，且

/(千)=j；sin疝=区

/(不)=J?|sinf|d，=Jj.sinfcbJsinrdr=2-&、

，

又/(0)=Jsin/df=1=/(IT)=J(-sin/)d/=I,

因此可知/(%)的最小值是2最大值是。，故f(x)的值域是[2-&,&]

知识点解析：暂无解析

_e+e

35、函数12与直线x=0,x=l(l>0)及y=0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕

x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S⑴，在x=t处的底面积为

F⑴.(1)求HD的值；(2)计算极限J"F。)

(1)S(x)=j2iryy/l+y/2*dx

;2川中)万(甲P”

v(/)=力/="(42)%，

所以

V(t)"

(2"⑴=宜(咨吁,

标准答案：

知识点解析：暂无解析

36、高为I的柱体形!罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆现将贮油罐平

放，当油罐中油面被时(如图质量单位

为kg,油的皴为常数pkg/in3)

x22LI

标准答案：如图3—14,建立直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为/必一'图

&=­1irab,

中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形.记S］为下半椭圆面积，则2记

S2是位于X轴上方阴影部分的面积，则

J1-.记y=6sinZ,则dy=bcoatdt,则

MM

=2a6[cos]疝=ab](1+cos2t)dt=~f)

+-^-a6+亨Q6)，P

多nr+/)ablp.

知识点解析：暂无解析

X

370了是椭圆4+3"绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点(4,0)且与椭

T+T=1

圆相切的直线绕X轴旋转而成.(1)求S|及S2的方程；⑵求S1与S2

之间的立体体积.

标准答案：(1)由题意得S］的方程为

4+3-L

计算得过点(4,0)与卜q=I的切线为y=±(%-2),所以诙的方程为y2+Z2

=(%-2)：

(2)记力=%-2,由全十9=1,记力=应1.亍),

v

则=(22-/2拉

="f(+2-22+4)dx-宣/(3-

=”(杼

知识点解析：暂无解析一

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由X?+y2=

2,(

7).

38、求容器的容积;

标准答案：曲线可表示为

j\...-1WyW

x=/(y)=

/2y-，，/WyW2.

则其容积为

V=f"⑺dy=叫：(]_J)dy⑵-y2)dy]

=^(y_//dy+ft2ydy)

=喉-别：+，1;)

知识点解析：暂无解析

39、若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为

m,重力加速度为gm/S2,水的密度为l(?kg/m3)

标准答案：利用微元法，所做功的计算分为两部分：

即=11000^(1-Y2)(2-y)dy+j?I000gir(2y-/)(2-y)dy

=1000g<n［J*(2-y-2y2+y5)dy+j^(4y-4y2+/)dy］

=1000gir[(2y-yy2-yyJ*3，):+⑸-"+/)/

=3375g7r.

知识点解析：暂无解析

/(6)•cos6=；----1f(x)•cosxdjt.

40、设f(x)在区间［a,b］上可导，且满足b-J证明至

少存在一点乐(a,b),使得P©尸f«).tan&

标准答案：由f(x)在区间［a,b］上可导，知f(x)在区间［a,b］上连续，从而

F(x)=f(x).cosx在

［Q.匕了］上连续，由积分中值定理,知存在一点cE(%嘤)使得

尸(6)=/(6)cos/>=『二7]/(•«)•cosxdx

=Y^—,F(c)•-a)

b-a2

=F(c).

在[c,6]上，由罗尔定理得至少存在一点fe在,6)C(*6),使

r(f)=/，(f)cosf-/(f)sinf=0.

即得广(力喈e即得).

知识点解析：暂无解析

/詈lx,其中/(")=/叱+1)市

41、计算

标准答案：使用分部积分法和换元积分

法.

(詈k=2»(x)dG=2&⑴1-2。(4)&lz,其中由题意J(l)=0,

因此,上式=_2『"(了2dx=-4^'ln(l+%)d在

=-41n(1+x)-Ax)

=-41rl2+“『，一dx====-4ln2+4(j：-.2疝

=-41n2+8([C了.=-41n2+8((1-1

=-41n2+8-2m

知识点解析:暂无解析

42、过点(0,1)作曲线L：y=l似的切线，切点为A,又L与x轴交于B点，区域

D由L与直线AB围成.求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体

积.

±

标准答案：设切点坐标为A(xo,Inxo),斜率为”。，因此该点处切线方程为

y-lnz0=-(A:-x0)

X°又因为该切线过B(0,1),所以xo=e2,故切线方程为

y=-U+।y=?^T(X"0

J切线与x轴交点为(1,0).因此直线AB的方程为e-1

[Inxdx-j_22…J.-1)dx

(1)区域的面积为=2.(2)旋转一周所围成的体积

一叫占(X-1))(lx

=(2e2-2)TT-■―^ir=京(e2-1)e

为33

知识点解析：暂无解析

43、⑴设f(x)在(-8,-8)上连续，证明f(x)是以1(>0)为周冷；-7一“.…充要

-J-dx

为1+cos'%

条件是对任意aE(—8,+8)恒有Jaa*f(x)dx=Jok(x)dx.(2)计算

标准答案：(1)证明：必要性

设q(Q)=［7a)dr-f/(x)d孙由题设

“(Q)=/(«+/)-/(«)=0,

则3(。)=c(常数).

设Q=0,则。=3(0)=仅4)也,那么*(a)=£f(x)dx=j/(Qdx.

充分性：

在&=f/(x)(k两边对。求导，得/(a+1)-/(。)=0,故/(外以/为周期2利

用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是

广产9=r1yck=2「一

力1+COSXJr1+COSX为1+COSX

在上式第2项中作变量替换”即可化为第1项，故

原式=4,E?7k与皂卡市

知识点解析：暂无解析

f(x)=-~J-+f/(x)sinx(k

44、设f(x)在［一兀，兀］上连续，且有1人口求f(x).

标准答案：曲于k吁(x)sindx存在，且记为A,于是可得，

而fW/(x)sinr(k=C1吗-dx+f4sinxdx=「里沁ck+0

JrJr1+COSX」一・J-・1+COSX

从而有

4=f「8叫(k=2f

J-，I+COS*X比1+COSX对右边

积分作积分变量变换：x=兀一t,当X=0时，t=7T；当X=7l时，t=0.于是

4:2r8-)蚂_也)

k1+cos*/

=2/2r上Jck

A>1+cosr加1+cos*I

二2『qi』i

卜I+cos'

则

rwTsin/..,八.w2.IT2IT

A=-4=-irarclan(cosZ)=丁+T=F

b1+cos2/o442

从而

知识点解析•：暂无解析

45、设曲线y=ax2(xN0,常数a>0)与曲线y=l—x2交于点A,过坐标原点O和点

A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D,求(1)D绕x轴旋转一周所成的旋转体的

体积V(a);(2)a的值，使V(a)为最大.

/L=，i:J

标准答案：由题意知，y=ax?与y=l—x2的交点为\'1.°直线DA的方程

(1)旋转体的体积

"⑷”厂(占八J3=I?-万士开

(2)加1=红产(…=3二埠

为da15(1+Q)，15(I+Q)T当a>0时，得

V(a)的唯一驻点a=4.当0VaV4时,V,,(a)>0；当a>4时，V5,(a)<0.故a=4为

V(a)的唯一极大值点，即为最大值点.

知识点解析：暂无解析

46、设f(x)是区间[0,十功上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=l.对任意的

t6[0,+8),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一

周得一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表

达式.

标准答案：旋转体的体积公式

V=p1/2(x)clx.

侧面积公式S=2-ITJ7(X)八+/”(*)而,

根据已知

=1/(*)/1+/"(%)心.

上式两端对，求导得/2(<)=/(0/+厂⑴,

即=//-1-

由分离变量法解得y+Vj2-1=Ce',

将y(0)=1代入，知C=1,故

y+/y4-1=e',y=y(e+e")

因此，所求函数为y=/(x)=y(e*+e-r).

知识点解析：暂无解析

/肝;力Ml+#也

47、求不定积分

由…1七则

x3(l+x2)

原式空央

标准答案:

=+r)d(5)./1]n(1+x:)dln(1+x2)

=,n(1+x2)<k+[ln(,

-1[7•J^TT?)]J+£厅

=■iln(1+力+仁-/收+打2(1+，)

=-/卬1+/)♦In|x|-yln(l+x2)+yin2(1+/)+C.

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fz=8-sind,.、

(一宣W8WIT).

Ly=1-cos。

48、设有摆线试求L绕x轴旋转一周所得旋转

面的面积.

标准答案：这是由参数方程给出的曲线,由于x'(O)=l—cos，y,(0)=sin0,则按旋

转面面积计算公式，可得旋转面的面积

A=⑻4”(8)+尸(应此

=lirj(1-cos。)/(I-cosd)'+8百伙|。

=2uJ(I-cos。)/2(l一cos。)de

=16F(sirf枭IB

=32TTJ*sin3/df=

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X

49、设