2026上海中考数学复习专题03 坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（5大题型7难点）（解析版）

专题03坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题

（5大题型7难点1新考法，题型清单）

题型一：确定点的坐标题型三：平面直角坐标系中的面积问题

难点01结合点到坐标轴的距离确定点的坐标题型四：实际生活中函数图象问题

难点02结合点的变换确定点的坐标难点06分析两个函数的图象

难点03建立平面直角坐标系新考法01跨生物学科

题型二：点坐标的规律探索题型五：动点的函数图象问题

难点04周期变化性规律探索难点07根据函数图象判断点的运动轨迹

难点05点的分组探索

题型一：确定点的坐标

1.平面直角坐标系中点的坐标特征

各象限内点的坐标特征(1)P(a,b)在第一象限↔a>0,b>0(2)P(a,b)在第二象限↔a<0,b>0

(3)P(a,b)在第三象限↔a<0,b<0(4)P(a,b)在第四象限↔a>0,b<0

坐标轴上点的坐标特征(1)坐标轴上的点不属于任何象限(2)P(a,b)在x轴上↔b=0

(3)P(a,b)在y轴上↔a=0

口诀助记：x轴纵坐标零，(x,0)要记清;y轴横坐标零，(0，y)莫看轻;原点

相对简单，(0,0)在中间.

象限的角平分线上点的坐标(1)若P(a,b)在一、三象限的角平分线上,则a=b;

特征

(2)若P(a,b)在二、四象限的角平分线上,则a+b=0

2.图形变换与点的坐标规律

图形变换点的坐标规律

关于x轴点A(a,b)关于x轴的对称点为B(a,-b)

对

称

变关于y轴点A(a,b)关于y轴的对称点为C(-a,b)

换

关于原点点A(a,b)关于原点的对称点为D(-a,-b)

左右平移将点P(a,b)向左或向右平移h个单位，对应点坐标为(a-h,b)或(a+h,b)

平

移

变

换

上下平移将点P(a,b)向上或向下平移k个单位，对应点坐标为(a,b+k)或(a,b-k)

【中考母题溯源·学方法】

【典例1】（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（）

A．(3,2)B．(3,2)C．(3,2)D．(3,2)

【答案】C

【详解】解：由坐标系可得点P在第一象限，且横坐标为3，纵坐标为2，

∴点P的坐标是(3,2)，

故选：C．

【变式1-1】难点01结合点到坐标轴的距离确定点的坐标

（2025·广西·模拟预测）在平面直角坐标系中，点Pa3,a到y轴的距离是5，则a的值为（）

A．4B．2或8C．2D．8

【答案】B

【详解】解：点P(a3,a)到y轴的距离是5，

则a35，

a35或a35，

a2或a8

故选：B．

【变式1-2】难点02结合点的变换确定点的坐标

（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴

上．B0，2．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90．得到正方形ABCD．则点D¢的坐标为（）

A．3,5B．5,3

C．2,5D．5,2

【答案】A

【详解】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90．得到

正方形ABCD．

∴ABBCABBCCD5，AB在x轴上，AB∥CD，

∵B0，2，

∴B2,0，C2,5，

∴D3,5，

故选：A

【变式1-3】难点03建立平面直角坐标系

（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为

1,0、1,1，则“强”的坐标为（）

A．3,3B．2,3C．4,3D．4,5

【答案】B

【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为1,0、1,1，

∴建立直角坐标系如下：

，

∴“强”的坐标为2,3，

故选：B

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·天津·一模）如图，△OAB的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且ABx

轴，若AB2，OAOB5，则点A的坐标为（）

A．2,1B．2,1C．2,1D．2,1

【答案】A

【详解】解：设AB与x轴交于点C，

∵OAOB5，ABx轴，

1

∴ACAB1，

2

2

∴OCOA2AC25122，

∵点A在第二象限，

∴点A的坐标为2，1，

故选：A．

2．（2025·江苏扬州·一模）如图，点A、B、C、A、B和C均在格点上，若ABC可由ABC绕点P旋转

得到，则P的坐标为（）

A．0,0B．2,4C．2,2D．1,2

【答案】B

【详解】解：如图，连接BB，CC，作BB，CC的垂直平分线的交于点P，则点P2,4，

故选：B．

3．（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点P坐标为3,2，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，

交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（）

A．5B．13C．5D．13

【答案】D

【详解】解：点P坐标为3,2，

OP223213，

以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，

OAOP13，

又点A位于x轴的负半轴，

点A的横坐标为13，

故选：D．

4．（2025·贵州贵阳·一模）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，

将其放入平面直角坐标系中，若点A与点B关于原点成中心对称，且B1,1，则点C的坐标为（）

A．2,2B．2,2

C．1,1D．1,1

【答案】A

【详解】解：由题意得，如图，建立直角坐标系，

则点C的坐标为2,2．

故选：A．

5．（2025·江西赣州·一模）如图，坐标平面内有一个矩形ABCD，点A位于原点，点B、D在坐标轴上，点

C的坐标为2,1，现固定B点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后C点的坐标为3,0，则旋转后D

点的坐标为（）

A．2,3B．2,2C．3,3D．3,2

【答案】D

【详解】解：如图，记旋转后的矩形为ABCD，

∵旋转后C点的坐标为3,0，

∴点C落在x轴上，

∵C2,1，四边形ABCD是矩形，

∴B2,0，BCD90，

∵旋转，

∴CDCDAB2，DCO90，

∴点D¢的坐标为3,2，

即旋转后点D坐标为3,2

故选：D．

6．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD2OA12，

AD3AB，则点C的坐标是（）

A．6,14B．4,16C．4,14D．6,16

【答案】C

【详解】解：过C作CEy轴于E，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CDAB，ADC90，

∴ADOCDECDEDCE90，

∴DCEADO，

∴△CDE∽△ADO，

CEDECD

∴，

ODOAAD

∵OD2OA12，AD3AB，

1

∴OA6，CD:AD，

3

11

∴CEOD4，DEOA2，

33

∴OE14，

∴C4,14，

故选：C．

7．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的O与矩形ABCD的边AB,BC都相切，

且经过顶点D，与边CD相交于点E．若点A的坐标是5,3，则点E的坐标是（）

A．4,3B．5,3C．3,4D．3,3

【答案】A

【详解】解：∵O与矩形ABCD的边AB,BC都相切，

∴OGAB，OHBC，

∴OGBOHB90，

∵矩形ABCD中AB90，,

∴AOGB90，

∴AD∥x轴，

∵点A的坐标是5,3，

∴点D的纵坐标为3，

∴DM3，

∵矩形ABCD中CD∥AB，

∴ÐDMO=180°-ÐAGO=90°，

∴OMDE，

∴ME=DE=3，

连接OD，根据勾股定理得：OMOD2DM24，

∴点E的坐标为4，3．

故选：A．

8．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴正半轴上，且OA1，点B在y轴

负半轴上，且OB2．若点C1,3,D是象限内的一点，则使得以A,B,C，D为顶点的四边形是平行四边

形的点D的坐标为（）

A．0,5B．2,5C．2,1D．2,5或2,1

【答案】D

【详解】∵OA1，OB2

∴A1,0，B0,2

如图，当AB是平行四边形的边时，CD∥AB且CDAB．

点B可以看作是由点A先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，

点D可以看作是由点C按同样的平移方式得到，或者点C是由点D按同样的平移方式得到，

点D的坐标为11,32或11,32，即2,1或0,5．

当AB是平行四边形的对角线时，AB的中点与CD的中点重合，

同理可得D(2,5)．

又点D在象限内，

点D的坐标为2,1或2,5．

故选：D．

9．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为1,2，则点Q

的坐标为．

【答案】3,4

【详解】解：点Q的坐标为3,4．

故答案为：3,4．

10．（2025·贵州·一模）经纬网是一种利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够标示

地球上的任何一个位置．在如图所示的经纬网中，已知甲的坐标为1,1，表示的经纬度为西经20，北纬20，

若乙的经纬度为东经40，南纬40，则乙的坐标为．

【答案】2,2

【详解】解：建立平面直角坐标系如图，

因为乙表示的经纬度为东经40，南纬40，

所以乙的坐标为2,2，

故答案为：2,2．

11．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4,0)，P为

边AB上一点，CPB60，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B处，则点B的坐标

为．

【答案】(2,423)

【详解】解：过点B作BDOC，如图所示：

四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4,0)，

BBDC90，CBCBOCOA4，

CPB60，

BCP90CPB30，

由折叠的性质可得：PCBBCP30，

\ÐB¢CD=30°，

1

BDCB2，

2

在Rt△BCD中，根据勾股定理得DCBC2BD223，

OD423，

即B点的坐标为(2,423)，

故答案为：(2,423)．

12．（2025·宁夏中卫·二模）如图在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为3,3，4,0．把

△OAB绕点O逆时针旋转使OB与y轴重合得到OCD，则点D的坐标为．

【答案】3,3

【详解】解：如下图所示，过点A作AMOB，过点D作DNOC，

AMODNO90，

点A的坐标是3,3，

OM3，AM3，

由旋转可知，ABO≌DCO，

AODO，AOBDOC，

AMODNO

在AOM和DON中，BOADOC，

OAOD

AOM≌DON，

AMDN3，OMON3，

点D的坐标为3,3．

故答案为：3,3．

13．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为2,0，点B的坐标为0,1，将△OAB

绕点O旋转得到OCD，此时ODAB，则C点坐标为．

45，25

【答案】

55

【详解】解：延长DO交AB于点F，过点C作CEx轴，垂足为点E，如图所示：

则CEO90，

由题意知，OA2，OB1，

∴ABOA2OB25，

根据旋转可得：CODAOB90，OCOA2，

∵ODAB，

∴BFO90，

∴CODBFO，

∴AB∥OD，

∴COEBAO，

∵CEOAOB90，

∴ABO∽OCE，

ABAOBO

∴，

COOECE

521

∴

2OECE

2545

解得：CE，OE，

55

∵点C在第三象限

45，25

∴点C坐标为．

55

45，25

故答案为：．

55

14．（2025·广东·二模）【阅读理解】

点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，给出以下定义：若d1d2，则称

d1为点P的“微距值”；若d1d2，则称d2为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距

值”为0．例如，点P3,5到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，因为3<5，所以点P的“微距值”为3．

【知识应用】

(1)点A2,3的“微距值”为______；

(2)若点Ba,3的“微距值”为2，求a的值；

(3)若点C在直线y3x6上，且点C的“微距值”为2，求点C的坐标．

【详解】（1）解：∵点A2,3到x轴的距离d133，到y轴的距离d222，且23，

点A的“微距值”为d22，

故答案为：2；

（2）解：点Ba,3到x轴的距离d133，

∵点Ba,3的“微距值”为2，

∴点B到y轴的距离d2a2，

a2或a2；

（3）解：设点C的坐标为x,y，

点C在直线y3x6上，

y3x6

情况一：当d1d2时，此时d12，即y2，

当y2时，代入y3x6，得23x6，

4

即3x4，解得x，

3

44

此时dx，

233

4

2，

3

不满足d1d2，舍去；

当y2时，代入y3x6，得23x6，

8

即3x8，解得x，

3

88

此时dx，

233

8

2，满足dd，

312

8

点C坐标为,2；

3

情况二：当d1d2时，此时d22，即x2，

当x2时，代入y3x6，

得y3260，此时d1y0，

02，

不满足d1d2，舍去；

当x2时，代入y3x6，

得y32612，此时d1y12，

122，满足d1d2，

点C坐标为2,12；

8

综上所述，点C的坐标为,2或2,12．

3

题型二：点坐标的规律探索

1.解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：

1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出

所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；

2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存

在的规律．

2.解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：

1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示；

3）找算式中数字与序号间的变化规律；

4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）.

【中考母题溯源·学方法】

【典例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平

面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作△，使，，再以为

A2,0OARtOAA1OAA190AOA130OA1

边作△，使，，过点，，作弧，记作第条弧；以为边

RtOA1A2OA1A290A1OA230AA1A2AA21OA2

△

RtOA2A3，使OA2A390，A2OA330，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使OA3A490，A3OA430，

过点，，作弧，记作第条弧按此规律，第条弧上与原点的距离最小的点的坐标

A2A3A4A2A42……2025O

为．

24048240483

【答案】,

20242024

33

【详解】解：根据题意可知：OA2，

OA22

OA12

cos3033，

2

2

OA222

1，

OA222

cos30333

23

OA222

2，

OA322

cos30333

……

n

2，

OAn2

3

∵点，，作弧为第条弧，

AA1A2AA21

点，，作弧为第条弧，

A2A3A4A2A42

……，

∴组成第条弧，

A4048A50502025

∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点为A4048，

4048

40484049

∴222，

OA40482220242024

333

∵AOA130，A1OA230，A2OA330，A3OA430，……，,

∴12次操作循环一周，

∵4048123374，

∴AOA4048120，

过点A4048作A4048Mx轴于点M，如图所示：

∴MOA404818012060，

12404924048

∴OMOAcos60，

404823202432024

324049240483

AMOAsin60，

4048404823202432024

24048240483

∴A,，

404820242024

33

24048240483

∴第条弧上与原点的距离最小的点的坐标为,．

2025O20242024

33

24048240483

故答案为：,．

20242024

33

【变式2-1】难点04周期变化性规律探索

1

（2025·山东·中考真题）取直线yx上一点Ax,y，①过点A作x轴的垂线，交y于点Ax,y；

1111x222

②过点A2作y轴的垂线，交yx于点A3x3,y3；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A1的坐标为

1,1，则点A2025的坐标是．

【答案】1,1

【详解】解：∵点A1的坐标为1,1，

∴点A2的横坐标为1，

∴点A2的坐标为1,1，

∴点A3的纵坐标为1，

∴点A3的坐标为1,1，

同理点A4的横坐标为1，

∴点A4的坐标为1,1，

点A5的坐标为1,1，

∴四个点一个循环，

∵20254506余1，

∴点A2025的坐标与点A1相同，是1,1，

故答案为：1,1．

【变式2-2】难点05点的分组探索

（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，……

均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P10,0，P20,1，P31,1，P41,1，P51,1，P61,2，……，

根据这个规律，点P2025的坐标为

【答案】506,506

【详解】解：∵P10,0，P20,1，P31,1，P41,1，P51,1，P61,2，P72,2，P82,2，P92,2，

P103,3，P113,3，P123,3……，

由此发现：点P4n在第四象限的角平分线上，点P4n1在第三象限的角平分线上，点P4n2在直线yx1x0

的图象上，点P4n3在第一象限的角平分线上，

∵202545061，

∴点P2025在第三象限的角平分线上，

∴点P2025506,506．

故答案为：506,506．

【中考模拟闯关·练提分】

3x1x为奇数

1．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数fx1．在平面直角坐标系中，将

xx为偶数

2

点m,n中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例

如，点8,5经过第1次运算得到点4,16．经过第2次运算得到点2,8，经过第3次运算得到点1,4，经过

有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点2,1经过第2025次运算后得到点是（）

A．2,1B．4,2C．1,2D．1,4

【答案】A

【详解】解：初始点：2,1（第0次运算）．

2

第1次：横坐标2为偶数，f21；纵坐标1为奇数，f13114；得到点1,4．

2

4

第2次：横坐标1为奇数，f13114；纵坐标4为偶数，f42；得到点4,2．

2

42

第3次：横坐标4为偶数，f42；纵坐标2为偶数，f21；得到点2,1，与初始点相同，

22

即三次一循环，

20253675，

∴第2025次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即2,1．

故选：A．

2．（2025·河南漯河·三模）如图，已知A11,3，A23,3，A34,0，A46,0，A57,3，A69,3，

A710,0，A811,3，…，依此规律，点A2024的坐标为（）

A．2890,0B．2891,3C．2893,3D．2895,3

【答案】B

【详解】解：A11,3，A23,3，A34,0，A46,0，A57,3，A69,3，A710,0，A811,3…，，

∵

可知7个点坐标的纵坐标为一个循环，A7n的坐标为10n,0，A7n110n1,3，A7n210n3,3

∴

202472891，

∵

A2024的坐标为(2891,3)．

故∴选：B．

3．（2025·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，对于点Px,y，我们把Py1,x1叫做点P的幸运点，

已知点A1的幸运点为A2，点A2的幸运点为A3，点A3的幸运点为A4，……，这样依次得到A1,A2,A3,A4,,An，

若点A1的坐标为(0,2)则点A2025的坐标是（）

A．(0,2)B．(1,1)C．(0,0)D．(1,1)

【答案】A

【详解】∵A1的坐标为(0,2)，

，，，

∴A2(1,1)A3(0,0)A4(1,1)A5(0,2)……

以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

∵202545061，

∴点A2025的坐标与A1的坐标相同，为(0,2)．

故选：A．

4．（2025·广东·三模）如图，A11,1，A22,1，A33,2，A44,2，A55,3，A66,3，…，按此规律，点

A20的坐标为（）

A．19,12B．20,12C．20,11D．20,10

【答案】D

【详解】解：∵A11,1，A22,1，A33,2，A44,2，A55,3，A66,3，…，

∴An的横坐标为n，

n

当n为偶数时，A的纵坐标为；

n2

n1

当n为奇数时，A的纵坐标为；

n2

n

∴点A的横坐标为20，其纵坐标为10，

202

∴点A20的坐标为20,10．

故选：D．

5．（2025·山东聊城·三模）如图，已知

A12,0,A22,2,A34,2,A44,0,A54,2,A66,2,A76,0,A86,2,A98,2，．．．．依此规律，则点

A2025的坐标为．

【答案】(1352,2)

【详解】解：A1(2,0)即A1412,0，

A2(2,2)即A2412,2，

A3(4,2)即A341,2，

A4(4,0)即A441,0，

A5(4,2)即A541,2，

A6(6,2)即A6412,2，

A7(6,0)即A7422,0，

A8(6,2)即A8422,2，

A9(8,2)即A942,2，

观察坐标序列，发现每6个点为一组循环，每组对应规律：

A6n14n2,0，

A6n24n2,2，

A6n34n,2，

A6n44n,0，

A6n54n,2，

A6n64n2,2，

，

202563373，说明A2025是第338组的第3个点．

对于第338组第3个点，横坐标为43381352，纵坐标为2．

A2025的坐标为(1352,2)，

故答案为：(1352,2)．

36

6．（2025·河北邯郸·三模）两个反比例函数y,y在第一象限内的图像如图所示，点P,P,P,,P

xx1232025

6

在反比例函数y的图像上，它们的横坐标分别是x,x,x,,x，纵坐标分别是1，3，5，……，共2025

x1232025

3

个连续奇数，过点P,P,P,,P分别作y轴的平行线，与y的图像的交点依次是

1232025x

Q1x1,y1,Q2x2,y2,Q3x3,y3,,Q2025x2025,y2025，则P2025Q2025的长为．

4049

【答案】

2

【详解】解：第2025个奇数为2202514049，

6

P2025的坐标为,4049，

4049

P2025Q2025平行y轴，

6

Q的横坐标为，

20254049

3

2024.5

Q2025的纵坐标为6，

4049

4049

PQ40492024.5，

202520252

4049

故答案为．

2

7．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，规定点x,y的“豫点”是y2,x2，例如：点M1,2

的“豫点”是22,12即M14,1；点M14,1的“豫点”是12,42即M23,2；…，则M2025的“豫点”

的坐标是．

【答案】(3,2)

【详解】解：依题意，点M1,2的“豫点”是22,12即M14,1；

点M14,1的“豫点”是12,42即M23,2；

点M23,2的“豫点”是22,32即M30,1

点M30,1的“豫点”是12,02即M41,2

点M41,2的“豫点”是22,12即M54,1

点M54,1的“豫点”是12,42即M63,2，……

4次一循环，

∵202545061

∴M2025的“豫点”的坐标是(3,2)，

故答案为：(3,2)．

8．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成

形如海螺的图案，若OA1，OAB90，则点G的坐标为

64

【答案】，0

27

【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，

360

∴AOB30，

12

∵OA1，OAB90，

323

∴ABOAtan30,OB2AB，

33

∵BOC30，

OB232

∴OC，

cos3033

2

OC232

同理：OD，

cos3033

5

232233264

依次类推：OG；

3339327

64

则点G的坐标为，0；

27

64

故答案为：，0.

27

9．（2025·山东济宁·三模）如图，直线y3x，点A1的坐标为(2,0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，

以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆

心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此作法进行下去，点A2025的坐标为．

【答案】22025,0

【详解】解：∵直线y3x，点A1的坐标为(2,0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，

B1(2,23)，

在RtOA1B1中，OA12,A1B123，

22，

OB1OA1A1B14

∴点A2的坐标为(4,0)，

B24,43，

在RtOA2B2中，OA24,A2B243，

22，

OB2OA2A2B28

∴点A3的坐标为(8,0)，

同理，可得出：点A4的坐标为(16,0)，

n

由此可知An的坐标为2,0，

2025

故点A2025的坐标为2,0，

故答案为：22025,0．

3

10．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数yx1的图像与y轴相交于点A1，以OA1为边作等边OA1B1，

3

点B1在第一象限内，过点B1作y轴的平行线与该一次函数的图像交于点A2，与x轴交于点C1，以C1A2为边

△

作等边C1A2B2（点B2在点B1的右边），以同样的方式依次作等边C2A3B3，等边C3A4B4，，则点B2025

的纵坐标为．

2024

【答案】3

22025

【详解】解：如图，过点B1作B1DA1O于D，过点B2作B2EA2C1于E，过点B3作B3FA3C2于F，

3

把x0代入yx1，得y1，

3

∴A10,1，

∴OA11，

∵OA1B1是等边三角形，B1DA1O，

11

∴ODOA，OBOA1，

21211

2

∴22213，

B1DOB1OD1

22

31

∴，

B1,

22

33333

把x代入yx1，得y1，

23322

3

∴AC，

212

∵C1A2B2是等边三角形，B2EA2C1，

133

∴CEAC，BCAC，

1221421212

22

∴223333，

B2EB2C1C1E

244

533

∴，

B2,

44

5333539

把x代入yx1，得y1，

43344

9

∴AC，

324

∵C2A3B3是等边三角形，B3FA3C2，

199

∴CFAC，BCAC，

2232832324

22

∴229993，

B3FB3C2C2F

488

1939

∴，

B3,

88

，

130

∵点B1的纵坐标为，

221

331

点B2的纵坐标为，

422

932

点B3的纵坐标为，

823

，

3n1

∴点Bn的纵坐标为，

2n

32024

∴点B2025的纵坐标为，

22025

2024

故答案为：3．

22025

11．（2025·山东泰安·一模）三月的泰安，玉兰花迎着春风绽放，数学活动小组在绘制如“玉兰花”形的美丽图

，，，△

案，如图在平面直角坐标系中，等腰三角形OB1CO0,0C2,0OCB1120．将OB1C沿x轴正方

向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点B1的对应点为B2，称点B1为第一个“玉

兰花”的花瓣，点B2为第二个“玉兰花”的花瓣；……；按此规律，OB1C滚动2025次后停止滚动，则最后一

个“玉兰花”的花瓣的坐标为．

【答案】270313503,0

【详解】解：如图所示，过点B1作B1Dx轴于C，

∵C2,0，

∴OC2，

△∠

∵OB1C是等腰三角形，且OCB1120，

∴OCB1C2，

180120

∴∠COB∠CBO30；

112

∠∠

∵DCB1180OCB160，

∠

∴CB1D906030，

1

∴CDCB1，

21

∴，22，

ODOCCD3B1DB1CCD3

，

∴B13,3OB12B1D23；

由题意得CB2CB12，

∴OB2OCCB24，

∴B24,0；

∴B3的横坐标为4233723，纵坐标为3，

由题意得，B2n1的纵坐标为3，且B2n1是B2n1（n为正整数）由三角形向右滚动3次得到的，相当于点B2n1

沿x轴的正方向平移7233423个单位长度得到点B2n1，

∵20253675，

∴OB1C滚动2025次后，最后一个“玉兰花”的横坐标为3675423270313503，纵坐标为3，

∴OB1C滚动2025次后，最后一个“玉兰花”的坐标为270313503,0，

故答案为：270313503,0．

12．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和

大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余

数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位

长度．

例：“可余点”P2,1按上述规则连续平移3次后，到达点P32,2，其平移过程如下．

右上左

P2,1P13,1P23,2P32,2

余0余1余2

若“可余点”Q按上述规则连续平移20次后，到达点Q205,16，则点Q的坐标为．

【答案】3,6或5,6

【详解】解：根据已知：点P32,2横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P42,3，

此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P51,3，此时横、纵坐标之和除

以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为：

①若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、

向左不断重复的规律平移；

②若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为1时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平

移；

③若“可余点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为2时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平

移；

若“可余点”Q按上述规则连续平移20次后，到达点Q205,16，则按照“可余点”Q205,16反向运动20次

即可，可以分为两种情况：

若按照②或③方式：则Q205,16向右平移10次，向下平移10次即为“可余点”Q，则Q510,1610，

即Q5,6；

若按照①方式：则Q205,16需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则Q591,1610，

即Q3,6，

综上：点Q的坐标为3,6或5,6

故答案为：3,6或5,6．

13．（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如

，

海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若OA1OAA190．

(1)填空：①点A3的坐标是_____；②点A6的坐标是______；③点A9的坐标是______；④点A12的坐标是

______；（结果可保留乘方形式）

(2)观察（1）中的结果，发现规律，求点A2025的坐标．

36912

23232323

【答案】(1)①0,；②,0；③0,；④,0

3333

2025

23

(2)0,

3

【详解】（1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似，

360

∴每个三角形中以O为顶点的内角均为30，

12

△