2026年苏教版高中数学第9章数列练习

2026年苏教版高中数学第9章数列练习一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）a.6n-3b.2n+1c.3nd.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项a为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项b为2n+1，不符合首项为3的条件；选项c为3n，不符合公差为3/2的条件；选项d为4n-1，不符合首项和公差要求。正确答案为a。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）a.8b.16c.31d.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1=1，可得b_2=S_2-S_1=3-1=2，b_3=S_3-S_2=7-3=4，b_4=S_4-S_3=15-7=8。正确答案为a。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_6的值为（）a.21b.34c.55d.89解析：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-2x-1=0，解得x=1±√2，通项公式c_n=A(1+√2)^n+B(1-√2)^n。由c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3可得A+B=1，A(1+√2)+B(1-√2)=3，解得A=√2+1，B=1-√2。c_6=(√2+1)(1+√2)^6+(1-√2)(1-√2)^6≈21.58，取整数21。正确答案为a。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）a.3b.2√3c.-3d.±3√2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q^2=9，解得q=±3。正确答案为c。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5等于（）a.25b.30c.35d.40解析：由数列通项公式e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，e_5=2×5-1=9。正确答案为a。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_10的值等于（）a.20b.36c.56d.90解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，可得f_n=f_1+∑_{k=1}^{n-1}log_2(k+1)=2+∑_{k=1}^{9}log_2(k+1)=2+log_2(10!)=2+log_2(3628800)=12，f_10=f_9+log_2(10)=12+1=13。正确答案为a。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，a_5=9，则该数列的前10项和S_10等于（）a.90b.100c.180d.190解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，可得a_5=9。前10项和S_10=10×a_1+10×9/2=90。正确答案为a。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则数列{log_3(h_n)}的前5项和等于（）a.10b.15c.20d.25解析：h_n=U_n-U_{n-1}=3^n-1-3^{n-1}+1=2×3^{n-1}，log_3(h_n)=n-1。前5项和=0+1+2+3+4=10。正确答案为a。9.在等比数列{p_n}中，若p_2=4，p_6=64，则该数列的公比q等于（）a.2b.3c.4d.8解析：由等比数列通项公式p_n=p_1q^{n-1}，代入p_2=p_1q=4，p_6=p_1q^5=64，联立可得q^4=16，解得q=2。正确答案为a。10.已知数列{q_n}满足q_1=1，q_{n+1}=q_n+n，则q_6等于（）a.21b.36c.55d.66解析：由递推关系q_{n+1}=q_n+n，可得q_n=1+1+2+3+...+(n-1)=1+∑_{k=1}^{n-1}k=n(n-1)/2+1，q_6=6×5/2+1=16。正确答案为a。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=11，则该数列的通项公式a_n=________。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=11可得11=5+3d，解得d=2，故a_n=5+2(n-1)=2n+3。参考答案：2n+3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则b_3的值等于________。解：b_3=S_3-S_2=(2×3^2-3×3)-(2×2^2-3×2)=9，参考答案：9。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=3c_n-2，则c_5的值等于________。解：由递推关系c_{n+1}-1=3(c_n-1)，可得数列{c_n-1}为等比数列，首项1，公比3，c_n-1=3^{n-1}，c_5=3^4+1=82。参考答案：82。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=12，d_5=96，则该数列的公比q等于________。解：由d_n=d_1q^{n-1}，代入d_3=d_1q^2=12，d_5=d_1q^4=96，联立可得q^2=8，解得q=2√2。参考答案：2√2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_4等于________。解：e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-(n-1)n/2=n，e_4=4。参考答案：4。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，则f_5等于________。解：f_n=3+∑_{k=1}^{n-1}(2k)=3+2∑_{k=1}^{n-1}k=3+2×n(n-1)/2=n^2+2n-3，f_5=25+10-3=32。参考答案：32。7.在等差数列{g_n}中，若a_2+a_8=20，a_5=6，则该数列的公差d等于________。解：由a_2+a_8=2a_5=20，可得a_5=10，由a_5=a_1+4d=6，a_1+8d=20，联立解得d=2。参考答案：2。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=5^n-1，则数列{log_5(h_n)}的前3项和等于________。解：h_n=5^n-1，log_5(h_n)=n，前3项和=1+2+3=6。参考答案：6。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=2p_n+n，则p_4等于________。解：p_n=1+∑_{k=1}^{n-1}(2k+k)=1+∑_{k=1}^{n-1}3k=1+3×n(n-1)/2=3n^2/2-n/2，p_4=12-2=10。参考答案：10。10.已知数列{q_n}的前n项和V_n=n^2+n+1，则q_6等于________。解：q_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n+1-(n-1)^2-(n-1)-1=2n，q_6=12。参考答案：12。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是等差数列。（×）解：由S_n=2n^2-3n，可得a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5（n≥2），a_1=S_1=-1，故数列非等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=2。（√）解：由b_3=b_1q^2=8，解得q=2。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列一定是斐波那契数列。（×）解：斐波那契数列特指c_1=1，c_2=1的递推数列，题目未给出初始条件。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则该数列的前9项和S_9=90。（√）解：由a_1+a_9=2a_5=20，可得a_5=10，S_9=9×10=90。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^3，则e_n=3n^2。（×）解：e_n=T_n-T_{n-1}=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=2f_n+1，则该数列非等比数列。（√）解：设f_n=aq^n+b，代入递推关系可得a=-1，b=1，数列非等比数列。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则该数列的公比q=3。（√）解：由g_4=g_2q^2=54，解得q=3。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则h_n=2^n-1。（×）解：h_n=U_n-U_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}。9.若数列{p_n}满足p_{n+1}=p_n+n，则该数列非等差数列。（×）解：p_n=∑_{k=1}^{n-1}k+n=n(n-1)/2+n=n^2/2，p_{n+1}-(n+1)^2/2=p_n-n^2/2，故数列为等差数列。10.已知数列{q_n}的前n项和V_n=n^2+n，则q_n=2n。（×）解：q_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，但q_1=S_1=2≠2×1，故数列非等差数列。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5。验证a_1=1符合通项，故a_n=6n-5。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，求该数列的前6项和S_6。解：由b_4=b_1q^3=16，解得q=2，S_6=2(2^6-1)/2=62。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，求c_5的值。解：c_n=1+∑_{k=1}^{n-1}(2k)=1+2×n(n-1)/2=n^2，c_5=25。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，求d_3+d_4+d_5的值。解：d_n=n，d_3+d_4+d_5=3+4+5=12。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年的产量比前一年增加200件，求第10年的产量。解：设产量为等差数列{a_n}，a_1=1000，d=200，a_{10}=1000+9×200=2800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：设人口为等比数列{b_n}，b_1=100，q=1.05，b_5=100×1.05^5≈127.63万。3.某人每月储蓄的钱数构成等差数列，首项为500元，公差为50元，求一年后的总储蓄。解：S_{12}=12×500+12×11×50/2=9300元。4.某投资项目的年收益率为10%，若初始投资为10万元，求5年后的本息和。解：S=10×(1+0.1)^5≈16.105万元。【标准答案及解析】一、单选题1.a2.a3.a4.d5.a6.a7.a8.a9.a10.a二、填空题1.2n+32.93.824.2√25.46.327.28.69.1010.12三、判断题1.×2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.×9.×10.×四、简答题1.a_n=6n-52.S_6=623.c_5=254.d_3+d_4+d_5=12五、应用题1.a_{10}=2800件2.2025年人口≈127.63万3.一年后储蓄9300元4.5年后本息和≈16.105万元【解析】一、单选题1.等差数列通项公式推导，公差计算2.前n项和与通项关系3.二阶递推数列特征方程法4.等比数列通项公式推导5.前n项和与通项关系6.递推数列求通项7.等差数列性质a_3+a_7=2a_58.对数数列求和9.等比数列通项公式推导10.递推数列求通项二、填空题1.等差数列通项公式2.前n项和与通项关系3.二阶递推数列求通项4.等比数列通项公式5.前n项和与通项关系6.递推数列求通项7.等差数列性质8.对数数列求和9.递推数列求通项10.前n项和与通项关系三