2026上海中考数学复习专题02 方程（组）与不等式（组）（原卷版）

专题02方程（组）与不等式（组）

（9大题型11难点1新考法2易错，题型清单）

题型一：一元一次方程的实际应用题型六：分式方程的实际应用

购买销售问题行程问题

生产配套问题难点06：购买销售问题

比赛、积分问题难点07：工程问题

分段计费问题题型七：一元二次方程根的判断

难点01：工程问题难点08：结合根的情况求参数的范围

难点02：行程问题难点09：根的情况与函数的综合应用

题型二：二元一次方程组的实际应用题型八：一元二次方程根与系数的关系

利润问题难点10：利用根与系数的关系求代数式的值

和差倍分问题题型九：一元二次方程的实际应用

几何图形问题变化率问题

方案问题循环问题

题型三：不等式组的特殊解问题甬道问题

难点03：不等式组与方程组结合，确定参数易错点02：让利顾客问题

新考法01：满足条件的结论开放题难点11：篱笆问题

题型四：一元一次不等式的实际应用

最多可购买多少问题

难点04：确定最优方案问题

题型五：分式方程的解

分式方程的特殊解问题

难点05：分式方程的增根问题

易错点01：分式方程的无解问题

题型一：一元一次方程的实际应用

1.购买、销售问题

常见的等量关系:

售价=标价×折扣,利润=售价-进价,

销售额=商品售价×销售数量,

总费用=A商品单价×数量+B商品单价×数量

2.工程问题

工作量=工作效率×工作时间；

两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；

一般情况下，把总工作量设为1.

3.行程问题

路程=速度×时间；

快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；

快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。

4.配套问题

识别含有"配套"含义的关键词和其中的数量关系,如"一个螺栓配两个螺母""一张桌子由1个桌面和4个桌腿

组成""2个圆形铁片和1个长方形铁片可围成一个圆桶""2个大齿轮和3个小齿轮配成一套"等,根据各部分总

量之比等于配套比例列方程求解.

5.比赛积分问题

常用等量关系:

答对题(胜场)的分数+答错或不答题(负场)的分数=得分;

答对题数(胜场数)+答错或不答题数(负场数)=总题数(总场数).

【中考母题溯源·学方法】

【典例1】（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百

四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240

里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可

以列出的方程为（）

A．240x150(x12)B．240x150(x12)

C．150x240(x12)D．150x240(x12)

【变式1-1】购买销售问题

（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若

按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（）

A．350元B．320元C．270元D．220元

【变式1-2】生产配套问题

（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物

理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套

装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？

【变式1-3】比赛、积分问题

（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活

习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，

如表记录了5个参赛者的得分情况．

参赛答对题答错题得

者数数分

A24195

B21480

C18765

D141145

E250100

(1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分；

(2)参赛者F得70分，他答对了几道题？

(3)参赛者G说他得87分，你认为可能吗？请通过计算说明．

【变式1-4】分段计费问题

（2025·河南信阳·二模）学科实践：

近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对A，B两个充电站的收费情况进行

了调查，调查结果如下表所示．

充电桩

名称服务费充电费充电速度

领

充电站1.5元每小时充电

直流式免费

A/kWh5kWh

充电站前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元1.2元每小时充电

直流式

B/kWh/kWh5kWh

问题解决：

(1)若汽车充电的总电量为xkWh，

①在充电站A所需支付的费用y1（元）与x的关系表达式为_____；

②请分别写出当0x20和x20时，在B充电站需要支付的费用y2（元）与x的关系表达式．

(2)出租车司机小李和小王分别在A，B两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次

的充电量是多少．

【变式1-5】难点01工程问题

（2025·陕西咸阳·模拟预测）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，

提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标

了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合

作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？

【变式1-6】难点02行程问题

（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州金鸡湖环湖步道是市民健身的热门场所．小苏和小州分别以步行和骑自行

车的方式沿步道行进（视为直线），小苏步行速度为6km/h，小州骑自行车速度为15km/h．

(1)小苏提前0.5小时从起点出发步行，小州骑车从起点追赶，则小州出发后经过________小时首次追上小苏，

此时两人距起点________千米．

(2)若小苏提前出发15分钟（即0.25小时），小州才从起点追赶，求小州出发后多少分钟首次追上小苏？

(3)由于景区调度，小州需在距起点6千米的李公堤站或距起点8千米的东方之门站接听电话（两站点均在

11

路径上）．若小苏提前出发10分钟（即小时），小州需选择其中一站停车通话1分钟（即小时）后再

660

继续追赶，小州应选择哪一站通话，才能确保通话后追上小苏所用时间最少？请通过计算说明理由．

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九

日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过

多少天能够相遇?”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（）

1111

．xx1．xx1．．

A79B79C7x9x1D9x7x1

2．（2025·贵州遵义·模拟预测）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部

分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的

体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和

1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套?设生产茶杯的工人有x人，则下列方程正确的

是（）

A．200x50120xB．8200x50120x

C．200x850120xD．850x200120x

3．（2025·安徽黄山·三模）某同学在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为32，则这三个数在日

历中的排位位置可能的是（）

A．B．C．D．

4．（2026·江苏连云港·模拟预测）《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记

载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个

牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，

则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童x人，则可列方

程为（）

xxxx

A．51082B．81052

3434

xxxx

C．51082D．52810

3434

5．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多

购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设

每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（）

A．72100x601003xB．60100x721003x

100x1003x

C．60100x721003xD．

6072

6．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问

车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩

下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为．

7．（2025·陕西西安·三模）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器

人，每台机器人每天可完成240件上衣或400条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上

衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？

8．（2025·河南·一模）用A，B两种规格的长方形纸板（如图①所示）无重合、无缝隙地拼接成如图②所示

的周长为32cm的正方形，已知A种长方形的宽为1cm，则B种长方形纸板的面积为多少？

9．（2025·陕西咸阳·一模）3月12日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人

与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多20%，

乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多10棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵．

10．（2025·陕西宝鸡·一模）今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村

和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植

树多少棵？

11．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置

后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为x．

(1)请用含x的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除；

(2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出x的值．

题型二：二元一次方程组的实际应用

1.和差倍分问题

抓关键字:审题时抓"多、少、大、小、几分之几"或"增加、减小、缩小"等体现等量关系的词语;

利用好等量关系式列方程组:各部分数量之和-全部数量；较大量=较小量+多余量.

2.几何图形问题

将图形的已知长度(如长方形的长或宽)拆分成各线段的和建立等量关系,列方程组求解.

3.方案问题的解题步骤

第一步：设出两个未知量

第二步：结合题目条件，找等量关系，列二元一次方程

第三步：用一个未知量表示另外一个量，根据实际意义确定两个未知量需满足的条件，如个数必须是整数

等

第四步：结合实际情况罗列满足的方案

4.利润问题

总花费=进价×购进数量

总花费=甲进价×甲购进数量+乙进价×乙购进数量;

单个利润=售价-成本;

总利润=单个利润x售出数量

总利润=甲利润×甲售出数量+乙利润×乙售出数量

总利润=(甲售价-甲成本)×甲售出数量+(乙售价-乙成本)×乙售出数量.

【中考母题溯源·学方法】

【典例2】（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，

2xy11

古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行

3x2y7

从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该

方程组的解．

【变式2-1】利润问题

23．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B

饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了20元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用

了56元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？

【变式2-2】和差倍分问题

27．（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡

车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送

物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多

少吨？

【变式2-3】几何图形问题

（2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有A,B两种诗词书籍整齐

地叠放在桌子上，每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5:6，根据图中所给出的数据信息，求每本A书籍的

厚度和桌子的高度．

【变式2-4】方案问题

31．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生

喜爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需31元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需

34元．

(1)求A，B两款帆布袋的单价分别为多少元．

1

(2)某老师决定购买A，B两款帆布袋共12个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的．当购

2

买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·河北沧州·二模）如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列

及对角线上三个数的和都相等，则x．

2．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数

学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在33（三行三列）的方格中，如果满足每个

横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写

了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy．

3．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为ab的大正方形内有两个边长分别为a，b的小正方形ab，

此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为a，b的两个小正方形按

图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则ab．

4．（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型

号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共

92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价．

5．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起

点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑

假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，

小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小

韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度．

6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节

能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．

(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；

(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少

盏甲型节能灯？

7．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受

王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只

调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将

增加2辆，还有6人没有座位．

(1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数．

(2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各

需多少辆？

题型三：不等式组的特殊解问题

1.求不等式组的整数解及整数解的和与个数:先解不等式组,再根据解集判断求解;

2.已知不等式组有(无)解,求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等式组中各不等式的解集，再根据

不等式组有(无)解构造关于参数的不等式(组)求解;

3.已知不等式组的整数解个数,求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等式组的解集,结合特殊解的

个数，确定具体的特殊解,再列不等式(组)求解.

【中考母题溯源·学方法】

4x2(1x)

①

【典例3】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组x27x并写出它的所有整数解．

②

23

【变式3-1】难点03：不等式组与方程组结合，确定参数

3xy1a

（2025·四川广元·三模）若关于x，y的二元一次方程组的解满足8x5y3y10，则a的取

x3y3

值范围是（）

A．a9B．a9C．a9D．a9

【变式3-2】新考法01：满足条件的结论开放题

（2025·宁夏银川·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：

x22x

（）

1x2x11x

x22x

＝…第一步

(1x（)1-x）x11x

x22(1x)1x

＝…第二步

(1x)(1x)(1x)(1x)x

x222x1x

＝…第三步

(1x)(1x)x

x1x

＝…第四步

(1x)(1x)x

1

＝…第五步

1x

任务一：填空：

（1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是________．

A．整式乘法B．因式分解

（2）以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据：________．

（3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因：________．

x21①

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组1的解集中选择一个合适的整数

x10②

3

作为x的值，代入求值；

【中考模拟闯关·练提分】

2x5y3m

1．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足3x2y7，则整数m的最小值为

x3y2m

（）

A．1B．2C．3D．4

3y1

2y

2．（2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组2有解且满足解集范围内整数解的和为5，

2y1m0

则m取值范围为（）

A．3m5B．3m1

C．3m5或3m1D．3m5或3m1

x31

3．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是x2，则m的取值范围是．

xm1

3x2x1a6

4．（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组xa，则a的取值范围

2x355

是．

5．（2025·贵州黔南·一模）定义一种新运算“ab”：当ab时，aba2b；当ab时，aba2b．例

如：343245，121223．

(1)填空：43___________；（直接写出结果）

(2)已知2x421，求x的取值范围．

111

6．（2025·广西·三模）（1）对于整数x，规定fx，例如：f4，求：

1x145

111

f2025f2024f2f1fff的值．

220242025

3x58

3x24x4

（2）先化简，再求值：x1，其中x是不等式组3x1的整数解．

x1x12x1

2

题型四：一元一次不等式的实际应用

1.最多可以购买多少问题

找到题中的不等关系,常考的有:数量不超过(≤),利润不少于(≥),预算不超过(≤)等题中已知A,8的总数

量及A的数量不多于B的数量,则直接用数量表示不等关系1.题中已知A.B的总数量、单价及花费不超过

多少钱,则用数量和单价表示总花费,再列2.不等式求解.

注:计算结果需要符合实际意义,如个数不能为分数

2.方案问题

一般是先将实际问题中的不等关系抽离出来,联系实际背景,转化为求不等式的非负整数解问题,利用不等

式的非负整数解的个数去确定方案的个数,进而去设计方案

【中考母题溯源·学方法】

【典例4】（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个

同学猜测该书价格的对话：

小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围是．

【变式4-1】最多可购买多少问题

（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵

黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．

(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；

(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多

少棵？

【变式4-2】难点04：确定最优方案问题

（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉

祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中

表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380

元．

(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？

(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？

(3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全

民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示．

(1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中

的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、

脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克；

清蒸鱼块（每100克）滑炒鸡丁（每100克）

蛋白质（克）1615

脂肪（克）814

(2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5

克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少

有多少克？

2．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特

的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字

号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共

需费用120元．

(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？

(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过

950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？

3．（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务．

背景某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．

素材一购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；

素材二购买2个篮球和5个排球共需800元；

该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮

素材三

球个数的2倍．

请完成下列任务：

任务一每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？

任务二给出最节省费用的购买方案．

4．（2025·云南玉溪·三模）随着电影《哪吒2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题

手办．某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品．已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主

题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元．

(1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？

(2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买

敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值．

5．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，

每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所

示：

项目

所需钢材（吨）工时（小时）利润（万元）

种类

A233

B354

C575

（1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品个；

（2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能

获得的最大利润为万元．

6．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的

新型垃圾桶．现有如下材料：

材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新

型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．

材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号

2

的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．

3

请根据以上材料，完成下列任务：

任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？

任务二：有哪几种购买方案？

任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？

7．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单

价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元．

(1)求A、B这两种书籍的进货单价．

(2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店

老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部

售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案．

(3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？

题型五：分式方程的解

1.增根问题的解题关键

分式方程有增根是指解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可

能使分母为零的整式.

口诀助记去分母,化整式,分母为零找增根;增根代入求参数,验根还原定解存.

2.无解问题的解题关键

分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.

它包含两种情形:

（1）原方程化去分母后的整式方程无解;

（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根，从而原方程

无解.

口诀助记去分母，化整式,整式无解直接定;若有解则验分母，全为增根亦无解。

3.特殊解问题的解题思路

分式方程的特殊解是指题中已知解为负数或非负数等,通常先将解用含参数的代数式表示出来,再根据解为

特殊解求解参数的范围,注意分式方程的解不能使分母为零.

【中考母题溯源·学方法】

3x1

x2

【典例5】（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组2至少有两个正整数解，且关于x的

x1xa

a13

分式方程2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（）

x11x

A．8B．14C．18D．38

【变式5-1】分式方程的特殊解问题

xk2k

64．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程3解为负数，则k的值为（）

x44x

44

A．k4B．k4C．k4且kD．k4且k

33

【变式5-2】难点05：分式方程的增根问题

32mx

（2025·四川雅安·二模）若关于x的方程有增根，则m的值为．

x2x2x24

【变式5-3】易错点01：分式方程的无解问题

32x2mx

（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程1无解，求m的值．浩浩求m的值的过程

x33x

如下：

解：方程两边同乘x3，得32x2mx3x，第一步

整理，得m1x2第二步

55

当x3时，原方程无解，此时，m132，m，因此，m．第三步

33

你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．

【中考模拟闯关·练提分】

xm

1．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程5，若该分式方程产生增根，则m的值为（）

x22x

A．0B．2C．2D．2或-2

mxx

2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程2无解，那么实数m的值是（）

1xx1

A．m1B．m1C．m1或m1D．m1且m1

3axa

3．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于x的分式方程1无解，则a的值为（）

2xx2

A．2B．3C．0或2D．1或3

mxx

4．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程2无解，那么实数m的值为（）

x2x2

A．1B．1或0C．1D．1或1

xm1

5．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程3无解，则m．

x22x

a2

6．（2025·广东揭阳·三模）若关于x的分式方程4无解，则a的值是

x22x

题型六：分式方程的实际应用

1.购买问题

解决购买销售问题的关键是找到题中的等量关系,若题中已知A,B的花费金额和单价关系,则分别表示出

A,B的数量列方程;若题中已知A,B的花费金额和数量关系,则分别表示出A,B的单价列方程.

2.工程问题

题中一般已知工作总量,若未知,则把工作总量看作1,然后用工作效率表示时间或者用工作时间表示效率,

再根据完成工程的时间关系或者效率倍数关系列方程.

3.行程问题

题中一般已知总路程,若未知,则把总路程看作1,然后用速度表示行驶时间或者用行驶时间表示速度,再根

据提前到、晚到的时间关系或者速度倍数关系列方程。

【中考母题溯源·学方法】

【典例6】（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红

速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为xkm/h，则

可列方程为（）

64666

A．B．4

1.2x60x1.2xx

64666

C．D．4

1.2x60x1.2xx

【变式6-1】行程问题

（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离

学校240km的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动．

(1)一部分师生乘大巴车先行，出发36min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知

中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；

(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200

元，那么参加本次活动的学生人数是多少？

【变式6-2】难点06：购买销售问题

（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健

身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健

身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．

(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．

(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器

材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？

【变式6-3】难点07：工程问题

（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进

一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．

(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采

摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）

(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已

知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千

克．

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的

速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（）

10101010

A．1.2B．0.2

x1.2x1.2xx

10101010

C．1.2D．0.2

1.2xxx1.2x

2．（2026·山东临沂·模拟预测）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集

拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，

计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间

与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包x个，则下列方程正确的是（）

1000120012001000

A．B．

x100xx100x

1200100010001200

C．D．

x100xx100x

3．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生

活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人

的1.5倍．若两种机器人分别装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，则智能机器人每小时可

以装载货物（）

A．0.1吨B．0.15吨C．6吨D．9吨

4．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法

15001000

解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程5进行解答．则被墨

xx10

水污染部分的文字为（）

A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比